Legyen ${\underset{\_}{e}}_1,\dots ,{\underset{\_}{e}}_n$rögzített bázis V-ben. Ekkor az adott bázis szerint vett skalárszorzaton (más szóhasználattal: skaláris szorzaton, belső szorzaton) azt az S:V×V→R függvényt értjük, amely két vektorhoz a koordinátáik szorzatösszegét rendeli:

❶

Két vektor skalárszorzatát a közéjük írt ponttal fogjuk jelölni. A fentiekben (a jelöléstől eltekintve) tulajdonképpen megismételtük a 7.1 pont P1 és P2 példáját.

Véletlenül se keverjük össze a „skalárszorzat” szót a hasonló hangzású „skalárszoros”, illetve „skalárral való szorzás” kifejezésekkel: a skalárszorzat két vektorhoz egy skalárt (egy valós számot) rendel, az utóbbiak pedig egy vektort (mátrixot, leképezést stb.) szoroznak meg egy skalárral, aminek az eredménye ismét egy vektor (mátrix, leképezés stb.) lesz.

Rátérve a skalárszorzat tulajdonságaira, azonnal adódik, hogy a skalárszorzat szimmetrikus bilineáris függvény és (a kvadratikus alakja) pozitív definit. Ez részletesen kiírva a következőket jelenti:

(természetesen az összegre és skalárszorosra vonatkozó tulajdonságok a második változó szerint is érvényesek, de a szimmetria miatt ezeket nem tüntettük fel külön).

A 7.2.3 ortogonalizációs tételből (a 7.2.5 Tételben megfogalmazott formában) az előzők megfordítása is következik: egy pozitív definit szimmetrikus bilineáris függvényhez mindig található olyan bázis, hogy a szerinte vett skalárszorzat éppen az adott függvénnyel egyenlő. Végezzük el ugyanis az ortogonalizációt és a „normálást”, ekkor bármely szimmetrikus bilineáris függvény mátrixa diagonális lesz, ahol a főátlóban minden elem ±1 vagy 0. A pozitív definitség miatt azonban a főátlóban nulla és negatív szám nem állhat, tehát a mátrix ekkor az egységmátrix. Így a bilineáris függvény $[\underset{\_}{x}{]}^{T}E\left[\underset{\_}{z}\right]={}_{j=1}^n{x}_j{z}_j$ ami valóban az $\underset{\_}{x}\underset{\_}{z}$ skalárszorzat.

Ez az ekvivalencia lehetővé teszi a skalárszorzat bázistól független definícióját, amely például a végtelen dimenzióra történő kiterjesztésnél hasznos, de véges dimenziós esetben is gyakran kényelmesebb, mint a koordinátás megadás.

A fentieket fontosságuk miatt külön tételként is kimondjuk:

A skalárszorzatot pozitív definit szimmetrikus bilineáris függvényként is definiálhatjuk.❶

Most az euklideszi tér definíciója következik:

Euklideszi téren egy skalárszorzattal ellátott vektorteret értünk.❶

Euklideszi teret tehát úgy kapunk, hogy kijelölünk a (valós, véges dimenziós) vektortéren egy skalárszorzatot (a „·” jelölés ezentúl ezt a rögzített skalárszorzatot jelenti). A skalárszorzatot a 8.1.2 Tétel szerint kétféleképpen is kijelölhetjük: vagy lerögzítünk egy bázist, vagy pedig megadunk egy pozitív definit szimmetrikus bilineáris függvényt.

Egy bázis a skalárszorzatot nyilván egyértelműen meghatározza (két vektorhoz a koordinátáik szorzatösszegét rendeli). A megfordítás nem igaz, több bázis is létrehozhatja ugyanazt a skalárszorzatot: ehhez (az előbbi gondolatmenet szerint) pontosan az kell, hogy az adott bázisban a (pozitív definit szimmetrikus bilineáris) függvény mátrixa az egységmátrix legyen. Az ilyen bázis „merőleges egységvektorokból” áll: bármely bázisvektor önmagával vett skalárszorzata (az egységmátrix főátlójának megfelelő eleme, tehát) 1, két különböző bázisvektor skalárszorzata pedig 0. Euklideszi térben az ilyen vektorrendszerekre külön elnevezést vezetünk be:

Az ${\underset{\_}{e}}_1,\dots ,{\underset{\_}{e}}_n$ vektorokat ortonormált rendszernek nevezzük, ha ${\underset{\_}{e}}_i{\underset{\_}{e}}_j=0$ ha i≠j és 1, ha i=j.

