Az $\tilde{\mathbf{A}}\left(\underset{\_}{x}\right)=\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{x},\underset{\_}{x}\right):V\to \mathbf{R}$ függvényt az A bilineáris függvényhez tartozó kvadratikus alaknak nevezzük.❶

A kvadratikus alak tehát tulajdonképpen a bilineáris függvény egy megszorítása, amikor mindkét változó helyére azonos vektort írunk. Így minden kvadratikus alak valamilyen bilineáris függvényből származik.

Egy bilineáris függvény nyilván egyértelműen meghatároz egy kvadratikus alakot. Ennek a megfordítása nem igaz, ugyanaz a kvadratikus alak több bilineáris függvényből is létrejöhet. Érvényes azonban, hogy a szimmetrikus bilineáris függvények és a kvadratikus alakok között már kölcsönösen egyértelmű a kapcsolat (lásd a 7.3.1 feladatot). Ennek megfelelően a kvadratikus alakokat mindig szimmetrikus bilineáris függvényből származóknak fogjuk tekinteni.

A 7.1.4 Tétel képletei szerint a kvadratikus alak

formában írható fel, ahol x₁, …, x_n az $\underset{\_}{x}$ vektor koordinátái az adott bázisban. Ez a kifejezés az x_i-knek (homogén) másodfokú polinomja, ez indokolja a kvadratikus alak elnevezést.

Tekintsük most a bilineáris függvény egy olyan mátrixát, amely diagonális és a főátlóban csak ±1, illetve 0 áll. Az ennek megfelelő A-ortogonális bázisban a kvadratikus alak a 7.2.5 Tétel szerint előjeles négyzetösszeggé válik, azaz $\widetilde{\mathbf{{\rm A}}}\left(\underset{\_}{x}\right)={}_{i=1}^n{\gamma }_i{x}_i^2$ alakú lesz, ahol γ_i=±1 vagy 0. Ennek fontos speciális esete, hogy a skalárszorzathoz tartozó kvadratikus alak a koordináták négyzetösszegével egyenlő.

Nézzük meg, hogyan kaphatjuk meg a gyakorlatban ezt az előjeles négyzetösszeget. Vegyük ismét a 7.2.3 Tétel különféle bizonyításainak illusztrálására választott

(*)

szimmetrikus bilineáris függvényt. Az ehhez tartozó kvadratikus alak

Itt x₁, x₂, x₃ az $\underset{\_}{x}$ vektornak az eredeti ${\underset{\_}{b}}_i$ bázis szerinti koordinátái. Nézzünk olyan diagonális mátrixot, amelynek a főátlójában minden γ_i elem ±1 vagy 0. Ha az ennek megfelelő bázisban felírt koordináták ${\widehat{x}}_1,{\widehat{x}}_2,{\widehat{x}}_3$ akkor $\widetilde{\mathbf{{\rm A}}}\left(\underset{\_}{x}\right)={\gamma }_1{\widehat{x}}_1^2+{\gamma }_2{\widehat{x}}_2^2+{\gamma }_3{\widehat{x}}_3^2$ Ezért azt kell kiszámítani, hogy a diagonális bázis szerinti ${\widehat{x}}_1,{\widehat{x}}_2,{\widehat{x}}_3$ koordináták hogyan kaphatók meg az eredeti x₁, x₂, x₃ koordinátákból. Erre vannak elég egyszerű általános módszerek, mi azonban megelégszünk a konkrét eset vizsgálatával.

A legkönnyebben a harmadik bizonyítást követve érhetünk célhoz. Emlékezzünk vissza, hogy ott a mátrixon szimmetrikusan elemi sor/oszlop-ekvivalens átalakításokat hajtottunk végre, és közben nyomon követtük a bázis változását is. Egy füst alatt a koordináták változását is regisztrálhatjuk, és így az eljárás végén azonnal megkapjuk a keresett ${\widehat{x}}_1,{\widehat{x}}_2,{\widehat{x}}_3$ koordinátákat.

