Az $\mathcal{A}$ transzformáció szimmetrikus, ha ${\mathcal{A}}^{*}=\mathcal{A}$❶

Egy $\mathcal{A}$ transzformációnak akkor és csak akkor létezik ortonormált sajátbázisa, ha $\mathcal{A}$ szimmetrikus.❶

Bizonyítás: Ha létezik ortonormált sajátbázis, akkor $\mathcal{A}$-nak ebben felírt mátrixa diagonális, tehát nyilván szimmetrikus, és így $\mathcal{A}$ is szimmetrikus.

A megfordításhoz tegyük fel, hogy $\mathcal{A}$ szimmetrikus. Először belátjuk, hogy $\mathcal{A}$-nak létezik sajátvektora. Mivel a valós test fölött a minimálpolinom legfeljebb másodfokú irreducibilis tényezők szorzata, ezért a 6.5.5 Tétel szerint $\mathcal{A}$-nak létezik egy W legfeljebb 2-dimenziós invariáns altere. Ha dim W=1, akkor W (bármelyik) generátoreleme sajátvektor. Legyen tehát dim W=2, és írjuk fel $\mathcal{A}$ (W-re történő megszorításának) mátrixát egy ortonormált bázis szerint. Mivel $A=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \beta & \delta \end{array}\right)$ szimmetrikus, ezért ez a mátrix is az: $\mathcal{A}$ Az $k_{\mathcal{A}}=x^2-\left(\alpha +\delta \right)x+\left(\alpha \delta -{\beta }^2\right)$ karakterisztikus polinomja $k_{\mathcal{A}}$ Ennek a diszkriminánsa (α+δ)²–4(αδ–β²)=(α–δ)²+4β²≥0, tehát $\mathcal{A}$-nak van (valós) gyöke. Ez a gyök ${\underset{\_}{e}}_1$-nak sajátértéke, így van sajátvektor is.

Legyen $\mathcal{A}$ az $U={〈{\underset{\_}{e}}_1〉}^{\perp }$ egy egységnyi normájú sajátvektora. Ekkor az ${\mathcal{A}}^{*}=\mathcal{A}$ merőleges kiegészítő altér invariáns altere ${\mathcal{A}}^{*}=\mathcal{A}$-nak. Ennek alapján a fenti eljárást az U altéren megismételhetjük stb. Így végül egy ortonormált sajátbázishoz jutunk.❷

A geometria szempontjából a szimmetrikus mátrixot egy szimmetrikus bilineáris függvény mátrixaként érdemes tekinteni. A főtengelytétel ekkor a következő állítással ekvivalens: egy szimmetrikus bilineáris függvény úgy is ortogonalizálható, hogy a bázis az (euklideszi térben eleve) adott skalárszorzatra nézve is ortonormált legyen. Ez speciálisan a közönséges sík, illetve tér másodrendű görbéire, illetve felületeire vonatkozólag azt jelenti, hogy léteznek merőleges sajátirányok. Ezekkel felírva az adott görbének, illetve felületnek megfelelő kvadratikus alakot, az (konstans együtthatókkal — a sajátértékekkel — képezett) négyzetösszeg lesz.

A főtengelytétel előbbi alakja úgy is fogalmazható, hogy két szimmetrikus bilineáris függvény egyszerre is ortogonalizálható, ha legalább az egyikük skalárszorzat, azaz pozitív definit.

A főtengelytétel transzformációs és bilineáris függvényes alakjának ekvivalenciája némi meggondolást igényel, ugyanis más bázisra történő áttérésnél általában másképp változik egy transzformáció és másképp egy bilineáris függvény mátrixa. Jelen esetben ez azért nem okoz gondot, mert ortonormált bázisok szerepelnek, és ekkor egyformán módosulnak a mátrixok.

Most rátérünk az unitér transzformációk valós megfelelőjére.

Az $\mathcal{A}$ transzformáció ortogonális, ha ${\mathcal{A}}^{*}={\mathcal{A}}^{-1}$❶

Egy $\mathcal{A}$ transzformáció akkor és csak akkor ortogonális, ha létezik olyan ortonormált bázis, amely szerint $\mathcal{A}$ mátrixa a főátlóra fűzött 2×2-es és 1×1-es blokkokból áll: a 2×2-es blokkok $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ alakúak, az 1×1-esek pedig ±1-ek (és a mátrix többi eleme 0).❶

Másképp fogalmazva: V páronként ortogonális $\mathcal{A}$-invariáns „síkok” és „egyenesek” direkt összege, amelyek mindegyikén $\mathcal{A}$ valamilyen (origó körüli) forgatás.

Általában ortonormált sajátbázis nem létezik, hiszen pl. a sík (origó körüli) forgatása ortogonális transzformáció, de (ha a szög nem kπ, akkor) nincs sajátvektora.

Bizonyítás: Ha létezik ilyen bázis, akkor egyszerű számolással adódik, hogy a fenti alakú mátrixot a transzponáltjával megszorozva az egységmátrixot kapjuk. Így a mátrix transzponáltja éppen az inverze, és ekkor (a bázis ortonormáltsága miatt) ugyanez érvényes a transzformációra is.

