A GALTON-DESZKA ÉS A POISSON-ELOSZLÁS
A Galton-deszka alkalmas az ún. Poisson-féle eloszlás
szemléltetésére is.[]
Vizsgáljuk meg először, hogy
R
számú golyót legurítva az
N
éksorból álló Galton-deszkán, ebből átlagban hány
darab esik a
k
-adik tartályba! Jelöljük az odaeső golyók számát
mint valószínűségi változót
ξ
k
-val. Láttuk már, hogy annak a valószínűsége, hogy
egy legurított golyó a
k
-adik tartályba jusson,
P
N
(
k
)
=
N
k
1
2
N
-nel egyenlő; akkor a binomiális eloszlás már
megismert képletével felírhatjuk annak a valószínűségét, hogy
R
golyó közül
r
darab jusson a
k
-adik tartályba (
P
N
(
k
)
=
P
(
k
)
=
p
k
jelöléssel)
Felhasználjuk azt a tételt, hogy a binomiális eloszlás nagy
R
és kis
p
k
esetén jól közelíthető a
λ
k
r
r
!
e
−
λ
k
(
r
=
0
,
1
,
2
,
…
)
Poisson-eloszlással, ahol most
λ
k
=
R
p
k
. Ha tehát a legurított golyók száma elég nagy, és
a középtől elég távol eső tartályokban vizsgáljuk az odaeső golyók
számának véletlen ingadozását (amikor tehát teljesül, hogy
p
k
kicsiny), akkor ezzel a Poisson-eloszlásról
nyerhetünk képet; ekkor ugyanis alkalmazható az említett közelítés:
Például egy 8 éksorból álló Galton-deszkán végezve a
kísérletet, és a 0-adik tartályt vizsgálva
(
p
0
=
1
256
)
, ha az egyszerre legurított golyók száma 512
(tehát
R
=
512
), akkor a mondott Poisson-féle közelítés alapján
annak a valószínűsége, hogy a vizsgált tartályba ne jusson egyetlen
golyó sem, 0,135; hogy pontosan 1 golyó jusson oda, 0,271; hogy 2
golyó, 0,271; hogy 3 golyó, 0,180; hogy 4 vagy annál több golyó,
annak 0,143 a valószínűsége. Ez tehát azt jelenti, hogy elég
sokszor megismételve a kísérletet, mondjuk 1000 alkalommal
legurítva mindig 512 golyót, az esetek közül kb. 135-ször üresnek
találjuk a 0-adik tartályt stb.
Módosítsuk most kísérletünket úgy, hogy az egy-egy alkalommal
legurított golyók száma maga is valószínűségi változó legyen
(jelöljük
ν
-vel), mégpedig ez is Poisson eloszlású, azaz
(ahol
μ
az eloszlás várható értéke, azaz az egyszerre
legurított golyók átlagos száma). Ekkor könnyen kimutatható, hogy
az egyes tartályokba jutó golyók száma is Poisson-eloszlású
(nemcsak közelítőleg, hanem pontosan), mégpedig annak a
valószínűsége, hogy a
k
-adik tartályba
r
golyó jut
Az is[] igaz, hogy a tartályokban összegyűlő golyók száma
csakis ebben az esetben lesz Poisson-eloszlású, tehát ha nem
Poisson-eloszlás szerint vesszük a legurítandó golyókat, akkor a
tartályokban levő golyók száma sem lesz Poisson-eloszlású [5].
Képzeljük most el, hogy egy olyan Galton-deszka áll
rendelkezésünkre, amelynek tartályai eltolhatók, és módosítsuk az
előbbi kísérletünket a következőképpen: toljunk végig egy tartályt
(
T
)
az
N
éksorú Galton-deszka tartálysorán a 0-iktól az
N
-edikig, és minden egyes helyzetben gurítsunk le
bizonyos számú golyót, mégpedig a
k
-adik tartály helyére érve
R
k
számú golyót (
R
k
lehet 0 is), és vizsgáljuk ebben a végighaladó
T
tartályban összesen felgyűlő golyók számát!
Bebizonyítható [5], hogy ha az éksorok száma elég nagy és az egyes
lépésekben legurított golyók számára bizonyos megszorítást teszünk,
akkor a
T
-ben felgyűlő golyók száma (jelöljük
ξ
N
-nel) közelítőleg Poisson-eloszlású lesz. Ha
speciálisan minden lépésnél ugyanannyi, mondjuk
λ
számú golyót gurítunk le, akkor éppen ez a
λ
lesz az eloszlás várható értéke; vagyis ebben az
esetben annak a valószínűsége, hogy
T
-ben éppen
r
számú golyó legyen, határértékben (
N
növekedésével)
λ
r
r
!
e
−
λ
-val lesz egyenlő
(
r
=
0
,
1
,
2
,
…
)
.
