Legyen ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_n$ bázis V-ben, $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ Egy $\lambda T$ skalár akkor és csak akkor sajátértéke $\mathcal{ }\mathcal{A}$-nak, ha az ${\left[\mathcal{A}-\lambda \mathrm{ℇ}\right]}_a$ mátrix determinánsa det $\det \left({\left[\mathcal{A}-\lambda \mathrm{ℇ}\right]}_a\right)=0$❶

Bizonyítás: λ akkor és csak akkor sajátérték, ha van olyan $\underset{\_}{x}\ne \underset{\_}{0}$ vektor, amelyre $\mathcal{A}\underset{\_}{x}=\lambda \underset{\_}{x}$ azaz $\left(\mathcal{A}-\lambda \mathrm{ℇ}\right)\underset{\_}{x}=\underset{\_}{0}$ Az 5.7.3 Tétel alapján ez átírható $\left[\mathcal{A}-\lambda \mathrm{ℇ}\right]\left[\underset{\_}{x}\right]=\left[\underset{\_}{0}\right]$ alakba, azaz λ pontosan akkor sajátérték, ha ennek a homogén lineáris egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása. Ez pedig azzal ekvivalens, hogy az együtthatómátrix determinánsa, azaz $\det \left({\left[\mathcal{A}-\lambda \mathrm{ℇ}\right]}_a\right)=0$❷

A tétel alapján lehetőségünk nyílik arra (legalábbis elvileg, de sokszor a gyakorlatban is), hogy a sajátértékeket kiszámítsuk: λ-t változónak tekintve, az ${\left[\mathcal{A}-\lambda \mathrm{ℇ}\right]}_a$ mátrix determinánsa λ-nak egy n-edfokú polinomja, és ennek a gyökei a sajátértékek. A bizonyításból egyúttal a megfelelő sajátvektorok meghatározására is leolvasható egy eljárás: a szóban forgó homogén lineáris egyenletrendszerek (nemtriviális) megoldásait kell megkeresnünk (például Gauss-kiküszöböléssel).

Azonnal adódik, hogy a tétel állításában szereplő determinánsnak mint polinomnak a gyökei nem függnek attól, hogy melyik bázisban írtuk fel a transzformáció mátrixát, hiszen ezek a gyökök éppen a sajátértékek. Ennél jóval több is igaz: maga ez a determináns-polinom sem függ a bázis megválasztásától (a mátrixra ez természetesen már nem érvényes). Ennek bizonyítását nem részletezzük (azt kell megvizsgálni, hogyan változik meg a transzformáció mátrixa, ha másik bázisra térünk át, és ezután fel kell használni, hogy mátrixok szorzatának a determinánsa a tényezők determinánsainak a szorzata — lásd az 5.8.1A Tételt és az 5.8.4 feladatot).

A szóban forgó polinomot a transzformáció karakterisztikus polinomjának nevezzük:

Legyen az $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ transzformáció mátrixa (valamilyen bázisban)

Az $\mathcal{A}$karakterisztikus polinomján a

polinomot értjük.❶

Az előrebocsátott megjegyzés szerint ez a polinom csak az $\mathcal{A}$ transzformációtól függ, és független a mátrix (azaz a bázis) megválasztásától. Főegyütthatója (–1)ⁿ, az n–1-edfokú tag együtthatója az $\left[\mathcal{A}\right]$ főátlójában levő elemek összegének ($\left[\mathcal{A}\right]$ ún. nyomának) a (–1)^n–1-szerese, a konstans tag pedig $\left[\mathcal{A}\right]$ determinánsa. Így $\left[\mathcal{A}\right]$ nyoma és determinánsa sem függ attól, hogy a mátrixot melyik bázisban írtuk fel.

Feladatok

6.2.1 Írjuk fel a 6.1.1 feladatban szereplő transzformációk karakterisztikus polinomját.

6.2.2 Legyen V a síkvektorok szokásos vektortere. Írjuk fel az alábbi transzformációk karakterisztikus polinomját.

a) Tükrözés origón átmenő egyenesre;

b) adott irányú vetítés origón átmenő egyenesre;

c) 90 fokos elforgatás az origó körül;

d) 60 fokos elforgatás az origó körül;

e) helybenhagyás;

f) középpontos tükrözés az origóra;

g) 5-szörös arányú középpontos nagyítás az origóból.

6.2.3 Legyen $\mathcal{A}$ karakterisztikus polinomja f(x). Hogyan kapjuk meg $\mu \mathcal{A}$ karakterisztikus polinomját?

6.2.4 Adjunk új bizonyítást a 6.1.10 és 6.1.9 feladatokra (ebben a sorrendben).

6.2.5 Bizonyítsuk be, hogy a komplex test feletti (véges dimenziós) vektortérben minden lineáris transzformációnak van sajátvektora.

6.2.6

a) Van-e a (közönséges) síkon olyan lineáris transzformáció, amelynek nincs sajátvektora?

b) Van-e a (közönséges) téren olyan lineáris transzformáció, amelynek nincs sajátvektora?

6.2.7 Legyen T=R és ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_4$ bázis a V vektortérben. Határozzuk meg az alábbi lineáris transzformációk karakterisztikus polinomját, sajátértékeit és sajátvektorait. Mely transzformációknak létezik diagonális mátrixa?

a) ${\underset{\_}{b}}_1\mapsto {\underset{\_}{b}}_2, { \underset{\_}{b}}_2\mapsto {\underset{\_}{b}}_3, { \underset{\_}{b}}_3\mapsto {\underset{\_}{b}}_4, { \underset{\_}{b}}_4\mapsto {\underset{\_}{b}}_1$

b) ${\underset{\_}{b}}_1\mapsto {\underset{\_}{b}}_2, { \underset{\_}{b}}_2\mapsto {\underset{\_}{b}}_1, { \underset{\_}{b}}_3\mapsto {\underset{\_}{b}}_4, { \underset{\_}{b}}_4\mapsto {\underset{\_}{b}}_4$

c) ${\underset{\_}{b}}_1\mapsto {\underset{\_}{b}}_1+{\underset{\_}{b}}_2, { \underset{\_}{b}}_2\mapsto {{\underset{\_}{b}}_2+\underset{\_}{b}}_3, { \underset{\_}{b}}_3\mapsto {\underset{\_}{b}}_3+{\underset{\_}{b}}_4, { \underset{\_}{b}}_4\mapsto {\underset{\_}{b}}_4+{\underset{\_}{b}}_1$

 Oldjuk meg a feladatot a komplex test felett is.

6.2.8 Egy lineáris transzformációnak hány (különböző) diagonális mátrixa létezik (feltéve, hogy egyáltalán létezik diagonális mátrixa)?

6.2.9 Legyen dim V=n és tegyük fel, hogy az $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ transzformációnak n különböző sajátértéke van. Bizonyítsuk be, hogy a sajátértékek összege, illetve szorzata az $\left[\mathcal{A}\right]$ (tetszőleges bázisban felírt) mátrix nyoma, illetve determinánsa.

6.2.10 Oldjuk meg újra az 5.7.5 feladatot.