Ugrás a tartalomhoz

Körkép reform után Tanulmányok a nyugdíjrendszerről

Antal Kálmánné, Augusztinovics Mária, Bod Péter, Borlói Rudolf, Czúcz Ottó, Ferge Zsuzsa, Gál Róbert Iván, Gerencsér László, Major Klára, Martos Béla, Máté Levente, Matits Ágnes, Katharina Müller, Réti János, Simonovits András, Stahl János, Szabó Sándorné Csemniczki Katalin, Szikra Dorottya, Tarcali Géza, Toldi Miklós

Közgazdasági Szemle Alapítvány

2. AZ EGYÜTTÉLŐ KOROSZTÁLYOK ELMÉLETE

2. AZ EGYÜTTÉLŐ KOROSZTÁLYOK ELMÉLETE

Míg Modigliani–Brumberg (1954)-ben a kamatláb kívülről volt adva, addig Samuelson (1958) és Diamond (1965) cikkében a gazdaság határozta meg kamatlábat: ez az együttélő nemzedékek vagy korosztályok modellcsaládja. Samuelson cseregazdaságot modellezett, Diamond termelőgazdaságot, mindketten két (esetleg három) nemzedékre szorítkoztak. Azóta a közgazdászok e modellek számos változatát elemezték: a) sok korosztály létezik [például Tobin (1967), Augusztinovics (1983), (1989): magyar nyelvű áttekintés: Simonovits (1995)], b) bizonytalan a fogyasztó élettartama [például Yaari (1965)], c) a kamatláb előrejelzése inkonzisztens [például Molnár–Simonovits (1996)]. Mi a legegyszerűbb kérdésekre szorítkozunk, s eltekintünk a technikai részletektől [részletesen lásd még Simonovits (1998) C függelék]).

Zárt modellt mérlegelünk, ahol a kamatlábat minden időszakban a nulla összmegtakarítás feltevése határozza meg: S = 0. Technikai egyszerűsítésként a hosszú távú növekedési ütemet nullának vesszük: g = h = 1.

2. 1. Állandósult állapotok

Egy dinamikus modell vizsgálatát az úgynevezett állandósult állapot elemzésével célszerű kezdeni. Állandósult (vagy egyensúlyi) állapotról beszélünk, ha a rendszert egy ilyen állapotból indítjuk, akkor az mindvégig ott marad. Természetesen lehetséges, hogy nincs állandósult állapot, de az is, hogy több állandósult állapot is létezik.

Mielőtt azonban a konkrét modell állandósult állapotait elemeznénk, leszögezünk egy elemi tényt: ha nincs (aggregált) folyó megtakarítás, akkor az időszak végi megtakarítási állomány egyenlő az előző időszak végi állomány és a kamattényező szorzatával.

Az együttélő korosztályok modelljében kétféle állandósult állapot létezhet: aranyszabály-állapot és kiegyensúlyozott állapot; az elsőben a kamatláb nulla: r = 1, a másodikban az összmegtakarításnak nemcsak a folyama, de az állománya is nulla: A = 0. (Valóban, A = rA, márpedig egy szám csak akkor lehet azonos saját maga és egy másik szám szorzatával, ha vagy ő 0, vagy a szorzó 1.)

A szóban forgó állandósult állapotok létezése viszonylag egyszerűen igazolható, ha minden időszak keresete pozitív. Elméleti és gyakorlati szempontból azonban egyaránt érdekes az az eset, amikor sem a gyermekeknek, sem a öregeknek nincs eredeti keresetük, hanem hitelből, illetve megtakarításokból élnek. Ezt az esetet mérlegelte Gale (1973), II. rész, Kim (1983), Augusztinovics (1992) és Simonovits (1995).

