A Galton-deszka alkalmas az ún. Poisson-féle eloszlás szemléltetésére is.^[8] Vizsgáljuk meg először, hogy

R számú golyót legurítva az

[D]

N éksorból álló Galton-deszkán, ebből átlagban hány darab esik a

[D]

k -adik tartályba! Jelöljük az odaeső golyók számát mint valószínűségi változót

[D]

ξ k -val. Láttuk már, hogy annak a valószínűsége, hogy egy legurított golyó a

[D]

k -adik tartályba jusson,

[D]

P N ( k ) = N k 1 2 N -nel egyenlő; akkor a binomiális eloszlás már megismert képletével felírhatjuk annak a valószínűségét, hogy

[D]

R golyó közül

[D]

r darab jusson a

[D]

k -adik tartályba (

[D]

P N ( k ) = P ( k ) = p k jelöléssel)

Felhasználjuk azt a tételt, hogy a binomiális eloszlás nagy

R és kis

[D]

p k esetén jól közelíthető a

[D]

λ k r r ! e − λ k ( r = 0 , 1 , 2 , … ) Poisson-eloszlással, ahol most

[D]

λ k = R p k . Ha tehát a legurított golyók száma elég nagy, és a középtől elég távol eső tartályokban vizsgáljuk az odaeső golyók számának véletlen ingadozását (amikor tehát teljesül, hogy

[D]

p k kicsiny), akkor ezzel a Poisson-eloszlásról nyerhetünk képet; ekkor ugyanis alkalmazható az említett közelítés:

Például egy 8 éksorból álló Galton-deszkán végezve a kísérletet, és a 0-adik tartályt vizsgálva

( p 0 = 1 256 ) , ha az egyszerre legurított golyók száma 512 (tehát

[D]

R = 512 ), akkor a mondott Poisson-féle közelítés alapján annak a valószínűsége, hogy a vizsgált tartályba ne jusson egyetlen golyó sem, 0,135; hogy pontosan 1 golyó jusson oda, 0,271; hogy 2 golyó, 0,271; hogy 3 golyó, 0,180; hogy 4 vagy annál több golyó, annak 0,143 a valószínűsége. Ez tehát azt jelenti, hogy elég sokszor megismételve a kísérletet, mondjuk 1000 alkalommal legurítva mindig 512 golyót, az esetek közül kb. 135-ször üresnek találjuk a 0-adik tartályt stb.

Módosítsuk most kísérletünket úgy, hogy az egy-egy alkalommal legurított golyók száma maga is valószínűségi változó legyen (jelöljük

ν -vel), mégpedig ez is Poisson eloszlású, azaz

(ahol

μ az eloszlás várható értéke, azaz az egyszerre legurított golyók átlagos száma). Ekkor könnyen kimutatható, hogy az egyes tartályokba jutó golyók száma is Poisson-eloszlású (nemcsak közelítőleg, hanem pontosan), mégpedig annak a valószínűsége, hogy a

[D]

k -adik tartályba

[D]

r golyó jut

Az is^[9] igaz, hogy a tartályokban összegyűlő golyók száma csakis ebben az esetben lesz Poisson-eloszlású, tehát ha nem Poisson-eloszlás szerint vesszük a legurítandó golyókat, akkor a tartályokban levő golyók száma sem lesz Poisson-eloszlású [5].

Képzeljük most el, hogy egy olyan Galton-deszka áll rendelkezésünkre, amelynek tartályai eltolhatók, és módosítsuk az előbbi kísérletünket a következőképpen: toljunk végig egy tartályt

( T ) az

[D]

N éksorú Galton-deszka tartálysorán a 0-iktól az

[D]

N -edikig, és minden egyes helyzetben gurítsunk le bizonyos számú golyót, mégpedig a

[D]

k -adik tartály helyére érve

[D]

R k számú golyót (

[D]

R k lehet 0 is), és vizsgáljuk ebben a végighaladó

[D]

T tartályban összesen felgyűlő golyók számát! Bebizonyítható [5], hogy ha az éksorok száma elég nagy és az egyes lépésekben legurított golyók számára bizonyos megszorítást teszünk, akkor a

[D]

T -ben felgyűlő golyók száma (jelöljük

[D]

ξ N -nel) közelítőleg Poisson-eloszlású lesz. Ha speciálisan minden lépésnél ugyanannyi, mondjuk

[D]

λ számú golyót gurítunk le, akkor éppen ez a

[D]

λ lesz az eloszlás várható értéke; vagyis ebben az esetben annak a valószínűsége, hogy

[D]

T -ben éppen

[D]

r számú golyó legyen, határértékben (

[D]

N növekedésével)

[D]

λ r r ! e − λ -val lesz egyenlő

[D]

( r = 0 , 1 , 2 , … ) .

