Legyen most a Galton-deszka ismét szabályos, és módosítsuk a következőképpen: az

N -edik éksortól kezdve (az éksorok számozását kezdjük most 0-val) vágjuk le a Galton-deszkát a két „szélén” úgy, hogy ettől kezdve az összes további sorban az ékek száma felváltva

[D]

N + 1 , ill.

[D]

N legyen (mivel az éksorok számozását 0-val kezdtük, az

[D]

N -edik éksorban most nyilván

[D]

N + 1 ék van) és tegyük fel, hogy még igen sok további éksort tartalmaz Galton-deszkánk (l. 4. ábra).

Határozzuk meg ennél a módosított Galton-deszkánál, hogyan oszlanak meg a golyók a tartályokban. Jelentse

ξ n a golyó helyzetét, vagyis a Galton-deszka tengelyétől való vízszintes távolságát az

[D]

n -edik szögsor elérésének pillanatában. (Egységnek itt most két, egy sorban levő szomszédos ék távolságának felét vesszük.)

[D]

( ξ 0 = 0 ) . A

[D]

ξ n változók Markov-láncot alkotnak. Itt most a lehetséges állapotok egy leengedett golyó lehetséges helyzetei, vagyis az

[D]

n -edik szögsor elérésének pillanatában a lehetséges

[D]

A j állapotok azt jelentik, hogy a golyó a Galton-deszka tengelyétől az

[D]

n -edik éksorra érve

[D]

j távolságra van

[D]

( − N ≤ j ≤ N ) . Könnyű látni, hogy ha

[D]

n páros, akkor

[D]

ξ n is páros; ha

[D]

n páratlan, akkor

[D]

ξ n is páratlan. Az átmenet-valószínűségek

[D]

n -től nem függnek, jelen esetben is homogén Markov-lánccal van dolgunk.

minden más

j ,

[D]

k -ra

[D]

P j k = 0 .

Meg lehet mutatni a Markov-láncok elméletének néhány egyszerű tételét felhasználva, hogy akármilyen

N esetén, ha az összes sor száma páros és elég nagy, akkor minden tartályban kb. ugyanannyi golyó lesz. Ha a sorok száma viszont páratlan és elég nagy szám, akkor a két szélső tartályt kivéve a többi tartályban kb. ugyanannyi golyó lesz, a két szélsőben pedig feleannyi, mint a középső tartályokban. A kísérleti eredmények igen jó egyezést mutatnak az elméletivel.

Ezzel a módosítással tehát a Galton-deszkával sikerült ún. egyenletes eloszlást létrehozni.

További alkalmazásokra és a Galton-deszka különféle módosításaira nézve utalunk a [4], [6], [8], [9] munkákra.