A neoklasszikus elmélet hagyományait követve az optimális fogyasztói pályát egy hasznosságfüggvény maximalizálásából vezetjük le, ahol a költségvetési feltételt a nulla hagyaték egyenlete adja. Az egyszerűség kedvéért nagyon egyszerű alakú hasznosságfüggvényt mérlegelünk:

U(c 0, ..., c D ) = eq c L = w L i = L R l i g i r i i = L R l j h j r j   . ,

ahol ß leszámítolási tényező egy 1-nél kisebb pozitív szám, míg ? egy 1-nél kisebb valós szám. Értelmezésül megjegyezzük, hogy minél kisebb a ß értéke, annál kevesebbre értékeli a fogyasztó a következő időszakbeli fogyasztás hasznosságát a jelenlegiéhez képest. Továbbá minél kisebb a ? értéke, annál korlátozottabb a fogyasztás időbeli helyettesíthetősége. Például az éppen meg nem engedett ? = 1-nél az egyes évek fogyasztása időben tökéletesen helyettesíthető lenne, a másik végletnél, azaz ha ? = –?, viszont egyáltalán nincs időbeli helyettesítés. A valósággal leginkább a negatív ?-k vannak összhangban, ez például kizárja, hogy egyik évben semmit se fogyasszunk, hogy másik évben tobzódhassunk. Az 1/? szorzó azt biztosítja, hogy negatív ?-k-ra is a hasznosságfüggvény növekvő (bár negatív) függvénye maradjon minden időszak fogyasztásának.

1. ábra. Kamattényező és megtakarítás

1. ábra. Kamattényező és megtakarítás

A továbbiakban szükségünk lesz az L, R és D paramétereitől függő ? 1 és ? 2 számpárra, ahol ? 1 l ? 2 l 0.

4. tétel. a) Ha ? 2 l ? l 1 vagy ? l ? 1, akkor létezik legalább egy kiegyensúlyozott állandósult állapot.

b) Ha ? 1 l ? l ? 2 , akkor vagy egyáltalán nem létezik kiegyensúlyozott állandósult állapot, vagy több is létezik.

A szemléltetés kedvéért bemutatjuk az S(r) összmegtakarítási függvényt négy különböző ? esetén. Normalizálva az adatokat, ? = (? – 1)/? paraméterrel számolunk. Éves számolásnál D = 71 évvel fogunk dolgozni. Az 1. ábrán az egyik alapeset, L = 20, R = 57 és ß = 0,99 látható.

2. 2. Racionális várakozások

Az állandósult állapotok elemzésénél nem kellett foglalkozni a rendszer állapotváltozásaival, az igazi dinamikával. Most rátérünk a dinamikus elemzésre.

Rögtön komoly nehézséggel találjuk szembe magunkat: egyrészt egy adott időszakban született egyénnek az optimális fogyasztási pályája meghatározásához ismernie kell az életpályája során tapasztalandó kamatlábakat, másrészt az egy időszakra vonatkozó fogyasztási (és megtakarítási) döntéseknek egyensúlya határozza meg az megfelelő kamatlábat. Kettéosztjuk az elemzést aszerint, hogy a kamatlábra vonatkozó várakozások racionálisak vagy naivak.

Modellcsaládunkban a racionális várakozások feltevése azt jelenti, hogy a kamatlábakra vonatkozó feltevések összhangban vannak az egyensúlyi feltételekkel. Tehát először tetszőleges kamatlábpályát feltételezve, meghatározzuk az egyes egyének és korosztályok feltételes optimális fogyasztási pályáit, majd felírjuk az aggregált egyensúlyi feltételeket. Az így adódó implicit differenciaegyenlet-rendszert megoldjuk a kamatlábakra. Általában a t-edik időszaki aggregált megtakarítási egyensúlyból adódó r t+D kamatláb mintegy két emberéletnyi, korábbi kamatlábpálya {r t+D–1,..., r t-D+1} függvénye – ennek abszurditásával később foglalkozunk.

A dinamikus rendszerek pályáit általában nem lehet zárt alakban megoldani. Ezért különösen fontos a rendszerek kvalitatív vizsgálata, mindenekelőtt, hogy stabil-e a rendszer. A legegyszerűbb stabilitási fogalom durván szólva azt mondja ki, hogy az állandósult állapot közeléből induló pályák mindvégig közel maradnak az állandósult állapothoz, és hosszú távon konvergálnak is hozzá.

Mit mondhatunk rendszerünk stabilitásáról?

5. tétel [Molnár–Simonovits (1996)]. Tegyük föl, hogy a gyerekek és a nyugdíjasok keresete nulla. Racionális várakozások esetén a) az aranyszabály-állapot instabil és b) a pozitív kamatlábú kiegyensúlyozott állandósult állapot is instabil.

Numerikus számolások alapján reális paraméterértékek esetén azt sejtjük, hogy az instabilitás a negatív kamatlábú kiegyensúlyozott állapotra is érvényes.

