Egy euklideszi térben az $\underset{\_}{x}$ vektor hosszán (vagy normáján vagy abszolút értékén) az önmagával vett skalárszorzatának a négyzetgyökét értjük. A skalárszorzat definíciója szerint ezt úgy kapjuk, hogy az $\underset{\_}{x}$ egy ortonormált bázisban vett koordinátáinak négyzetösszegéből négyzetgyököt vonunk. Az $\underset{\_}{x}$ vektor hosszát $‖\underset{\_}{x}‖$-szel jelöljük. Összefoglalva:

ahol x₁,…,x_n az $\underset{\_}{x}$ vektor koordinátái egy ortonormált bázisban.❶

A hossz az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

(N1) $‖\underset{\_}{x}‖\ge 0$ és $‖\underset{\_}{x}‖=0\iff \underset{\_}{x}=0$

(N2) $‖\lambda \underset{\_}{x}‖=\left|\lambda \right|‖\underset{\_}{x}‖$

(N3) $‖\underset{\_}{x}+\underset{\_}{z}‖\le ‖\underset{\_}{x}‖+‖\underset{\_}{z}‖$❶

Bizonyítás: (N1), illetve (N2) azonnal következik a skalárszorzat pozitív definitségéből, illetve bilinearitásából. Az (N3) háromszögegyenlőtlenség igazolására a 8.2.8 Tétel után kerül majd sor.❷

Egy R feletti V vektorteret normált (vektor)térnek nevezünk, ha értelmezve van rajta egy||·||:V→Rnorma, amely rendelkezik az (N1), (N2) és (N3) tulajdonságokkal.❶

A 8.2.2 Tételt tehát úgy is fogalmazhatjuk, hogy minden euklideszi tér egyben normált tér is. Ennek a megfordítása nem igaz, lásd a 8.2.4–8.2.5 feladatokat.

A hossz segítségével azonnal értelmezhető a távolság:

Egy normált térben két vektor távolságán a különbségvektoruk hosszát értjük. Az $\underset{\_}{x}$ és $\underset{\_}{z}$ vektorok távolságát $\tau \left(\underset{\_}{x},\underset{\_}{z}\right)$-vel jelöljük. Így $\tau \left(\underset{\_}{x},\underset{\_}{z}\right)=‖\underset{\_}{x}-\underset{\_}{z}‖$❶

A távolság az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

(M1) $\tau \left(\underset{\_}{x},\underset{\_}{z}\right)\ge 0$ és $\tau \left(\underset{\_}{x},\underset{\_}{z}\right)=0\iff \underset{\_}{x}=\underset{\_}{z}$

(M2) $\tau \left(\underset{\_}{x},\underset{\_}{z}\right)=\tau \left(\underset{\_}{z},\underset{\_}{x}\right)$

(M3) $\tau \left(\underset{\_}{x},\underset{\_}{z}\right)\le \tau \left(\underset{\_}{x},\underset{\_}{w}\right)+\tau \left(\underset{\_}{w},\underset{\_}{z}\right)$❶

Bizonyítás: Mindhárom (M) tulajdonság azonnal következik az azonos sorszámú (N) tulajdonságból [(N2)-t csak λ=–1-re kell felhasználni].❷

Egy H halmazt metrikus térnek nevezünk, ha értelmezve van rajta egy τ:H×H→Rtávolság (vagy metrika), amely rendelkezik az (M1), (M2) és (M3) tulajdonságokkal.❶

A 8.2.5 Tételt tehát úgy is fogalmazhatjuk, hogy minden normált tér (és így speciálisan minden euklideszi tér) egyben metrikus tér is. Ennek a megfordítása nem igaz, lásd a 8.2.6–8.2.7 feladatokat.

Végül következik a szög definíciója. A síkon (vagy térben) két nemnulla vektor skalárszorzata a két vektor hosszának és a közbezárt szög koszinuszának a szorzata, azaz $\underset{\_}{x}\underset{\_}{z}=‖\underset{\_}{x}‖\cdot ‖z‖\cdot cos\phi$ Innen cosϕ kifejezhető: $cos\phi =(\underset{\_}{x}\cdot \underset{\_}{z})/(‖\underset{\_}{x}‖\cdot ‖z‖)$ (a nevezőben $‖\underset{\_}{x}‖$ és $‖\underset{\_}{z}‖$ nem nulla, mert $\underset{\_}{x}$ és $\underset{\_}{z}$ nem nullvektor). Ennek alapján a közbezárt szög koszinusza megadható csak a skalárszorzat segítségével, és ez lehetővé teszi a szög definícióját tetszőleges euklideszi térben:

Ha $\underset{\_}{x}$ és $\underset{\_}{z}$ egy euklideszi tér nullától különböző vektorai, akkor a közbezárt szögükön azt a 0≤ϕ≤π szöget értjük, amelyre

❶

A fenti definíció csak akkor értelmez valóban szöget, ha a cosϕ-re megadott kifejezés –1 és +1 közé esik. Ezt az alábbi tétel biztosítja:

Egy euklideszi tér bármely $\underset{\_}{x}$ és $\underset{\_}{z}$ vektorára fennáll az

egyenlőtlenség. Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha $\underset{\_}{x}$ és $\underset{\_}{z}$ lineárisan összefüggők (azaz az egyik a másiknak skalárszorosa).❶

Azonnal megállapíthatjuk, hogy ha $\underset{\_}{x}$ és $\underset{\_}{z}$ közül legalább az egyik a nullvektor, akkor mindkét oldal 0, tehát elég azzal az esettel foglalkozni, amikor $\underset{\_}{x}$ és $\underset{\_}{z}$ egyike sem $\underset{\_}{0}$

Első bizonyítás: Tekintsük az $\underset{\_}{x}$ és $\underset{\_}{z}$ által generált alteret. Ez egy legfeljebb 2-dimenziós euklideszi tér, és így a közönséges síkkal vagy annak egy alterével izomorf (mint euklideszi tér is, lásd a 8.1.14 feladatot). A síkon viszont igaz az egyenlőtlenség (hiszen éppen abból indultunk ki), továbbá egyenlőség pontosan akkor érvényes, ha a vektorok párhuzamosak, azaz összefüggők.❷

Második bizonyítás: Írjuk fel mindkét oldalt egy ortonormált bázis szerinti koordináták segítségével, majd emeljünk négyzetre. Mivel mindkét oldalon nemnegatív szám áll, így a négyzetre emelés ekvivalens egyenlőtlenséget eredményez. Ez a következőképpen fest:

A műveleteket elvégezve és átrendezve a

alakot kapjuk. A jobb oldali négyzetösszeg nyilván nemnegatív (amivel az egyenlőtlenséget már igazoltuk), és csak akkor nulla, ha minden tagja nulla. Ez utóbbi azt jelenti, hogy $\underset{\_}{x}$ és $\underset{\_}{z}$ koordinátái arányosak, tehát az egyik vektor valóban a másik skalárszorosa. Megjegyezzük, hogy a második bizonyítás tulajdonképpen egy valós számokra vonatkozó elemi egyenlőtlenséget igazolt középiskolás úton. Ennek speciális eseteként megkaphatjuk a számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget is (lásd a 8.2.8 feladatot).

Harmadik bizonyítás: Legyen λ tetszőleges skalár, és tekintsük a

skalárszorzatot. Ez ($\underset{\_}{x}\ne \underset{\_}{0}$ miatt) λ-nak másodfokú polinomja, továbbá minden λ valós számra nemnegatív értéket vesz fel. Ez csak úgy lehet, ha a diszkriminánsa nempozitív, azaz

Ez éppen a bizonyítandó egyenlőtlenség négyzetre emelt alakja.

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a diszkrimináns nulla, ami (a negatív diszkriminánsú másik esettel szemben) éppen azt jelenti, hogy a szóban forgó másodfokú polinomnak van gyöke. Ekkor tehát alkalmas λ-ra

$‖\lambda \underset{\_}{x}+\underset{\_}{z}‖=0$ azaz $\lambda \underset{\_}{x}+\underset{\_}{z}=\underset{\_}{0}$ vagyis $\underset{\_}{z}=-\lambda \underset{\_}{x}$❷

A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenlőtlenség (a továbbiakban CBS) igen széles körben alkalmazható. Most a 8.2.2 Tételbeli (N3) háromszögegyenlőtlenség még hiányzó bizonyítását pótoljuk a segítségével.