Ha most úgy módosítjuk a kísérletet, hogy a
T
tartály különböző helyzeteiben leengedett golyók
száma is valószínűségi változó legyen, mégpedig ismét
Poisson-eloszlású (általában lépésenként különböző
λ
k
-kal), vagyis annak a valószínűsége, hogy a
k
-adik eltolásnál
x
golyót gurítunk le,
λ
k
x
x
!
e
−
λ
k
-val egyenlő
(
x
=
1
,
2
,
…
)
, akkor
ξ
N
már véges
N
esetén is Poisson-eloszlású lesz (nemcsak
határértékben), sőt
ξ
N
csakis ebben az esetben lesz
Poisson-eloszlású.
Az eddigiekben mindig egy adott tartályban felgyűlő golyók
számát, illetve annak eloszlását vizsgáltuk. Válasszuk most ki az
N
éksorú Galton-deszka két tetszőleges tartályát,
mondjuk az
i
-ediket és
j
-ediket és figyeljük meg, hogy
R
darab legurított golyó közül hány golyó kerül az
i
-edik, ill.
j
-edik tartályba.
Jelöljük ezek számát mint valószínűségi változókat
ξ
i
-, ill.
ξ
j
-vel. A
ξ
i
és
ξ
j
valószínűségi változók nyilván nem függetlenek,
hiszen az összesen legurított golyók számának rögzítése esetén, ha
az egyik tartályba nagyon sok golyó jutott, akkor a másikba már
csak kevesebb juthatott. A
ξ
i
és
ξ
j
együttes eloszlása (vagyis azoknak a
valószínűségeknek az összessége, hogy
ξ
i
r
-rel és
ξ
j
s
-sel egyenlő) ún. trinomiális eloszlás, tehát
Ha azonban a legurítandó golyók számát nem rögzítjük, hanem
az is valószínűségi változó
(
ν
)
, akkor igaz az az érdekes tétel [5], hogy
ξ
i
és
ξ
j
akkor és csak akkor függetlenek, ha a legurított
golyók száma Poisson-eloszlású, mégpedig, ha
lesz (utóbbi (5)-höz hasonlóan következik a teljes
valószínűség tételéből), vagyis
ξ
i
és
ξ
j
külön-külön is Poisson-eloszlásúak lesznek:
Ha nemcsak két tartályt vizsgálunk egyidejűleg, hanem
mindegyiket, és rendre
ξ
0
,
ξ
1
, …,
ξ
N
-nel jelöljük
R
legurított golyó közül a 0-adik, első, második, …,
N
-edik tartályba jutó golyók számát, akkor
ξ
0
,
ξ
1
, …,
ξ
N
együttes eloszlása általában polinomiális
eloszlás, azaz
és a
ξ
0
,
ξ
1
, …,
ξ
N
akkor és csak akkor lesznek függetlenek, ha a
leengedett golyók száma Poisson-eloszlású.
Módosítsuk most a tartályok eltolásában álló, már említett
kísérletet a következőképpen: jelöljük
T
0
-val a 0-adik tartályt, és
T
k
-val a
k
-adik tartályt, és toljuk „vissza” a tartálysort
úgy, hogy
T
k
kerüljön a
T
0
-helyére! Gurítsunk le ebben a helyzetben bizonyos
számú golyót, majd jobbra tolva a tartálysort egy egységgel (egy
tartállyal), ismét gurítsunk le valamennyi golyót, és így tovább,
összesen
N
+
k
eltolást végezve, a
T
0
is végighalad mind az
N
+
1
csatorna alatt. Most is igaz lesz az a tétel, hogy
a
T
0
-ban és
T
k
-ban felgyűlő golyók száma akkor és csak akkor
lesz egymástól független, ha az egyes helyzetekben leengedett
golyók száma Poisson-eloszlású valószínűségi változó.
Egy további érdekessége az eltolható tartálysorral rendelkező
Galton-deszkának, hogy segítségével a már említett Gauss-féle
görbék szuperpozícióját tudjuk előállítani, mégpedig oly módon,
hogy a tartálysor két különböző helyzetében gurítunk le golyókat
(minden helyzetben elég nagy számú golyót). Megfigyelhetjük, hogy
ha elég sok tartállyal toljuk arrébb a tartálysort, akkor a
keletkező görbének már két „csúcsa” (két maximuma) lesz.