Freud Róbert (2014)
ELTE Eötvös Kiadó
Legyen bázis V-ben, Egy skalár akkor és csak akkor sajátértéke -nak, ha az mátrix determinánsa det ❶
Bizonyítás: λ akkor és csak akkor sajátérték, ha van olyan vektor, amelyre azaz Az 5.7.3 Tétel alapján ez átírható alakba, azaz λ pontosan akkor sajátérték, ha ennek a homogén lineáris egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása. Ez pedig azzal ekvivalens, hogy az együtthatómátrix determinánsa, azaz ❷
A tétel alapján lehetőségünk nyílik arra (legalábbis elvileg, de sokszor a gyakorlatban is), hogy a sajátértékeket kiszámítsuk: λ-t változónak tekintve, az mátrix determinánsa λ-nak egy n-edfokú polinomja, és ennek a gyökei a sajátértékek. A bizonyításból egyúttal a megfelelő sajátvektorok meghatározására is leolvasható egy eljárás: a szóban forgó homogén lineáris egyenletrendszerek (nemtriviális) megoldásait kell megkeresnünk (például Gauss-kiküszöböléssel).
Azonnal adódik, hogy a tétel állításában szereplő determinánsnak mint polinomnak a gyökei nem függnek attól, hogy melyik bázisban írtuk fel a transzformáció mátrixát, hiszen ezek a gyökök éppen a sajátértékek. Ennél jóval több is igaz: maga ez a determináns-polinom sem függ a bázis megválasztásától (a mátrixra ez természetesen már nem érvényes). Ennek bizonyítását nem részletezzük (azt kell megvizsgálni, hogyan változik meg a transzformáció mátrixa, ha másik bázisra térünk át, és ezután fel kell használni, hogy mátrixok szorzatának a determinánsa a tényezők determinánsainak a szorzata — lásd az 5.8.1A Tételt és az 5.8.4 feladatot).
A szóban forgó polinomot a transzformáció karakterisztikus polinomjának nevezzük:
Legyen az transzformáció mátrixa (valamilyen bázisban)
Az karakterisztikus polinomján a
polinomot értjük.❶
Az előrebocsátott megjegyzés szerint ez a polinom csak az transzformációtól függ, és független a mátrix (azaz a bázis) megválasztásától. Főegyütthatója (–1)n, az n–1-edfokú tag együtthatója az főátlójában levő elemek összegének ( ún. nyomának) a (–1)n–1-szerese, a konstans tag pedig determinánsa. Így nyoma és determinánsa sem függ attól, hogy a mátrixot melyik bázisban írtuk fel.
Feladatok
6.2.1 Írjuk fel a 6.1.1 feladatban szereplő transzformációk karakterisztikus polinomját.
6.2.2 Legyen V a síkvektorok szokásos vektortere. Írjuk fel az alábbi transzformációk karakterisztikus polinomját.
a) Tükrözés origón átmenő egyenesre;
b) adott irányú vetítés origón átmenő egyenesre;
c) 90 fokos elforgatás az origó körül;
d) 60 fokos elforgatás az origó körül;
e) helybenhagyás;
f) középpontos tükrözés az origóra;
g) 5-szörös arányú középpontos nagyítás az origóból.
6.2.3 Legyen karakterisztikus polinomja f(x). Hogyan kapjuk meg karakterisztikus polinomját?
6.2.4 Adjunk új bizonyítást a 6.1.10 és 6.1.9 feladatokra (ebben a sorrendben).
6.2.5 Bizonyítsuk be, hogy a komplex test feletti (véges dimenziós) vektortérben minden lineáris transzformációnak van sajátvektora.
6.2.6
a) Van-e a (közönséges) síkon olyan lineáris transzformáció, amelynek nincs sajátvektora?
b) Van-e a (közönséges) téren olyan lineáris transzformáció, amelynek nincs sajátvektora?
6.2.7 Legyen T=R és bázis a V vektortérben. Határozzuk meg az alábbi lineáris transzformációk karakterisztikus polinomját, sajátértékeit és sajátvektorait. Mely transzformációknak létezik diagonális mátrixa?
a)
b)
c)
Oldjuk meg a feladatot a komplex test felett is.
6.2.8 Egy lineáris transzformációnak hány (különböző) diagonális mátrixa létezik (feltéve, hogy egyáltalán létezik diagonális mátrixa)?
6.2.9 Legyen dim V=n és tegyük fel, hogy az transzformációnak n különböző sajátértéke van. Bizonyítsuk be, hogy a sajátértékek összege, illetve szorzata az (tetszőleges bázisban felírt) mátrix nyoma, illetve determinánsa.
6.2.10 Oldjuk meg újra az 5.7.5 feladatot.