Ha az ${\underset{\_}{e}}_i$ vektorok emellett bázist is alkotnak, akkor ortonormált bázisról beszélünk.❶

Ha az euklideszi tér skalárszorzatát bázis megadásával jelöltük ki, akkor ez a bázis mindenképpen ortonormált, de sok másik ortonormált bázis is létezik. Sőt, tetszőleges ortonormált rendszer kiegészíthető ortonormált bázissá: ez a 7.2.3 Tétel első bizonyításából (a Gram-Schmidt ortogonalizációból) adódik.

Tekintsük most egy euklideszi tér valamely alterét. Ekkor ez az altér maga is euklideszi tér lesz az eredeti skalárszorzatra (pontosabban annak megszorítására, leszűkítésére) nézve, még akkor is, ha a skalárszorzatot eredetileg kijelölő bázisnak akár egyetlen eleme sem esik ebbe az altérbe. Ez a 8.1.2 Tételből következik: az altérre történő leszűkítés ugyanis változatlanul pozitív definit szimmetrikus bilineáris függvény, és így a 8.1.2 Tétel szerint skalárszorzatot definiál.

A továbbiakban a merőleges kiegészítő altér fogalmát és tulajdonságait tárgyaljuk. Ehhez először a merőlegességet definiáljuk:

Egy euklideszi térben az $\underset{\_}{a}$ és $\underset{\_}{b}$ vektorok merőlegesek (vagy ortogonálisak), ha skalárszorzatuk nulla: $\underset{\_}{a}\underset{\_}{b}=0$

Ezt a geometriából ismert módon $\underset{\_}{a}\perp \underset{\_}{b}$-vel jelöljük.❶

Ne felejtsük el, hogy a merőlegesség erősen függ a választott skalárszorzattól. Ha tehát ugyanazon a V vektortéren egy másik skalárszorzatot veszünk (és így persze egy másik euklideszi teret kapunk), akkor (általában) más vektorpárok lesznek egymásra merőlegesek.

Egy V euklideszi térben egy H részhalmaz $H^{\perp }$merőleges kiegészítőjén a H minden elemére merőleges vektorok halmazát értjük, azaz $H^{\perp }=\left\{\underset{\_}{x}V|\left(\underset{\_}{h}H\Rightarrow \underset{\_}{h}\cdot \underset{\_}{x}=0\right)\right\}$❶

Egyszerű számolással ellenőrizhető, hogy $H^{\perp }$ minden esetben altér V-ben. Ha H maga is altér volt, akkor ennél lényegesen több is igaz:

Ha U altér, akkor a V euklideszi tér minden vektora egyértelműen írható fel egy U-beli és egy $U^{\perp }$-beli vektor összegeként.❶

Ez más megfogalmazásban azt jelenti (4.3.6 Tétel, 4.3.7 Definíció), hogy V az U és $U^{\perp }$ alterek direkt összege: $V=U{U}^{\perp }$ Ha V a közönséges tér (a szokásos skalárszorzattal) és U pl. egy (origón átmenő) sík, akkor azt a jól ismert geometriai tényt kapjuk, hogy minden $\underset{\_}{v}$ vektor egyértelműen előállítható egy U-ba eső vektor (ami a $\underset{\_}{v}$ vektor merőleges vetülete) és egy az U síkra merőleges vektor összegeként. Ennek mintájára tetszőleges euklideszi tér esetén is beszélünk egy $\underset{\_}{v}$ vektornak az U altérbe eső merőleges vetületéről: ez a 8.1.7 Tételben megadott előállításnál az összegnek az U-ba eső tagja.

