Az $\underset{\_}{u}$ vektornak az $\mathcal{A}$ szerinti rendje az a legalacsonyabb fokú h (nemnulla) polinom, amelyre $h\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{u}=\underset{\_}{0}$❶

Az $\underset{\_}{u}$ vektor $\mathcal{A}$ szerinti rendjét $o_{\mathcal{A}}\left(\underset{\_}{u}\right)$-val jelöljük. (Az o a latin ordo=rend szó kezdőbetűjéből származik). Ha egyértelmű, hogy melyik transzformációról van szó, akkor a transzformációt jelző index el is hagyható: $o\left(\underset{\_}{u}\right)$

Példák: A nullvektor az egyetlen, amelynek a rendje az 1 (vagy bármely nemnulla konstans) polinom, a magtér nemnulla elemeinek a rendje x. A rend akkor és csak akkor elsőfokú, ha a vektor sajátvektor.

A rend számos hasonló tulajdonsággal rendelkezik, mint a minimálpolinom. Ezeket az alábbi tételben foglaljuk össze.

Bármely vektornak létezik rendje. Ez konstans szorzó erejéig egyértelműen meghatározott. A rend foka legfeljebb n(=dim V). $g\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{u}=\underset{\_}{0}⟺o_{\mathcal{A}}\left(\underset{\_}{u}\right)|g$❶

A bizonyítás a 6.3.2 és 6.3.4 tételekéhez analóg módon történhet, lásd a 6.5.2 feladatot.

A 6.5.2 Tétel utolsó részéből azonnal adódik, hogy a rend mindig osztója a minimálpolinomnak. A következő állítás arra vonatkozik, hogy alkalmas vektorok rendjéből hogyan kaphatjuk meg a minimálpolinomot.

Legyen ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_s$ tetszőleges generátorrendszer V-ben. Ekkor $m_{\mathcal{A}}$ az $o_{\mathcal{A}}\left({\underset{\_}{u}}_i\right)$ polinomok legkisebb közös többszöröse.❶

Bizonyítás: Legyen $h_i=o_{\mathcal{A}}\left({\underset{\_}{u}}_i\right)$ és a H polinom ezek legkisebb közös többszöröse, H=[h₁, …, h_s]. Mivel $h_i|m_{\mathcal{A}}$ ezért $H|m_{\mathcal{A}}$ is teljesül. A fordított irányú oszthatósághoz azt kell belátnunk, hogy $H\left(\mathcal{A}\right)=\mathcal{O}$ Mivel h_i|H, ezért $H\left(\mathcal{A}\right){\underset{\_}{u}}_i=0$ Továbbá a feltétel szerint bármely $\underset{\_}{v}V$ vektor előáll az ${\underset{\_}{u}}_i$ vektorok $\underset{\_}{v}={}_{i=1}^s{\lambda }_i{\underset{\_}{u}}_i$ lineáris kombinációjaként. Így $H\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{v}={}_{i=1}^s{\lambda }_{i}H\left(\mathcal{A}\right){\underset{\_}{u}}_i=0$ tehát valóban $H\left(\mathcal{A}\right)=\mathcal{O}$❷

A következő tétel megmutatja, hogy a rendből alkalmas invariáns alterek dimenziója is leolvasható:

Az $\underset{\_}{u}$ vektor és az $\mathcal{A}$ transzformáció által generált $〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}〉$ altér dimenziója megegyezik az $\underset{\_}{u}$ rendjének a fokával:

❶

Bizonyítás: A nullvektorra az állítás igaz. Legyen $\underset{\_}{u}\ne \underset{\_}{0}$ és $o_{\mathcal{A}}\left(\underset{\_}{u}\right)=h=x^k+{\alpha }_{k-1}{x}^{k-1}+\dots +{\alpha }_0$ Azt kell belátnunk, hogy az $〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}〉$ altér k-dimenziós. Ehhez megmutatjuk, hogy az $\underset{\_}{u},\mathcal{A}\underset{\_}{u},\dots ,{\mathcal{A}}^{k-1}\underset{\_}{u}$ vektorok bázist alkotnak az $〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}〉$ altérben.