Sejtés. Az 5. tétel feltételei esetén negatív kamatlábú kiegyensúlyozott állandósult állapot is instabil.

Módosítjuk az 1. ábra egyes adatait: ? = 0,5; ß = 0,99; R = 51: r B = 1,024094. A számítógéppel rajzolt 2. ábráról látható, hogy az r –141 = ... = r –1 = r F aranyszabály- vagy kiegyensúlyozott állapotból induló pálya berezeg. Az áttekinthetőség kedvéért 141 helyett csupán 20 kezdőértéket tüntetünk föl.

Már Samuelson észrevette, hogy a végtelen számú egyenletből és változóból álló modellben „több” ismeretlen van, mint egyenlet, tehát az egyenletrendszert általában nem lehet egyértelműen megoldani. (További bonyodalmat okoz, hogy adott kezdeti feltételek mellett is tipikusan több megoldása van az implicit egyenletünknek.) A racionális várakozások hívei fokozatosan felismerték, hogy modelljeikben ugyanakkor felesleges kezdeti feltételek is vannak: a rendszer pályája határozatlan. Rövidre zárva a meghatározatlanságból fakadó bonyodalmakat, Gale (1973) II. rész az indulást kitolta az idők kezdetéig.

2. ábra. Instabilitás racionális várakozásnál

2. ábra. Instabilitás racionális várakozásnál

Gale követői felismerték, hogy a racionális várakozások bevezetése szükségszerűen vezet határozatlansághoz. Laitner (1981) megkülönböztet történelmi és nem történelmi kezdeti értéket, esetünkben a megtakarítási állomány vektorát (vagy a régi kamattényezőket), illetve az új kamattényezőket. Ugyanakkor éppen a racionális várakozásoknál fellépő meghatározatlanságot használja fel az instabilitás kiküszöbölésére. Ha az instabil sajátértékek és a nem történelmi kezdeti értékek száma azonos (numerikus vizsgálatok szerint a szóban forgó feltétel gyakran teljesül), akkor az állandósult állapotok közelében minden történeti kezdeti értékhez választhatunk olyan nem történeti kezdeti értéket, hogy a keletkező pálya stabil legyen. Ugyanakkor ez a megoldás rendkívüli számítási pontosságot feltételez, ez nem követelhető meg egy közönséges szereplőtől, ezért ezt a megoldást nem tartom meggyőzőnek.

2. 3. Naiv várakozások

1930–1970 között a naiv (vagy általánosabban az adaptív) várakozások nagyon népszerűek voltak. A naiv várakozások alapelve a következő: a jelen időszakban tapasztalt megfigyeléseket kiterjesztjük a jövőre. Esetünkben arról van szó, hogy a jelen időszak (még meghatározandó) kamatlábáról feltesszük, hogy a jelen lévő fogyasztók egész életében fennmarad, és ennek alapján számítjuk ki a hátralévő életszakaszok optimális fogyasztási pályáit, illetve ezzel együtt az aktuális kamatlábat. Majd a következő időszakban az egyének (kivéve az éppen elhalálozottakat, illetve az újszülötteket) újraszámolják a feladatot, de ezúttal már eggyel rövidebb életszakaszra. (A kivétel oka: a frissen meghaltak már nem fogyasztanak, s az újszülöttek pedig először számolnak.)

Örömünkre az általában tökéletlennek és elvetendőnek tartott naiv modellben a lokális stabilitás számos speciális esetben igazolható, és instabilitást a paramétertartomány kivételes pontjának csupán egy nagyon kicsiny környezetében találtunk.

6. tétel [Molnár–Simonovits (1996)]. Naiv várakozások esetén az aranyszabály és a kiegyensúlyozott állandósult állapotok közül a kisebbik kamatlábú stabil, a nagyobbik instabil.

Folytatjuk a 2. ábrán elkezdett elemzést, természetesen most naiv várakozásokkal. Az r = 0,99; 1,02 és 1,025 kezdőértékekre két stabil és egy instabil pálya alakul ki. A 2. ábrával való összehasonlítás során vigyázzunk arra, hogy most a 3. ábrán sokkal kisebb részletet ábrázoltunk, és 71 kezdőérték helyett csak 10-et rajzoltunk be!

3. ábra. Kettős stabilitás naiv várakozásnál

3. ábra. Kettős stabilitás naiv várakozásnál