Freud Róbert (2014)
ELTE Eötvös Kiadó
Legyen egy véges dimenziós vektortér a T kommutatív test felett, A minimálpolinom definíciója szerint bármely vektorra Ha egy rögzített vektort tekintünk, akkor ehhez általában már a minimálpolinomnál alacsonyabb fokú polinomok is találhatók, amelyekre
Az vektornak az szerinti rendje az a legalacsonyabb fokú h (nemnulla) polinom, amelyre ❶
Az vektor szerinti rendjét -val jelöljük. (Az o a latin ordo=rend szó kezdőbetűjéből származik). Ha egyértelmű, hogy melyik transzformációról van szó, akkor a transzformációt jelző index el is hagyható:
Példák: A nullvektor az egyetlen, amelynek a rendje az 1 (vagy bármely nemnulla konstans) polinom, a magtér nemnulla elemeinek a rendje x. A rend akkor és csak akkor elsőfokú, ha a vektor sajátvektor.
A rend számos hasonló tulajdonsággal rendelkezik, mint a minimálpolinom. Ezeket az alábbi tételben foglaljuk össze.
Bármely vektornak létezik rendje. Ez konstans szorzó erejéig egyértelműen meghatározott. A rend foka legfeljebb n(=dim V). ❶
A bizonyítás a 6.3.2 és 6.3.4 tételekéhez analóg módon történhet, lásd a 6.5.2 feladatot.
A 6.5.2 Tétel utolsó részéből azonnal adódik, hogy a rend mindig osztója a minimálpolinomnak. A következő állítás arra vonatkozik, hogy alkalmas vektorok rendjéből hogyan kaphatjuk meg a minimálpolinomot.
Legyen tetszőleges generátorrendszer V-ben. Ekkor az polinomok legkisebb közös többszöröse.❶
Bizonyítás: Legyen és a H polinom ezek legkisebb közös többszöröse, H=[h1, …, hs]. Mivel ezért is teljesül. A fordított irányú oszthatósághoz azt kell belátnunk, hogy Mivel hi|H, ezért Továbbá a feltétel szerint bármely vektor előáll az vektorok lineáris kombinációjaként. Így tehát valóban ❷
A következő tétel megmutatja, hogy a rendből alkalmas invariáns alterek dimenziója is leolvasható:
Az vektor és az transzformáció által generált altér dimenziója megegyezik az rendjének a fokával:
❶
Bizonyítás: A nullvektorra az állítás igaz. Legyen és Azt kell belátnunk, hogy az altér k-dimenziós. Ehhez megmutatjuk, hogy az vektorok bázist alkotnak az altérben.
A lineáris függetlenség igazolásához indirekt okoskodunk; tegyük fel, hogy létezne valamilyen nemtriviális lineáris kombináció. Ekkor az f=β0+β1x+…+βk–1xk–1 polinomra Ez azonban ellentmond annak, hogy az vektor rendje k-adfokú.
Most belátjuk, hogy a kérdéses vektorok generálják az alteret. Ehhez azt kell igazolnunk, hogy minden vektor előáll az vektorok lineáris kombinációjaként. Az i<k kitevőkre ez nyilvánvaló, i=k-ra pedig átrendezéséből adódik:
(1)
Nézzük most az i=k+1 kitevőt. Az (1) egyenlőségre az transzformációt alkalmazva azt kapjuk, hogy kifejezhető az vektorok lineáris kombinációjaként. Ha itt helyére az (1)-beli előállítást beírjuk, akkor az vektort a kívánt módon előállítottuk az vektorok lineáris kombinációjaként. Ugyanígy haladhatunk tovább magasabb kitevőkre is (pl. teljes indukcióval).❷
Az előző tétel segítségével bizonyos dimenziójú invariáns alterek létezését is garantálni tudjuk:
Ha a minimálpolinomnak van (T feletti) r-edfokú irreducibilis tényezője, akkor -nak van r-dimenziós invariáns altere.❶
Megjegyzések: 1. Az r=1 speciális esetben a 6.3.5 Tétel egyik felét kapjuk, a bizonyítás is az ottanihoz hasonlóan történik.
2. A 6.5.8 Tétel szerint a 6.5.5 Tételben az irreducibilitás feltétele elhagyható.
Bizonyítás: Legyen ahol h irreducibilis és deg h=r. Azt fogjuk megmutatni, hogy van olyan vektor, amelyre Ekkor a 6.5.4 Tétel szerint az invariáns altér dimenziója éppen deg h=r lesz.
Mivel ezért azaz Az transzformációt -ba behelyettesítve adódik. Ennélfogva Legyen tetszőleges nemnulla vektor -ban. Ekkor tehát Mivel h irreducibilis és így csak lehetséges.❷
Most bebizonyítjuk, hogy maga a minimálpolinom is szerepel a rendek között.