A lineáris függetlenség igazolásához indirekt okoskodunk; tegyük fel, hogy létezne valamilyen nemtriviális ${\beta }_0\underset{\_}{u}+{\beta }_1\mathcal{A}\underset{\_}{u}+\dots +{\beta }_{k-1}{\mathcal{A}}^{k-1}\underset{\_}{u}=0$ lineáris kombináció. Ekkor az f=β₀+β₁x+…+β_k–1x^k–1 polinomra $f\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{u}=\underset{\_}{0}$ Ez azonban ellentmond annak, hogy az $\underset{\_}{u}$ vektor rendje k-adfokú.

Most belátjuk, hogy a kérdéses vektorok generálják az $〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}〉$ alteret. Ehhez azt kell igazolnunk, hogy minden ${\mathcal{A}}^i\underset{\_}{u}$ vektor előáll az $\underset{\_}{u},\mathcal{A}\underset{\_}{u},\dots ,{\mathcal{A}}^{k-1}\underset{\_}{u}$ vektorok lineáris kombinációjaként. Az i<k kitevőkre ez nyilvánvaló, i=k-ra pedig $\underset{\_}{u}$ átrendezéséből adódik:

(1)

Nézzük most az i=k+1 kitevőt. Az (1) egyenlőségre az $h\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{u}=\underset{\_}{0}$ transzformációt alkalmazva azt kapjuk, hogy $\mathcal{A}$ kifejezhető az ${\mathcal{A}}^{k+1}\underset{\_}{u}$ vektorok lineáris kombinációjaként. Ha itt $\mathcal{A}\underset{\_}{u},\dots ,{\mathcal{A}}^k\underset{\_}{u}$ helyére az (1)-beli előállítást beírjuk, akkor az ${\mathcal{A}}^k\underset{\_}{u}$ vektort a kívánt módon előállítottuk az ${\mathcal{A}}^{k+1}\underset{\_}{u}$ vektorok lineáris kombinációjaként. Ugyanígy haladhatunk tovább magasabb kitevőkre is (pl. teljes indukcióval).❷

Az előző tétel segítségével bizonyos dimenziójú invariáns alterek létezését is garantálni tudjuk:

Ha a minimálpolinomnak van (T feletti) r-edfokú irreducibilis tényezője, akkor $\underset{\_}{u},\mathcal{A}\underset{\_}{u},\dots ,{\mathcal{A}}^{k-1}\underset{\_}{u}$-nak van r-dimenziós invariáns altere.❶

Megjegyzések: 1. Az r=1 speciális esetben a 6.3.5 Tétel egyik felét kapjuk, a bizonyítás is az ottanihoz hasonlóan történik.

2. A 6.5.8 Tétel szerint a 6.5.5 Tételben az irreducibilitás feltétele elhagyható.

Bizonyítás: Legyen $\underset{\_}{u}\ne \underset{\_}{0}$ ahol h irreducibilis és deg h=r. Azt fogjuk megmutatni, hogy van olyan $o_{\mathcal{A}}\left(\underset{\_}{u}\right)=h$ vektor, amelyre $〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}〉$ Ekkor a 6.5.4 Tétel szerint az $\mathrm{deg}g<\mathrm{deg}{m}_{\mathcal{A}}$ invariáns altér dimenziója éppen deg h=r lesz.

Mivel $g\left(\mathcal{A}\right)\ne \mathcal{O}$ ezért $Img\left(\mathcal{A}\right)\ne \underset{\_}{0}$ azaz $\mathcal{A}$ Az $m_{\mathcal{A}}$ transzformációt $\mathcal{O}=m_{\mathcal{A}}\left(\mathcal{A}\right)=h\left(\mathcal{A}\right)g\left(\mathcal{A}\right)$-ba behelyettesítve $Ker h\left(\mathcal{A}\right)\subseteq Img\left(\mathcal{A}\right).$ adódik. Ennélfogva $Ker h\left(\mathcal{A}\right)\supseteq Img\left(\mathcal{A}\right)$ Legyen $\underset{\_}{u}$ tetszőleges nemnulla vektor $Im g\left(\mathcal{A}\right)$-ban. Ekkor $h\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{u}=\underset{\_}{0}$ tehát $o_{\mathcal{A}}\left(u\right)|h$ Mivel h irreducibilis és $\underset{\_}{u}\ne \underset{\_}{0}$ így csak $o_{\mathcal{A}}\left(\underset{\_}{u}\right)=h$ lehetséges.❷

Most bebizonyítjuk, hogy maga a minimálpolinom is szerepel a rendek között.

