Matematikai mozaik
Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás
Typotex
Vizsgáljnuk meg néhány egyszerű példát!
Póker. A pókernél minden játékosnak 5 lapot osztanak ki az 52 lapból. A játéknál a következő figurákat különböztetik meg:
Royal Flush: ha az 5 lap ugyanabból a színből van, és nagyság szerint sorban következnek (az ász egyaránt tekinthető 1-esnek vagy a király után következőnek), pl. kőr 9, 10, Bubi, Dáma, Király.
Póker: ha az 5 lap között 4 egyforma van (pl. 4 király stb.), az ötödik emellett akármilyen lehet.
Full Hand (vagy Full House): ha az 5 lap közül 3 egyforma és a másik kettő is egymással megegyező (pl. három tízes és két király).
Szín (Couleur): ha az 5 lap egyszínű (pl. mind az öt treff-lap).
Sorozat (szekvencia): ha az öt lap nagyság szerint sorban következik, de nem mind ugyanolyan színű: pl. treff 5, treff 6, pikk 7, kőr 8, káró 9.
Hármas: három megegyező lap (pl. három 7-es), a másik kettő tetszőleges (de nem megegyező, hiszen az Full Hand-et jelent).
Két pár: két-két megegyező lap (pl. két ász, két 6-os), az ötödik tetszőleges (de a két pártól különböző).
Egy pár: két megegyező lap (pl. két dáma), a másik 3 tetszőleges, egymástól és a pártól különböző lap.
E figurák valószínűségeit könnyen kiszámíthatjuk úgy, hogy összeszámoljuk, hogy egy figura hányféleképpen valósulhat meg, és ezt a számot elosztjuk 5 lapnak az 52 lapból való összes lehetséges kiválasztásának számával. Pl. a póker
[D]
[D]
[D]Itt látszólag másként számoltunk, mint az előző pontban, mert a lapok sorrendjét nem vettük figyelembe. Ez az eredményt nem befolyásolja, hiszen öt lapot
[D]
[D]azaz így is ugyanazt az eredményt kapjuk, mint az előbb. Az összes figura valószínűségét az alábbi táblázat adja meg (6 tizedesjegy pontosságig):
Royal Flush 
[D]Póker 
[D]Full Hand 
[D]Szín 
[D]Sorozat 
[D]Hármas 
[D]Két pár 
[D]Egy pár 
[D]Semmilyen figura 
[D]Összesen: 
[D]A pókernél tehát annál értékesebb egy figura, minél kisebb a valószínűsége. (Megváltozhat azonban a valószínűségi sorrend, ha nem 52 lappal játszunk, vagy ha a csomagban egy vagy több joker is van.)
A póker szabályai szerint minden játékosnak, miután lapját megnézte (és befizette a bankba a megfelelő összeget), joga van lapjai közül egyeseket eldobni és helyettük újakat kérni. Míg tehát az első leosztásnál
[D]
[D]
[D]
[D]A lapok felmutatása esetén tehát 1 párral igen csekély a nyerés valószínűsége; más kérdés persze, hogy a pókerben blöffölni is lehet.
Utalunk itt Jordan K. könyvére [4], amely számos további, a pókerjátékkal kapcsolatos valószínűségszámítási feladatot tárgyal.
Bridzs.[20] A bridzsnél 52 lapot osztanak szét 4 játékos között, akik közül a két-két szemben ülő koalícióban van. A játék két részből áll: a licitálásból és a tényleges lejátszásból. A licitálásra nézve számos rendszer ismeretes. A Culbertson-rendszer szerint (lásd [5]) a játékosok először értékelik a saját lapjukat és ennek alapján döntik el, hogy mit licitáljanak. Az értékelés az ún. „trick”-ek összeszámlálásából áll, a következő szabályok szerint.