A háromszögegyenlőtlenség bizonyítása [8.2.2 Tétel, (N3)]: $‖\underset{\_}{x}+\underset{\_}{z}‖\le ‖\underset{\_}{x}‖+‖\underset{\_}{z}‖$ teljesülését kell belátnunk. Ezzel (a nemnegativitás miatt) ekvivalens, ha a két oldal négyzetére látjuk be a megfelelő egyenlőtlenséget. A bal oldal négyzete ${‖\underset{\_}{x}‖}^2+2\left(\underset{\_}{x}\underset{\_}{z}\right)+{‖\underset{\_}{z}‖}^2$ a jobb oldal négyzete pedig ${‖\underset{\_}{x}‖}^2+2‖\underset{\_}{x}‖‖\underset{\_}{z}‖+{‖\underset{\_}{z}‖}^2$ Csak a középső tagban van eltérés, és ott a CBS biztosítja a kívánt irányú egyenlőtlenséget.❷

A fenti bizonyításból az is kiderült, hogy (a geometriai tapasztalatunkkal összhangban) a háromszögegyenlőtlenségben pontosan akkor áll egyenlőség, ha a két vektor egyirányú, azaz az egyik a másiknak nemnegatív skalárszorosa.

Feladatok

8.2.1 Mennyi egy ortonormált bázis két elemének a távolsága?

8.2.2 Mennyi az $\underset{\_}{x}$ és $\underset{\_}{z}$ vektorok szöge, ha $‖\underset{\_}{x}‖=‖\underset{\_}{z}‖=‖\underset{\_}{x}-\underset{\_}{z}‖\ne 0$?

8.2.3 Bizonyítsuk be tetszőleges euklideszi térben az alábbi állításokat. Mely közismert geometriai tételek általánosításáról van szó?

a) $\underset{\_}{x}\perp \underset{\_}{z}\iff {‖\underset{\_}{x}+\underset{\_}{z}‖}^2={‖\underset{\_}{x}‖}^2+{‖\underset{\_}{z}‖}^2$

b) $‖\underset{\_}{x}‖=‖\underset{\_}{z}‖\iff \underset{\_}{x}+\underset{\_}{z}\perp \underset{\_}{x}-\underset{\_}{z}$

c) ${‖\underset{\_}{x}+\underset{\_}{z}‖}^2+{‖\underset{\_}{x}-\underset{\_}{z}‖}^2=2 {‖\underset{\_}{x}‖}^2+2 {‖z‖}^2$

8.2.4 Az alábbi Rⁿ→R függvények közül melyekre lesz az Rⁿ vektortér normált tér? (Az $\underset{\_}{x}$ vektor komponenseit x_j-vel jelöljük.)

a) ${max}_{j=1}^n{x}_j$ b) ${max}_{j=1}^n\left|x_j\right|$ c) |x₁|; d) ${}_{j=1}^n\left|x_j\right|$ **e) ${\left({}_{j=1}^n|x_j{|}^3\right)}^{1/3}$

8.2.5

a) Mutassunk példát olyan normált térre, amely nem euklideszi tér, azaz a norma nem skalárszorzatból származik.

**b) Bizonyítsuk be, hogy egy normált tér pontosan akkor tehető euklideszi térré (azaz pontosan akkor definiálható rajta egy, az ${‖\underset{\_}{x}‖}^2=\underset{\_}{x}\cdot \underset{\_}{x}$ azonosságot kielégítő skalárszorzat), ha bármely $\underset{\_}{x}$ és $\underset{\_}{z}$ esetén ${‖\underset{\_}{x}+\underset{\_}{z}‖}^2+{‖\underset{\_}{x}-\underset{\_}{z}‖}^2=2 {‖\underset{\_}{x}‖}^2+2 {‖\underset{\_}{z}‖}^2$ teljesül.

8.2.6 Az alábbiakban Rⁿ-en többféleképpen megpróbáljuk két vektor távolságát definiálni. Mely esetekben kapunk metrikus teret? (Az $\underset{\_}{x}$ illetve $\underset{\_}{z}$ vektor komponenseit x_j-vel, illetve z_j-vel jelöljük.)

a) |x₁–z₁|; b) ${}_{j=1}^n\left|x_j-z_j\right|$

c) Ahány komponensben $\underset{\_}{x}$ és $\underset{\_}{z}$ különbözik, azaz ahány j-re x_j≠z_j.

8.2.7 Mutassunk példát olyan vektortérre, amely metrikus tér, de a metrika nem normából származik (azaz nem definiálható úgy egy norma, hogy a $\tau \left(\underset{\_}{x},\underset{\_}{z}\right)=‖\underset{\_}{x}-\underset{\_}{z}‖$ azonosság teljesüljön).

8.2.8 Hogyan következik a CBS-ből a számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség:

Mikor áll egyenlőség?