Minden transzformációnál létezik olyan vektor, amelynek a rendje a minimálpolinom.❶

Bizonyítás: A 6.5.3 Tétel szerint a minimálpolinom egy (tetszőleges) generátorrendszer elemei rendjeinek a legkisebb közös többszöröse. Így elég az alábbi lemmát igazolnunk:

Ha a h₁ ,…, h_s polinomok az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_s$ elemek rendjei, akkor a h_i polinomok legkisebb közös többszöröse is valamely $\underset{\_}{u}$ vektor rendje.❶

A lemma bizonyítása több lépésben történik. A h_i polinomok [h₁, h₂,…, h_s] legkisebb közös többszörösét H-val fogjuk jelölni.

(i) Két relatív prím polinom esetén:

Legyen $\underset{\_}{u}={\underset{\_}{u}}_1+{\underset{\_}{u}}_2$ és jelöljük $o\left(\underset{\_}{u}\right)$-t K-val. Megmutatjuk, hogy H=K. Először a K|H oszthatóságot igazoljuk. Ez azzal egyenértékű, hogy $H\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{u}=\underset{\_}{0}$ Valóban, $o\left({\underset{\_}{u}}_i\right)|H$ miatt

A másik irányú, H|K oszthatósághoz h_i|K-t kell igazolni (i=1,2). Mivel

ezért $o\left({\underset{\_}{u}}_2\right)=h_2|K{h}_1$ amiből (h₁, h₂)=1 miatt h₂|K következik. Ugyanígy adódik h₁|K is.

(ii) Páronként relatív prím polinomok esetén:

Ez (i)-ből teljes indukcióval adódik.

(iii) Egy rend minden osztója is rend: ha f=gh és $f=o\left(\underset{\_}{v}\right)$ akkor $g=o\left[h\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{v}\right]$

Ennek igazolását a 6.5.5 feladatban tűztük ki.

(iv) Ha két tetszőleges h₁ és h₂ polinom rend, akkor a legkisebb közös többszörösük is rend.

Írjuk fel h₁ és h₂ „kanonikus alakját”, azaz bontsuk fel mindkét polinomot irreducibilis tényezők hatványainak a szorzatára:

ahol α_i konstans, a p_j polinomok páronként nem konstansszoros irreducibilis polinomok és a k_ji kitevők nemnegatív egészek. Ekkor a H=[h₁, h₂] legkisebb közös többszörös kanonikus alakja

ahol k_j3=max(k_j1, k_j2). Mivel $p_j^{k_{j3}}$ bármely j-re osztója h₁-nek vagy h₂-nek, ezért (iii) alapján $p_j^{k_{j3}}$ is rend. Továbbá a $p_j^{k_{j3}}$ tényezők páronként relatív prímek, így (ii) szerint a szorzatuk, azaz H is rend.

(v)A tetszőleges számú polinomra vonatkozó állítás (iv)-ből teljes indukcióval következik.❷

A 6.5.6 Tételnek számos fontos következménye van. A 6.3 pontban említettük, hogy a minimálpolinom foka legfeljebb a tér dimenziója. Ez most azonnal adódik abból, hogy a rend foka nem lehet nagyobb a dimenziónál (lásd a 6.5.2 Tételt). Egy másik következmény a 6.5.5 Tétel általánosítása:

Ha a minimálpolinomnak van r-edfokú osztója, akkor $\mathcal{A}$-nak van r-dimenziós invariáns altere.❶

Bizonyítás: A 6.5.6 Tétel szerint a minimálpolinom is rend. A 6.5.7 Lemma bizonyításában szereplő (iii) állítás(=6.5.5 feladat) alapján ekkor a minimálpolinom minden osztója is rend. Végül a 6.5.4 Tétel biztosítja, hogy minden rend foka egyben valamely invariáns altér dimenziója is.❷

Feladatok

6.5.1 Hogyan kapjuk meg $\underset{\_}{u}$ rendjéből a) $\lambda \underset{\_}{u}$ b) $\mathcal{A}\underset{\_}{u}$ c) $f\left(\mathcal{A}\right)\underset{\_}{u}$ rendjét, ahol f tetszőleges polinom?