A megfordításhoz tegyük fel, hogy ${\mathcal{A}}^{*}={\mathcal{A}}^{-1}$ ortogonális, azaz $\mathcal{A}$ Az előző tétel bizonyításához hasonlóan $\mathcal{A}$-nak létezik egy W legfeljebb 2-dimenziós invariáns altere. Ha dim W=1, akkor W (bármelyik) generátoreleme sajátvektor, és a hozzátartozó sajátérték az ortogonalitás miatt ±1. Ha dim W=2, akkor írjuk fel $\mathcal{A}$ (W-re történő megszorításának) mátrixát egy ortonormált bázis szerint. Mivel ${\mathcal{A}}^{*}={\mathcal{A}}^{-1}$ ezért a mátrix transzponáltja egyben az inverze. Ha $A=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)$ akkor $A^{*}=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{array}\right)$ és az inverzre az előjeles aldeterminánsokkal adott képlet szerint $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\delta /D& -\beta /D\\ -\gamma /D& \alpha /D\end{array}\right)$ ahol D=det A.

Az ${\mathcal{A}}^{*}={\mathcal{A}}^{-1}$ mátrixban a főátló elemeinek összege α+δ=(δ+α)/D, ahonnan α+δ=0 vagy D=1.

Az α+δ=0 esetben az elemek összehasonlításával kapjuk, hogy D=–1, és így β=γ. Ez azt jelenti, hogy A szimmetrikus, tehát a 8.6.2 Tétel szerint létezik ortonormált sajátbázis (a két sajátérték $\mathcal{A}$ ortogonalitása miatt csak ±1 lehet).

A D=1 esetben az adódik, hogy $A=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{array}\right)$ alakú, ahol α²+β²=1. Ez azt jelenti, hogy alkalmas θ-ra $A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

Legyen most $U=W^{\perp }$ Ekkor U invariáns altere ${\mathcal{A}}^{*}={\mathcal{A}}^{-1}$-nek. Mivel $\mathcal{A}$ és ${\mathcal{A}}^{-1}$ invariáns alterei könnyen láthatóan megegyeznek, ezért U invariáns altere $\mathcal{A}$-nak is. Ennek alapján a fenti eljárást az U altéren megismételhetjük stb. Így végül egy megfelelő ortonormált bázishoz jutunk.

Feladatok

8.6.1 Bizonyítsuk be, hogy ha $\mathcal{A}$ egyszerre szimmetrikus és ortogonális transzformáció, akkor ${\mathcal{A}}^2=\mathcal{E}$ Igaz-e az állítás megfordítása?

8.6.2 Mutassuk meg, hogy egy szimmetrikus transzformáció sajátalterei páronként merőlegesek. Igazoljuk ugyanezt ortogonális transzformációkra is.

8.6.3 Tekintsük az R⁴ szokásos valós euklideszi teret. Az alábbi transzformációk közül melyek lesznek szimmetrikusak, illetve ortogonálisak? A szimmetrikusaknál adjunk meg ortonormált sajátbázist, és írjuk fel a megfelelő mátrixot. Az ortogonálisoknál adjunk meg egy, a 8.6.4 Tételben előírt ortonormált bázist, és itt is írjuk fel az ehhez tartozó mátrixot.

8.6.4 Van-e olyan $\mathcal{A}$ amelyre ${\mathcal{A}}^{*}=-{\mathcal{A}}^{-1}$?

8.6.5 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha $\mathcal{A}$ szimmetrikus, akkor ${\mathcal{A}}^2$ is szimmetrikus.

b) Ha ${\mathcal{A}}^2$ szimmetrikus, akkor $\mathcal{A}$ is szimmetrikus.

c) Ha ${\mathcal{A}}^2$ szimmetrikus, és $\mathcal{A}$-nak létezik (nem feltétlenül ortonormált bázis szerinti) diagonális mátrixa, akkor $\mathcal{A}$ is szimmetrikus.

d) Ha $\mathcal{A}$ ortogonális, akkor ${\mathcal{A}}^2$ is ortogonális.

e) Ha ${\mathcal{A}}^2$ ortogonális, akkor $\mathcal{A}$ is ortogonális.

8.6.6 Tegyük fel, hogy $\mathcal{A}{\mathcal{A}}^{*}={\mathcal{A}}^{*}\mathcal{A}$ és ${\mathcal{A}}^k$ ortogonális valamilyen k-ra (k>1). Bizonyítsuk be, hogy ekkor $\mathcal{A}$ is ortogonális. Igaz-e hasonló állítás (ortogonális helyett) a szimmetrikus esetben?

8.6.7 Tegyük fel, hogy $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{ }\mathcal{A}=\underset{\_}{0}$ és ${\mathcal{A}}^{*}={\mathcal{A}}^m$ valamilyen m>1-re. Bizonyítsuk be, hogy $\mathcal{A}$ ortogonális.

8.6.8 Legyen (k,t)=1, és tegyük fel, hogy $\mathcal{A}$-nak létezik inverze. Igazoljuk, hogy ${\mathcal{A}}^k$ és ${\mathcal{A}}^t$ akkor és csak akkor lesznek mindketten szimmetrikusak, ha $\mathcal{A}$ szimmetrikus. Lássuk be a hasonló állítást ortogonális transzformációkra is.

8.6.9 Igazoljuk a 8.5.17–8.5.18 feladatok megfelelőit ortogonális transzformációkra.

8.6.10 Jellemezzük geometriailag a sík és a tér szimmetrikus, illetve ortogonális transzformációit.

8.6.11 Mutassuk meg, hogy ha ${\mathcal{A}}^{*}$ felírható az $\mathcal{A}$ polinomjaként, akkor V előáll páronként ortogonális, legfeljebb 2-dimenziós $\mathcal{A}$-invariáns alterek direkt összegeként. Igaz-e az állítás megfordítása?

*8.6.12 Mutassuk meg, hogy ${\mathcal{A}}^{*}$ akkor és csak akkor írható fel az $\mathcal{A}$ polinomjaként, ha $\mathcal{A}{\mathcal{A}}^{*}={\mathcal{A}}^{*}\mathcal{A}$