Első bizonyítás: Vegyünk az U-ban egy ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_k$ ortonormált bázist, és ezt a ${\underset{\_}{b}}_{k+1},\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$ vektorokkal egészítsük ki a V ortonormált bázisává. (Ezt, mint az előbb már jeleztük, pl. a Gram-Schmidt ortogonalizációval valósíthatjuk meg.) Ekkor tetszőleges $\underset{\_}{v}V$ vektor felírható $\underset{\_}{v}={}_{j=1}^n{\lambda }_j{b}_j$ alakban. Itt az első k bázisvektor lineáris kombinációja egy U-beli, a maradék n–k bázisvektor lineáris kombinációja pedig egy $U^{\perp }$-beli vektort jelent. Ezzel megadtuk a $\underset{\_}{v}$ vektornak egy kívánt előállítását.

Hátra van még az egyértelműség igazolása. A 4.3.6 Tétel szerint ehhez azt kell belátni, hogy $U{U}^{\perp }=0$ Tegyük fel, hogy $\underset{\_}{a}U{U}^{\perp }$ Ekkor $\underset{\_}{a}\perp \underset{\_}{a}$ is teljesül, azaz $\underset{\_}{a}\cdot \underset{\_}{a}=0$ de így csak $\underset{\_}{a}=\underset{\_}{0}$ lehet.❷

A bizonyításból az is kiderült, hogy $U^{\perp }$ egy bázisa ${\underset{\_}{b}}_{k+1},\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$

A fenti bizonyítás tulajdonképpen a konkrét felbontás megkeresésére is alkalmas, bár az innen leolvasható eljárás meglehetősen bonyolult. Az alábbi bizonyításból egy lényegesen egyszerűbb és gyakorlati szempontból használhatóbb algoritmust nyerünk.

Második bizonyítás: Legyen most is ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_k$ ortonormált bázis U-ban, $\underset{\_}{v}V$ tetszőleges, és keressük a $\underset{\_}{v}=\underset{\_}{u}+{\underset{\_}{u}}^{\perp }$ előállítást, ahol $\underset{\_}{u}U,{\underset{\_}{u}}^{\perp }{U}^{\perp }$ Írjuk be ide az $\underset{\_}{u}={}_{j=1}^k{\lambda }_j{\underset{\_}{b}}_j$ alakot, majd a kapott egyenlőség mindkét oldalának vegyük rendre a ${\underset{\_}{b}}_m \left(m=\mathrm{1,2},\dots ,k\right)$ vektorokkal a skalárszorzatát:

(1)

A jobb oldalon ${\underset{\_}{b}}_j\cdot {\underset{\_}{b}}_m=0$ ha j≠m, ugyanígy ${\underset{\_}{u}}^{\perp }\cdot {\underset{\_}{b}}_m=0$ (hiszen ${\underset{\_}{b}}_{m}U,{\underset{\_}{u}}^{\perp }{U}^{\perp }$), és végül ${\underset{\_}{b}}_m\cdot {\underset{\_}{b}}_m=1$ tehát (1) a $\underset{\_}{v}\cdot {\underset{\_}{b}}_m={\lambda }_m$ alakot ölti. Ezzel megkaptuk a λ_m együtthatók és így $\underset{\_}{u}$ egyetlen lehetséges értékét: $\underset{\_}{u}={}_{j=1}^k\left(\underset{\_}{v}\cdot {\underset{\_}{b}}_j\right){\underset{\_}{b}}_j$

Azt kell már csak megmutatni, hogy ez valóban megfelel, azaz ${\underset{\_}{u}}^{\perp }=\underset{\_}{v}-{}_{j=1}^k\left(\underset{\_}{v}\cdot {\underset{\_}{b}}_j\right){\underset{\_}{b}}_j{U}^{\perp }$ Könnyen adódik, hogy egy $\underset{\_}{a}$ vektor akkor és csak akkor merőleges U minden elemére, ha U egy (tetszőlegesen választott) bázisának elemeire merőleges, így elég belátni, hogy a fenti ${\underset{\_}{u}}^{\perp }$-nek mindegyik ${\underset{\_}{b}}_j$-vel vett skalárszorzata nulla. Ez pedig egyszerű számolással azonnal adódik.❷

Feladatok

8.1.1 Bizonyítsuk be, hogy R⁴-ben az $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ szokásos egységvektorok és az $\left(\begin{array}{c}1/2\\ 1/2\\ 1/2\\ 1/2\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}1/2\\ -1/2\\ 1/2\\ -1/2\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}1/2\\ -1/2\\ -1/2\\ 1/2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1/2\\ 1/2\\ -1/2\\ -1/2\end{array}\right)$ vektorok ugyanazt a skalárszorzatot definiálják.