Ász (ugyanolyan színű király és dáma nélkül): 1 trick Ász és király (egy színből, az uo. színű dáma nélkül): 2 trick Ász és dáma (egy színből, az uo. színű király nélkül): 1,5 trick Ász, király és dáma egy színből: 2,5 trick Király (ugyanolyan színű ász és dáma nélkül): 0,5 trick Király és dáma egy színből (uo. színű ász nélkül): 1 trick A teljes lap értékét a benne levő trickek összege adja meg. Pl. a következő lap:
PIKK: KŐR: KÁRÓ: TREFF: ÁSZ, DÁMA, KIRÁLY, DÁMA, 7 8 10, 8, 7 DÁMA, 4, 3, 2 értéke
[D]A kiosztott 13 lap értéke a véletlentől függő szám, tehát valószínűségi változó.
Vizsgáljuk most meg, hogy mi a várható értéke egy játékosnak kiosztott lapoknak.[21]
Ehhez tulajdonképpen ki kellene számítanunk a lap értékének eloszlását, tehát, hogy mekkora valószínűséggel lesz az egy játékos kezében lévő 13 lap összértéke egyenlő a 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5; 6; 6,5; 7; 7,5; 8; 8,5; 9; 9,5; 10 számok mindegyikével. (Könnyen belátható, hogy ezek a lehetséges trick-számok.) Bár ez az út sem túl nehéz, itt egy egyszerűbb eljárást fogunk követni, amely a várható érték egy jól ismert tulajdonságán alapszik, mégpedig azon, hogy valószínűségi változók összegének várható értéke egyenlő a tagok várható értékeinek összegével. Jelöljék a négy játékos lapjainak teljes értékét rendre
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]ahol
[D]
[D]
[D]
[D]Hasonlóképpen bontható fel 4 tag összegére a másik 3 játékos lapjának teljes értéke is:
[D]Mármost nyilvánvaló, hogy az
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]akkor a várható érték additivitása folytán
[D]Mármost
[D]
[D]
[D]
[D]Annak valószínűségét, hogy a pikk ász, király és dáma más-más játékosnál van, a következőképpen számíthatjuk ki. Ha a pikk ászt az
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]Így a keresett valószínűség
[D]Hasonlóképpen látható be, hogy annak valószínűsége, hogy a szóban forgó lap közül kettő egy kézben legyen, de a harmadik másnál legyen
[D]Végül annak valószínűsége, hogy a pikk ász, király és dáma egy kézben legyen:
[D]A három valószínűség összege természetesen 1-gyel egyenlő:
[D]
[D]
[D]Egy másik tanulságos, bridzsre vonatkozó kérdés a következő: ha egy játékosnak a kezében 2 ász van, mi a valószínűsége, hogy a partnerénél van a két hiányzó ász, illetve, hogy ezek közül csak egy, vagy egyik sincs nála? Nyilván a szóban forgó 2 ász a másik 3 játékos kezében lévő 39 lap közt van, és így eloszlásukra
[D]
[D]
[D]Annak valószínűsége, hogy a 2 hiányzó ász közül az egyik van a partnernél
[D]míg annak valószínűsége, hogy egyik sincs a partnernél
[D]A 3 valószínűség összege természetesen eggyel egyenlő:
[D]A bridzs-játék részletes és közérthető valószínűségszámítási tárgyalása megtalálható É. Borel és A. Chéron könyvében [6].
[19] Ezek az események nem teljesen függetlenek, de közel azok; így nem követünk el nagy hibát, ha összeszorozzuk a valószínűségeket.
[20] A bridzs tulajdonképpen nem szerencsejáték a szó szoros értelmében, hiszen a játékban a játékosok tudása sokkal nagyobb szerepet játszik, mint a véletlen. A lapok eloszlása azonban itt is a véletlentől függ, és így a briddzsel kapcsolatban is számos valószínűségszámítási feladat merül fel.
[21] Egy valószínűségi változó várható értékét úgy számítjuk ki,
hogy veszszük a változó lehetséges értékeinek a megfelelő
valószínűségekkel mint súlyokkal képezett súlyozott középértékét;
ha tehát a
[D]
[D]
[D]
[D]
A várható érték jelentőségét a nagy számok törvénye mutatja, amely szerint, ha a valószínűségi változó értékét nagy számú független kísérletnél megfigyeljük, akkor a megfigyelt értékek számtani közepe szinte bizonyosan igen közel lesz a valószínűségi változó várható értékéhez.