Ha most úgy módosítjuk a kísérletet, hogy a

T tartály különböző helyzeteiben leengedett golyók száma is valószínűségi változó legyen, mégpedig ismét Poisson-eloszlású (általában lépésenként különböző

[D]

λ k -kal), vagyis annak a valószínűsége, hogy a

[D]

k -adik eltolásnál

[D]

x golyót gurítunk le,

[D]

λ k x x ! e − λ k -val egyenlő

[D]

( x = 1 , 2 , … ) , akkor

[D]

ξ N már véges

[D]

N esetén is Poisson-eloszlású lesz (nemcsak határértékben), sőt

[D]

ξ N csakis ebben az esetben lesz Poisson-eloszlású.

Az eddigiekben mindig egy adott tartályban felgyűlő golyók számát, illetve annak eloszlását vizsgáltuk. Válasszuk most ki az

N éksorú Galton-deszka két tetszőleges tartályát, mondjuk az

[D]

i -ediket és

[D]

j -ediket és figyeljük meg, hogy

[D]

R darab legurított golyó közül hány golyó kerül az

[D]

i -edik, ill.

[D]

j -edik tartályba.

Jelöljük ezek számát mint valószínűségi változókat

ξ i -, ill.

[D]

ξ j -vel. A

[D]

ξ i és

[D]

ξ j valószínűségi változók nyilván nem függetlenek, hiszen az összesen legurított golyók számának rögzítése esetén, ha az egyik tartályba nagyon sok golyó jutott, akkor a másikba már csak kevesebb juthatott. A

[D]

ξ i és

[D]

ξ j együttes eloszlása (vagyis azoknak a valószínűségeknek az összessége, hogy

[D]

ξ i r -rel és

[D]

ξ j s -sel egyenlő) ún. trinomiális eloszlás, tehát

Ha azonban a legurítandó golyók számát nem rögzítjük, hanem az is valószínűségi változó

( ν ) , akkor igaz az az érdekes tétel [5], hogy

[D]

ξ i és

[D]

ξ j akkor és csak akkor függetlenek, ha a legurított golyók száma Poisson-eloszlású, mégpedig, ha

lesz (utóbbi (5)-höz hasonlóan következik a teljes valószínűség tételéből), vagyis

ξ i és

[D]

ξ j külön-külön is Poisson-eloszlásúak lesznek:

Ha nemcsak két tartályt vizsgálunk egyidejűleg, hanem mindegyiket, és rendre

ξ 0 ,

[D]

ξ 1 , …,

[D]

ξ N -nel jelöljük

[D]

R legurított golyó közül a 0-adik, első, második, …,

[D]

N -edik tartályba jutó golyók számát, akkor

[D]

ξ 0 ,

[D]

ξ 1 , …,

[D]

ξ N együttes eloszlása általában polinomiális eloszlás, azaz

és a

ξ 0 ,

[D]

ξ 1 , …,

[D]

ξ N akkor és csak akkor lesznek függetlenek, ha a leengedett golyók száma Poisson-eloszlású.

Módosítsuk most a tartályok eltolásában álló, már említett kísérletet a következőképpen: jelöljük

T 0 -val a 0-adik tartályt, és

[D]

T k -val a

[D]

k -adik tartályt, és toljuk „vissza” a tartálysort úgy, hogy

[D]

T k kerüljön a

[D]

T 0 -helyére! Gurítsunk le ebben a helyzetben bizonyos számú golyót, majd jobbra tolva a tartálysort egy egységgel (egy tartállyal), ismét gurítsunk le valamennyi golyót, és így tovább, összesen

[D]

N + k eltolást végezve, a

[D]

T 0 is végighalad mind az

[D]

N + 1 csatorna alatt. Most is igaz lesz az a tétel, hogy a

[D]

T 0 -ban és

[D]

T k -ban felgyűlő golyók száma akkor és csak akkor lesz egymástól független, ha az egyes helyzetekben leengedett golyók száma Poisson-eloszlású valószínűségi változó.

Egy további érdekessége az eltolható tartálysorral rendelkező Galton-deszkának, hogy segítségével a már említett Gauss-féle görbék szuperpozícióját tudjuk előállítani, mégpedig oly módon, hogy a tartálysor két különböző helyzetében gurítunk le golyókat (minden helyzetben elég nagy számú golyót). Megfigyelhetjük, hogy ha elég sok tartállyal toljuk arrébb a tartálysort, akkor a keletkező görbének már két „csúcsa” (két maximuma) lesz.