Nézzük a konkrét esetet. Az első lépésben a ${\underset{\_}{b}}_1,{\underset{\_}{b}}_2,{\underset{\_}{b}}_3$ bázisból a ${\underset{\_}{b}}_1,{\underset{\_}{b}}_2-\left(1/2\right){\underset{\_}{b}}_1,{\underset{\_}{b}}_3$ bázisra tértünk át. Könnyen láthatóan ekkor csak az x₁ koordinátát kell módosítani az x₂ segítségével, mégpedig „fordítva”, mint ahogy a ${\underset{\_}{b}}_2$ báziselemet a ${\underset{\_}{b}}_1$-gyel megváltoztattuk. Az új koordináták ekkor x₁+(1/2)x₂, x₂, x₃, hiszen

Hasonlóan követve a további két átalakítást, ennek során a koordináták a következőképpen módosulnak: x₁+(1/2)x₂+(1/2)x₃, x₂, x₃, majd x₁+(1/2)x₂+(1/2)x₃, x₂–x₃, x₃. Végül a $\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ diagonális mátrixot „normáljuk”: az első sort és oszlopot felezve az $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ mátrixhoz jutunk, ekkor az (aktuális) első báziselem 1/2-del szorzódott, az első koordináta ennek megfelelően megduplázódott, így 2x₁+x₂+x₃, x₂–x₃, x₃ adódik. Ezek már a keresett ${\widehat{x}}_i$ koordináták, hiszen a mátrix diagonális és az átló elemei 1, –1, 0. Mindezek alapján az

előjeles négyzetösszeg előállítást kapjuk.

Ha nem lépésenként követjük nyomon a koordináták változását, akkor eljárhatunk pl. úgy, hogy az $\underset{\_}{x}=x_i{\underset{\_}{b}}_i={\widehat{x}}_i{\widehat{b}}_i$ egyenlőségbe beírjuk az új ${\widehat{\underset{\_}{b}}}_i$ bázisvektorok előállítását az eredeti ${\underset{\_}{b}}_i$-k segítségével, majd ezután a két oldalon a ${\underset{\_}{b}}_i$-k együtthatóit összehasonlítva egy lineáris egyenletrendszer adódik a keresett ${\widehat{x}}_i$ koordinátákra, amit (pl. Gauss-kiküszöböléssel) megoldunk.

Egy kvadratikus alak ilyen előjeles négyzetösszegként történő előállítása többféleképpen is megvalósulhat, hiszen sokféle megfelelő A-ortogonális bázist találhatunk. (Bármelyik előállításban azonban mindig ugyanannyi a pozitív, a negatív és a nulla előjelű tagok száma, ezt a tehetetlenségi tétel garantálja.)

Hangsúlyozzuk, hogy a tárgyalt előjeles négyzetösszegek nem lehetnek akármilyenek, hanem csakis olyanok, amelyeket egy alkalmas A-ortogonális bázis szerinti koordinátákból írtunk fel; ez éppen a négyzetösszeg tagjainak a (pontosan megfogalmazható értelemben vett) lineáris függetlenségét jelenti.

Most a kvadratikus alakok különböző típusainak az áttekintésére térünk rá. Bármely kvadratikus alakra $\widetilde{\mathbf{{\rm A}}}\left(\underset{\_}{0}\right)=0$ A többi vektoron felvett értékektől függően a nem azonosan nulla kvadratikus alakokat (és ennek alapján a szimmetrikus bilineáris függvényeket) a következőképpen osztályozzuk:

Az A≠0 szimmetrikus bilineáris függvényhez tartozó Ã kvadratikus alak

(PD) pozitív definit, ha minden $\underset{\_}{x}\ne \underset{\_}{0}-\mathrm{r}\mathrm{a} \widetilde{\mathbf{{\rm A}}}\left(\underset{\_}{x}\right)>0$