8.1.2 Mutassuk meg, hogy egy euklideszi térben páronként merőleges nemnulla vektorok szükségképpen lineárisan függetlenek.

8.1.3 Bizonyítsuk be, hogy minden legalább kétdimenziós euklideszi térben végtelen sok ortonormált bázis létezik.

8.1.4 Legyen V a legfeljebb másodfokú valós együtthatós polinomok szokásos vektortere. Lássuk be, hogy az alábbi függvények skalárszorzatot definiálnak, és adjunk meg egy-egy ortonormált bázist (f és g tetszőleges V-beli polinomokat jelölnek, f’, illetve f” pedig az f első, illetve második deriváltját).

 a) ${}_{-1}^{+1}f\left(t\right)g\left(t\right)dt$ b) f(1)g(1)+f’(1)g’(1)+f”(1)g”(1); c) ${}_{\left|j\right|<5}f\left(j\right)g\left(j\right)$ d) ${}_{j=1}^{9}f\left(j\right)g\left(j\right)$

8.1.5 Bizonyítsuk be, hogy egy euklideszi térben $\underset{\_}{b}$ akkor és csak akkor merőleges az ${\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_k$ vektorok mindegyikére, ha $\underset{\_}{b}{〈{\underset{\_}{a}}_1,\dots ,{\underset{\_}{a}}_k〉}^{\perp }$

8.1.6 Legyen U altér a V euklideszi térben. Igazoljuk, hogy $\dim U+\dim U^{\perp }=\dim V$

8.1.7 Tekintsük az R⁵ euklideszi teret a szokásos skalárszorzattal. Jelölje egy általános $\underset{\_}{v}V$ vektor komponenseit v₁,…, v₅. Adjuk meg az alábbi alterek merőleges kiegészítőjét.

a) $W_1=\left\{\underset{\_}{v} |{ v}_1=v_2=0\right\}$

b) $W_2=\left\{\underset{\_}{v} | v_1=v_2=v_3=v_4=v_5\right\}$

c) $W_3=\left\{\underset{\_}{v }| {}_{j=1}^5{v}_j=0, 2v_1+v_2=v_4+2v_5\right\}$

8.1.8 Legyen U és W két altér a V euklideszi térben, dim U+dim W≥dim V és $\underset{\_}{u}\cdot \underset{\_}{w}=0$ bármely $\underset{\_}{u}U,\underset{\_}{w}W$ esetén. Igazoljuk, hogy $W=U^{\perp }$

8.1.9 Legyenek U1 és U2 egy euklideszi tér alterei. Bizonyítsuk be, hogy

a) $U_1\subseteq U_2\iff U_1^{\perp }\supseteq U_2^{\perp }$

b) ${〈U_1,U_2〉}^{\perp }=U_1^{\perp }{U}_2^{\perp }$

c) $(U_{\text{'}}{U}_2{)}^{\perp }=〈U_1^{\perp },U_2^{\perp }〉$

8.1.10

a) Adjunk meg az R² szokásos euklideszi térben végtelen sok olyan vektort, amelyek közül bármely kettő lineárisan független, de semelyik kettő sem merőleges.

*b) Legyen V egy n-dimenziós euklideszi tér (n>0). Adjunk meg V-ben végtelen sok olyan vektort, amelyek közül bármely n lineárisan független, de semelyik kettő sem merőleges.

*8.1.11 Legyen V egy n-dimenziós euklideszi tér és ${\underset{\_}{b}}_1,\dots ,{\underset{\_}{b}}_n$ tetszőleges bázis. Bizonyítsuk be, hogy pontosan egy olyan ${\underset{\_}{c}}_1,\dots ,{\underset{\_}{c}}_n$ bázis létezik, amelyre ${\underset{\_}{b}}_i\cdot {\underset{\_}{c}}_j=0$ ha i≠j, és 1, ha i=j.