Minden transzformációnál létezik olyan vektor, amelynek a rendje a minimálpolinom.❶
Bizonyítás: A 6.5.3 Tétel szerint a minimálpolinom egy (tetszőleges) generátorrendszer elemei rendjeinek a legkisebb közös többszöröse. Így elég az alábbi lemmát igazolnunk:
Ha a h1 ,…, hs polinomok az elemek rendjei, akkor a hi polinomok legkisebb közös többszöröse is valamely vektor rendje.❶
A lemma bizonyítása több lépésben történik. A hi polinomok [h1, h2,…, hs] legkisebb közös többszörösét H-val fogjuk jelölni.
(i) Két relatív prím polinom esetén:
Legyen és jelöljük -t K-val. Megmutatjuk, hogy H=K. Először a K|H oszthatóságot igazoljuk. Ez azzal egyenértékű, hogy Valóban, miatt
A másik irányú, H|K oszthatósághoz hi|K-t kell igazolni (i=1,2). Mivel
ezért amiből (h1, h2)=1 miatt h2|K következik. Ugyanígy adódik h1|K is.
(ii) Páronként relatív prím polinomok esetén:
Ez (i)-ből teljes indukcióval adódik.
(iii) Egy rend minden osztója is rend: ha f=gh és akkor
Ennek igazolását a 6.5.5 feladatban tűztük ki.
(iv) Ha két tetszőleges h1 és h2 polinom rend, akkor a legkisebb közös többszörösük is rend.
Írjuk fel h1 és h2 „kanonikus alakját”, azaz bontsuk fel mindkét polinomot irreducibilis tényezők hatványainak a szorzatára:
ahol αi konstans, a pj polinomok páronként nem konstansszoros irreducibilis polinomok és a kji kitevők nemnegatív egészek. Ekkor a H=[h1, h2] legkisebb közös többszörös kanonikus alakja
ahol kj3=max(kj1, kj2). Mivel bármely j-re osztója h1-nek vagy h2-nek, ezért (iii) alapján is rend. Továbbá a tényezők páronként relatív prímek, így (ii) szerint a szorzatuk, azaz H is rend.
(v)A tetszőleges számú polinomra vonatkozó állítás (iv)-ből teljes indukcióval következik.❷
A 6.5.6 Tételnek számos fontos következménye van. A 6.3 pontban említettük, hogy a minimálpolinom foka legfeljebb a tér dimenziója. Ez most azonnal adódik abból, hogy a rend foka nem lehet nagyobb a dimenziónál (lásd a 6.5.2 Tételt). Egy másik következmény a 6.5.5 Tétel általánosítása:
Ha a minimálpolinomnak van r-edfokú osztója, akkor -nak van r-dimenziós invariáns altere.❶
Bizonyítás: A 6.5.6 Tétel szerint a minimálpolinom is rend. A 6.5.7 Lemma bizonyításában szereplő (iii) állítás(=6.5.5 feladat) alapján ekkor a minimálpolinom minden osztója is rend. Végül a 6.5.4 Tétel biztosítja, hogy minden rend foka egyben valamely invariáns altér dimenziója is.❷
Feladatok
6.5.1 Hogyan kapjuk meg rendjéből a) b) c) rendjét, ahol f tetszőleges polinom?
6.5.2 Bizonyítsuk be a 6.5.2 Tétel állításait.
6.5.3 Tekintsük megszorítását az (invariáns) altérre. Mi lesz a megszorított (Hom U-beli) transzformáció minimálpolinomja?
6.5.4 Bizonyítsuk be, hogy -nak akkor és csak akkor van gyöke (T-ben), ha -nak van az altérbe eső sajátvektora.
6.5.5 Igazoljuk a 6.5.7 Lemma bizonyításában szereplő (iii) állítást: ha az f polinom egy vektor rendje, akkor f minden osztója is egy alkalmas vektor rendje.
6.5.6 Melyek igazak az alábbi állítások közül?
a) Ha akkor és rendje megegyezik.
b) Ha és rendje megegyezik, akkor
c) Ha és relatív prímek, és egyik sem konstans, akkor és lineárisan független.
d) Ha és lineárisan független, akkor és relatív prímek.
e) Ha lineárisan független, akkor
6.5.7 Bizonyítsuk be, hogy bármely vektor rendjének a foka legfeljebb eggyel több, mint a képtér dimenziója. Mi következik ebből a minimálpolinom fokszámára?
*6.5.8 Legyen dim V=n, és tegyük fel, hogy -nak n különböző sajátértéke van. Bizonyítsuk be, hogy ekkor invariáns altereinek a száma pontosan 2n.
6.5.9 Adjunk új bizonyítást arra, hogy bármely transzformációnak legalább annyi invariáns altere van, mint ahány páronként nem-egységszeres osztója van a minimálpolinomjának.
6.5.10 Mutassuk meg, hogy
Hogyan kapcsolódik ez a 6.5.7 Lemma bizonyításában szereplő (i) állításhoz?
6.5.11 Milyen kapcsolatban áll illetve fokszáma fokával?
6.5.12 Legyen és tegyük fel, hogy minden vektorra
a) Bizonyítsuk be, hogy és sajátértékei és sajátvektorai megegyeznek, és minimálpolinomjuk is azonos.
b) Ha -nak létezik sajátvektorokból álló bázisa, akkor
c) Mutassunk példát R, illetve C felett, amikor