(ND) negatív definit, ha minden $\underset{\_}{x}\ne \underset{\_}{0}-\mathrm{r}\mathrm{a} \widetilde{\mathbf{{\rm A}}}\left(\underset{\_}{x}\right)<0$

(PSZ) pozitív szemidefinit, ha minden $\underset{\_}{x}-\mathrm{r}\mathrm{e} \widetilde{\mathbf{{\rm A}}}\left(\underset{\_}{x}\right)\ge 0$ és van olyan $\underset{\_}{x}\ne 0$ hogy $\widetilde{\mathbf{{\rm A}}}\left(\underset{\_}{x}\right)=0$

(NSZ) negatív szemidefinit, ha minden $\underset{\_}{x}-\mathrm{r}\mathrm{e} \widetilde{\mathbf{{\rm A}}}\left(\underset{\_}{x}\right)\le 0$ és van olyan $\underset{\_}{x}\ne \underset{\_}{0}$ hogy $\tilde{\mathbf{A}}\left(\underset{\_}{x}\right)=0$ és végül

(I) indefinit, ha $\widetilde{\mathbf{{\rm A}}}\left(\underset{\_}{x}\right)$ felvesz pozitív és negatív értéket is.❶

A kvadratikus alak jellege igen egyszerűen leolvasható a bilineáris függvény diagonális mátrixából:

Tekintsük az A szimmetrikus bilineáris függvény egy diagonális mátrixát. Ekkor A (illetve Ã) pontosan akkor

Bizonyítás: Az állítások a kvadratikus alak előjeles négyzetösszegként való felírásából azonnal következnek.❷

Megjegyezzük, hogy indefinit esetben a diagonális mátrix főátlójában előfordulhat nulla is, de ez nem minden indefinit alaknál teljesül.

Gyakran szükségünk van arra, hogy a kvadratikus alak jellegét akármelyik mátrixából (diagonalizálás nélkül) eldönthessük. Erre igazán jó kritérium csak definit alakok esetén adható, ezt bizonyítás nélkül közöljük.

Tekintsük az A szimmetrikus bilineáris függvény egy tetszőleges $A{\mathbf{R}}^{n\times n}$ mátrixát.

Az A akkor és csak akkor pozitív definit, ha minden k≤n-re az A bal felső sarkában levő k-adrendű aldetermináns pozitív.

Az A akkor és csak akkor negatív definit, ha minden k≤n-re az A bal felső sarkában levő k-adrendű aldetermináns aszerint pozitív, illetve negatív, hogy k páros, illetve páratlan.❶

Mint a fejezet bevezetőjében már említettük, a kvadratikus alakok természetes módon merülnek fel a geometriában a másodrendű görbék és felületek leírásánál, de számos további alkalmazásuk is van a matematika különféle területein.

Végül megjegyezzük, hogy a pozitív definit A-k kulcsfontosságú szerepet játszanak majd a következő fejezetben.

Feladatok

7.3.1

a) Bizonyítsuk be, hogy az A és B (nem feltétlenül szimmetrikus) bilineáris függvényekhez akkor és csak akkor tartozik ugyanaz a kvadratikus alak, ha A–B antiszimmetrikus (a definíciót lásd a 7.2.1 feladatban).

b) Igazoljuk, hogy a szimmetrikus bilineáris függvények és a kvadratikus alakok között kölcsönösen egyértelmű kapcsolat áll fenn.

7.3.2 Állapítsuk meg a 7.2.5–7.2.7 feladatokban szereplő szimmetrikus bilineáris függvények (illetve a hozzájuk tartozó kvadratikus alakok) jellegét.

7.3.3 Mi a különböző jellegű kvadratikus alakok értékkészlete? Mennyiben változik a helyzet, ha csak a nemnulla vektorokon felvett értékeket vesszük figyelembe?