6.5.2 Bizonyítsuk be a 6.5.2 Tétel állításait.

6.5.3 Tekintsük $\mathcal{A}$ megszorítását az $U=〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}〉$ (invariáns) altérre. Mi lesz a megszorított (Hom U-beli) transzformáció minimálpolinomja?

6.5.4 Bizonyítsuk be, hogy $o_{\mathcal{A}}\left(\underset{\_}{u}\right)$-nak akkor és csak akkor van gyöke (T-ben), ha $\mathcal{A}$-nak van az $〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}〉$ altérbe eső sajátvektora.

6.5.5 Igazoljuk a 6.5.7 Lemma bizonyításában szereplő (iii) állítást: ha az f polinom egy $\underset{\_}{v}$ vektor rendje, akkor f minden osztója is egy alkalmas vektor rendje.

6.5.6 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha $〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}〉=〈\underset{\_}{v},\mathcal{A}〉$ akkor $\underset{\_}{u}$ és $\underset{\_}{v}$ rendje megegyezik.

b) Ha $\underset{\_}{u}$ és $\underset{\_}{v}$ rendje megegyezik, akkor $〈\underset{\_}{u},\mathcal{A}〉=〈\underset{\_}{v},\mathcal{A}〉$

c) Ha $o\left(\underset{\_}{u}\right)$ és $o\left(\underset{\_}{v}\right)$ relatív prímek, és egyik sem konstans, akkor $\underset{\_}{u}$ és $\underset{\_}{v}$ lineárisan független.

d) Ha $\underset{\_}{u}$ és $\underset{\_}{v}$ lineárisan független, akkor $o\left(\underset{\_}{u}\right)$ és $o\left(\underset{\_}{v}\right)$ relatív prímek.

e) Ha ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_s$ lineárisan független, akkor $o\left({\underset{\_}{u}}_1+\dots +{\underset{\_}{u}}_s\right)=\left[o\left({\underset{\_}{u}}_1\right),\dots ,o\left({\underset{\_}{u}}_s\right)\right]$

6.5.7 Bizonyítsuk be, hogy bármely vektor rendjének a foka legfeljebb eggyel több, mint a képtér dimenziója. Mi következik ebből a minimálpolinom fokszámára?

*6.5.8 Legyen dim V=n, és tegyük fel, hogy $\mathcal{A}$-nak n különböző sajátértéke van. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $\mathcal{A}$ invariáns altereinek a száma pontosan 2ⁿ.

6.5.9 Adjunk új bizonyítást arra, hogy bármely transzformációnak legalább annyi invariáns altere van, mint ahány páronként nem-egységszeres osztója van a minimálpolinomjának.

6.5.10 Mutassuk meg, hogy

 Hogyan kapcsolódik ez a 6.5.7 Lemma bizonyításában szereplő (i) állításhoz?

6.5.11 Milyen kapcsolatban áll $o_{\lambda \mathcal{A}}\left(\underset{\_}{u}\right)$ illetve $o_{{\mathcal{A}}^2}\left(\underset{\_}{u}\right)$ fokszáma $o_{\mathcal{A}}\left(\underset{\_}{u}\right)$ fokával?

6.5.12 Legyen $\mathcal{A},\mathcal{B}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ és tegyük fel, hogy minden $\underset{\_}{v}V$ vektorra $o_{\mathcal{A}}\left(\underset{\_}{v}\right)=o_{\mathcal{B}}\left(\underset{\_}{v}\right)$

a) Bizonyítsuk be, hogy $\mathcal{A}$ és $\mathcal{B}$ sajátértékei és sajátvektorai megegyeznek, és minimálpolinomjuk is azonos.

b) Ha $\mathcal{A}$-nak létezik sajátvektorokból álló bázisa, akkor $\mathcal{A}=\mathcal{B}$

c) Mutassunk példát R, illetve C felett, amikor $\mathcal{A}\ne \mathcal{B}$