8.1.12 Legyen a V véges dimenziós valós vektortér az U és W alterek direkt összege. Értelmezzünk V-n skalárszorzatot úgy, hogy a kapott euklideszi térben $W=U^{\perp }$ legyen. Hány ilyen skalárszorzat létezik?

8.1.13 Legyen V egy n-dimenziós euklideszi tér. A V→R lineáris leképezéseket, azaz Hom (V, R) elemeit lineáris függvényeknek nevezzük (ezt a fogalmat már a 7.1.9 feladatban is bevezettük).

a) Legyen $\underset{\_}{c}V$ rögzített vektor. Mutassuk meg, hogy ${\varphi }_{\underset{\_}{c}}\left(\underset{\_}{x}\right)=\underset{\_}{c}\underset{\_}{x}$ lineáris függvény.

b) Legyen Ψ tetszőleges lineáris függvény. Bizonyítsuk be, hogy ekkor létezik, mégpedig pontosan egy olyan $\underset{\_}{c}V$ vektor, amellyel $\left(\underset{\_}{x}\right)=\underset{\_}{c}\underset{\_}{x}$

 Megjegyzés: A feladat két része együttesen azt fejezi ki, hogy az összes lineáris függvényt a V elemeinek egy rögzített vektorral képezett skalárszorzataként kapjuk meg. A fenti $\underset{\_}{c}\to {\varphi }_{\underset{\_}{c}}$ megfeleltetés a V vektortér és a lineáris függvények alkotta Hom (V, R) ún. duális tér között kölcsönösen egyértelmű, sőt könnyen láthatóan művelettartó is, és így (vektortér)izomorfizmus.

8.1.14 Két euklideszi teret akkor nevezünk izomorfnak, ha létezik közöttük olyan kölcsönösen egyértelmű lineáris leképezés, amely (nemcsak az összeadásra és a skalárral való szorzásra, hanem) a skalárszorzatra nézve is művelettartó. Bizonyítsuk be, hogy két euklideszi tér akkor és csak akkor izomorf, ha megegyezik a dimenziójuk.

*8.1.15 Végtelen dimenziós euklideszi teret is értelmezhetünk, ha a skalárszorzatot (bázis felhasználása nélkül) pozitív definit szimmetrikus bilineáris függvényként definiáljuk.

 Legyen V azoknak az $\underset{\_}{a}=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k,\dots \right)$ végtelen valós számsorozatoknak a halmaza, ahol az elemek négyzeteiből képzett végtelen sor konvergens: $V=\left\{\underset{\_}{a}=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k,\dots \right) |{}_{j=1}^{}{\alpha }_j^2<\right\}$

a) Mutassuk meg, hogy V a sorozatok szokásos összeadására és számmal való szorzására vektorteret alkot.

b) Igazoljuk, hogy az $\underset{\_}{a}\underset{\_}{b}=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k,\dots \right)(\left({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_k,\dots \right)={}_{j=1}^{}{\alpha }_j{\beta }_j$ hozzárendelés skalárszorzatot definiál V-n.

c) Legyen U azoknak a sorozatoknak az altere V-ben, amelyek legfeljebb véges sok nemnulla elemet tartalmaznak. Mi lesz $U^{\perp }$?

*8.1.16 Legyen U altér egy V végtelen dimenziós euklideszi térben.

a) Mutassuk meg, hogy $U^{\perp }=\underset{\_}{0}\iff U=\underset{\_}{0}$

b) Igaz-e, hogy $U^{\perp }=\underset{\_}{0}\iff U=V$?

c) Lássuk be, hogy $(U^{\perp }{)}^{\perp }\supseteq U$ de nem mindig érvényes egyenlőség.

d) Bizonyítsuk be, hogy $\left(\right(U^{\perp }{)}^{\perp }{)}^{\perp }=U^{\perp }$

*8.1.17 Vizsgáljuk meg a 8.1.7 Tétel és a 8.1.9 feladat állításait végtelen dimenziós euklideszi térre.