7.3.4 Legyen à az A szimmetrikus bilineáris függvényhez tartozó kvadratikus alak.

a) Hogyan kaphatjuk meg $\widetilde{\mathbf{{\rm A}}}\left(\lambda \underset{\_}{x}\right)$ értékét $\widetilde{\mathbf{{\rm A}}}\left(\underset{\_}{x}\right)$-ből?

b) Mi a szükséges és elégséges feltétele (adott $\underset{\_}{x}$ és $\underset{\_}{z}$ mellett) $\widetilde{\mathbf{{\rm A}}}\left(\underset{\_}{x}+\underset{\_}{z}\right)=\widetilde{\mathbf{{\rm A}}}\left(\underset{\_}{x}\right)+\widetilde{\mathbf{{\rm A}}}\left(\underset{\_}{z}\right)$ teljesülésének?

7.3.5

a) Milyen jellegű lesz a λA (szimmetrikus) bilineáris függvény (λ-tól és A jellegétől függően)?

b) Milyen jellegű lehet A+B, ha A és B egymástól függetlenül pozitív/negatív definit/szemidefinit, illetve indefinit?

7.3.6 Írjuk át az alábbi (3-dimenziós) kvadratikus alakokat előjeles négyzetösszeggé:

 a)x₁x₂; b) x₁x₂+x₂x₃; c) x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁; d) $x_1^2-3x_3^2-2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-6x_2{x}_3$ e) $x_1^2+x_2^2+3x_3^2+4x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$

7.3.7 Írjuk át az alábbi (4-dimenziós) kvadratikus alakokat előjeles négyzetösszeggé:

 a) ${}_{i,j=1}^4{x}_i{x}_j$ b) x₁x₂+x₂x₃+x₃x₄; c) x₁x₂+x₂x₃+x₃x₄+x₄x₁; d) ${}_{i<j}{x}_i{x}_j$

7.3.8 Hol a hiba az alábbi okoskodásban?

 Tekintsük az $x_1^2+x_2^2+(x_1+x_2{)}^2=(x_1\sqrt{3}{)}^2+(x_2\sqrt{3}{)}^2-(x_1-x_2{)}^2$ kvadratikus alakot. Mindkét felírás előjeles négyzetösszeg, azonban az egyik felírásban három pozitív együttható szerepel, a másik felírásban viszont van negatív is. Ez (látszólag) ellentmond a tehetetlenségi tételnek.

7.3.9 Mutassuk meg, hogy egy szimmetrikus bilineáris függvény mátrixának a determinánsa általában megváltozik, ha más bázisra térünk át, azonban a determináns előjele (tehát, hogy a determináns pozitív, negatív vagy nulla) nem függ a bázis megválasztásától.

7.3.10 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha A pozitív vagy negatív definit, akkor det[A]≠0.

b) Ha det[A]≠0, akkor A pozitív vagy negatív definit.

7.3.11 Határozzuk meg a páronként nemekvivalens pozitív/negatív definit/szemidefinit, illetve indefinit szimmetrikus bilineáris függvények számát egy n-dimenziós V-n. (Az „ekvivalens” szó jelentését lásd a 7.2.10 feladatban.)

7.3.12 Mely A szimmetrikus bilineáris függvényekre teljesül az alábbi állítás: Ha az ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_k$ nemnulla vektorok páronként A-ortogonálisak, akkor szükségképpen lineárisan függetlenek.

M*7.3.13 Melyek azok az A szimmetrikus bilineáris függvények, amelyekre bármely $\underset{\_}{v}\ne \underset{\_}{0}$ vektor eleme egy alkalmas A-ortogonális bázisnak?

M*7.3.14 Nevezzük az à kvadratikus alak magjának a „gyökei” halmazát:

a) Mely kvadratikus alakokra lesz a mag altér?

b) Mely kvadratikus alakokra választható ki a magból V-nek egy bázisa?

c) Mennyi a magban található lineárisan független rendszerek elemszámának a maximuma?

d) Mennyi a magban található alterek dimenziójának a maximuma?