Sikerült-e megtalálni az 1. pontban említett számolási eljárások magyarázatát?

α ). Legkönnyebben az utolsóét találhatjuk meg. Ha egy szorzat egyik tényezőjét felezzük, a másikat viszont kétszerezzük, akkor a szorzat értéke nem változik. Az 1. pont számításának első két sorára

[D]

58 ⋅ 249 = 29 ⋅ 498 . A következő sorban viszont bonyolultabb a helyzet. Tulajdonképpen 28-nak vettük a felét, s így

tehát a maradék elhagyása miatt a 29 mellett álló 498-cal kisebb lesz a két új szám szorzata, mint az előbbi kettőé:

A következő lépésekben hasonlóan:

Így valóban

Általában is ez a helyzet: valahányszor egy páratlan szám helyett az eggyel kisebb szám felét írjuk le, ezzel a páratlan szám mellett álló számmal kisebb lesz az új két szám szorzata, mint a régi kettőé; így ezeket mind hozzáadva az utoljára duplázott számhoz, kapjuk a kiinduláskor leírt két szám szorzatát.

β ) Az 1.b)-nél általánosabban kiszámíthatjuk pl. a

[D]

62 ⋅ 68 szorzatot úgy, hogy a

[D]

6 ⋅ 7 szorzat után leírjuk a

[D]

2 ⋅ 8 szorzatot.

Általában alkalmazható az eljárás két olyan szám szorzására, amelyek csak az utolsó jegyben különböznek, és az utolsó jegyek 10-re egészítik ki egymást. Ilyenkor az utolsó jegy elhagyásával maradó számot szorozzuk az 1-gyel nagyobb számmal, és utána írjuk az utolsó jegyek szorzatát, az utóbbit mindig 2-jegyű számnak írva, tehát az

1 ⋅ 9 -et 09 alakban. Pl.:

Az eljárás helyességét a számítás átalakításával láthatjuk be az utolsó előtti példa esetében pl. így:

Az első két összeadandóban a 60-at kell 62-szer és még 8-szor venni, így

Az átalakításokat éppen a két tényező fönt leírt egyszerű kapcsolata tette lehetővé, így hasonló átalakítások minden, a mondott tulajdonságú szorzatnál elvégezhetők.

Az algebra nyelvén kifejezve, itt az

( n + k ) ⋅ ( n + l ) = n ⋅ ( n + k + l ) + k ⋅ l azonos átalakítást használjuk fel, ahol

[D]

n a tízeseket jelenti, vagyis

[D]

10 t alakú és

[D]

k + l = 10 . Így

[D]

n ⋅ ( n + k + l ) = 10 t ( 10 t + 10 ) = t ⋅ ( t + 1 ) ⋅ 100 . Ez az azonosság számos további szorzási egyszerűsítésre ad lehetőséget olyan szorzatoknál, amelyeknél

[D]

n , vagy

[D]

n + k + l , vagy – mint esetünkben – a kettő szorzata több 0-ra végződik.

γ ) Az 1.a) számítás helyességét a legkevésbé egyszerű látni. Az ott szereplő szorzat a felnyújtott ujjak számának feltüntetésével:

[D]

( 5 + 1 ) ⋅ ( 5 + 3 ) , a leírt kiszámításmód pedig:

[D]

( 1 + 3 ) ⋅ 10 + ( 5 − 1 ) ⋅ ( 5 − 3 ) . Más a szorzatoknál az „1” és „3” helyébe kerül más számú ujj. Általában

[D]

k -val és

[D]

l -lel jelölve a felnyújtott ujjak számát, azt kell belátni, hogy az

[D]

( 5 + k ) ⋅ ( 5 + l ) szorzás mindig ugyanarra az eredményre vezet, mint a

[D]

( k + l ) ⋅ 10 + ( 5 − k ) ⋅ ( 5 − l ) számítás. Egyszerű átalakításokkal, amelyeket konkrét számokkal már az előbbiekben is használtunk, az első szorzat így alakítható át:

a második kifejezés pedig így:

A két aláhúzott kifejezés csak a tagok sorrendjében és egyes tagokban a tényezők sorrendjében különbözik. Tudjuk azonban, hogy sem az összeadandók, sem a szorzótényezők felcserélése nem változtat a művelet eredményén, így a kétféle számítás eredménye mindig megegyezik.