8.2.9 Melyek igazak az alábbi állítások közül (k tetszőleges pozitív egész, a ${\underset{\_}{c}}_i$ vektorok egy euklideszi tér elemei)?

a) Ha a ${\underset{\_}{c}}_1,\dots ,{\underset{\_}{c}}_k$ vektorok páronként merőlegesek, akkor ${\underset{\_}{c}}_1,\dots ,{\underset{\_}{c}}_k$

b) Ha ${‖{}_{j=1}^k{\underset{\_}{c}}_j‖}^2={}_{j=1}^k{‖{\underset{\_}{c}}_j‖}^2$ akkor a ${‖{}_{j=1}^k{\underset{\_}{c}}_j‖}^2={}_{j=1}^k{‖{\underset{\_}{c}}_j‖}^2$ vektorok páronként merőlegesek.

8.2.10 Milyen szöget zárnak be az R⁴ szokásos euklideszi térben az alábbi vektorok?

a) $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ és $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ b) $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ és $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ c) $\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{2}\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ és $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ \sqrt{2}\\ 1\end{array}\right)$

8.2.11 Tekintsünk az R⁴ szokásos euklideszi térben egy egységnyi oldalú kockát

a) Határozzuk meg a csúcsok, az élek és a testátlók számát.

b) Milyen hosszúak a testátlók?

c) Milyen szöget zár be egy testátló egy éllel?

d) Milyen szöget zár be két testátló?

e) Mennyi a kocka köré, illetve a kockába írt (4-dimenziós) gömb sugara?

8.2.12 Definiáljuk és számítsuk ki az R⁴ szokásos euklideszi térben az $U=\left\{\underset{\_}{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\\ u_4\end{array}\right) | u_1+u_2+u_3+u_4=0\right\}$ altér és az $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ vektor távolságát.

8.2.13 Tegyük fel, hogy az $A\underset{\_}{x}=\underset{\_}{b}$ valós egyenletrendszer nem oldható meg. Ekkor olyan $\underset{\_}{z}$ közelítő megoldást szeretnénk találni, amelyre az $A\underset{\_}{z}$ vektor a lehető legközelebb van $\underset{\_}{b}$-hez. Hogyan keressünk ilyen $\underset{\_}{z}$-t, és milyen értelemben lesz ez legjobb közelítő megoldás? Illusztráljuk mindezt az alábbi egyenletrendszeren:

8.2.14 Legyen ${\underset{\_}{e}}_1,\dots ,{\underset{\_}{e}}_n$ egy euklideszi tér ortonormált bázisa. Igazoljuk az alábbi azonosságokat:

a) $\underset{\_}{x}={}_{j=1}^n\left({\underset{\_}{e}}_j\cdot \underset{\_}{x}\right){\underset{\_}{e}}_j$

b) $\underset{\_}{x}\cdot \underset{\_}{z}={}_{j=1}^n\left(\underset{\_}{x}\cdot {\underset{\_}{e}}_j\right)\left({\underset{\_}{e}}_j\cdot \underset{\_}{z}\right)$

c) Parseval-formula: ${\underset{\_}{c}}_1,\dots ,{\underset{\_}{c}}_k$

8.2.15 (Bessel-egyenlőtlenség.) Mutassuk meg, hogy ha $\underset{\_}{x}$ ortonormált rendszer, akkor bármely ${‖\underset{\_}{x}‖}^2\ge {}_{j=1}^k|\underset{\_}{x}\cdot {\underset{\_}{c}}_j{|}^2$ vektorra ${‖\underset{\_}{x}‖}^2\ge {\sum }_{j=1}^k|\underset{\_}{x}\cdot {\underset{\_}{c}}_j{|}^2$ Mikor áll egyenlőség?

8.2.16 Lássuk be, hogy a CBS (nemcsak a skalárszorzatokra, azaz a pozitív definit függvényekre, hanem) a pozitív szemidefinit függvényekre is igaz: ha A egy pozitív szemidefinit szimmetrikus bilineáris függvény, akkor bármely $\underset{\_}{x}$ és $\underset{\_}{z}$ vektorra ${\left|\mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{x},\underset{\_}{z}\right)\right|}^2\le \mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{x},\underset{\_}{x}\right)\cdot \mathbf{{\rm A}}\left(\underset{\_}{z},\underset{\_}{z}\right)$

M*8.2.17 Egy n-dimenziós euklideszi térben maximálisan hány (nemnulla) vektor adható meg úgy, hogy közülük bármely kettő a) 60; b) 120 fokos szöget zárjon be egymással?

*8.2.18

Mutassuk meg, hogy a CBS végtelen dimenziós euklideszi térben is igaz (a végtelen dimenziós euklideszi tér értelmezését lásd a 8.1.15 feladatban).