Az egyszerűség kedvéért ebben a részben a következő
leegyszerűsített szerencsejátékra szorítkozunk. Egy játékos
(nevezzük őt Péternek) játszik a bank ellen; a játék játszmák
sorozatából áll. Minden egyes játszmában Péternek jogában áll
eldönteni, hogy mekkora összeget kockáztat; ezt az összeget Péter
tétjének nevezzük. Péter köteles tétjét előre letenni az asztalra,
tehát soha nem tehet nagyobb tétet, mint amennyi pénz van nála
összesen. Ezek után egy véletlen kísérletet hajtanak végre,
amelynek két lehetséges kimenetele van, az
A
és az
A
¯
esemény, melyek valószínűségei
p
és
q
(
p
+
q
=
1
,
0
l
p
l
1
)
. Ha a kísérlet eredményeképpen az
A
esemény következik be, Péter megtartja a tétjét és
ezen kívül a bank annyit fizet Péternek, mint amennyi Péter tétje
volt. Ha a kísérlet eredményeképpen az
A
¯
esemény következik be, Péter tétjét megkapja a
bank.
E típusba tartozik pl. a fej vagy írás játék, amelynél
(szabályos érme esetében)
p
=
1
2
, továbbá ide tartozik a rulett, feltéve, hogy
Péter mindig a pirosra tesz. Ez esetben, mivel a rulettkorongon
18 piros és
18 fekete pozitív szám van, továbbá egy zérus, és ha
zérus jön ki, akkor a bank nyer,
p
=
18
37
.
Közismert, hogy ha
p
≤
1
2
, nem létezhet olyan játékrendszer, amely biztos
nyereséget biztosítana Péter részére. Egyszerűség kedvéért
szorítkozzunk a
p
=
1
2
esetre! Legyen
ɛ
k
=
+
1
, ha a
k
-adik játszmánál Péter nyer (tehát az
A
esemény következik be) és
ɛ
k
=
−
1
, ha veszít, (tehát az
A
¯
esemény következik be). Jelölje
S
k
Péter tétjét a
k
-adik játszmában!
S
k
nyilván függhet
ɛ
1
,
ɛ
2
,
…
,
ɛ
k
−
1
-től:
S
k
=
S
k
(
ɛ
1
,
…
,
ɛ
k
−
1
)
.
S
k
értéke csak nemnegatív szám lehet;
S
k
=
0
azt jelenti, hogy Péter nem vesz részt a
k
-adik játszmában.
S
n
≠
0
és
S
j
=
0
, ha
j
g
n
, azt jelenti, hogy Péter az
n
-edik játszma után abbahagyja a játékot.
Ha Péter
N
forinttal a zsebében ül le játszani, Péter egy
lehetséges stratégiáján az
nemnegatív függvények egy tetszőleges sorozatát értjük (
S
1
egy állandó, ahol az
ɛ
i
változók mindegyike a
±
1
értékeket veheti fel, és ezek a függvények eleget
tesznek az
N
+
∑
k
=
1
n
ɛ
k
S
k
(
ɛ
1
,
…
,
ɛ
k
−
1
)
≥
0
feltételeknek
(
n
=
1
,
2
,
…
)
). Legyen
ξ
0
=
N
.
A
ξ
n
=
N
+
∑
k
=
1
n
ɛ
k
S
k
(
ɛ
1
,
…
,
ɛ
k
−
1
)
(
n
=
1
,
2
,
…
)
összeg nyilván megadja, hogy mennyi pénze van
Péternek az
n
-edik játszma után. A
ξ
n
(
n
=
0
,
1
,
…
)
valószínűségi változók ún. martingált (lásd [7])
alkotnak: ez azt jelenti, hogy
ξ
n
várható értéke amellett a feltétel mellett, hogy
ξ
1
,
ξ
2
,
…
,
ξ
n
−
1
értéke adott, mindig egyenlő
ξ
n
−
1
-gyel.
Könnyen belátható, hogy ha
p
=
1
2
, akkor
M
(
ξ
n
)
=
N
(
n
=
1
,
2
,
…
)
, tehát semmilyen játékrendszer sem garantál Péter
számára biztos nyereséget. Érdemes röviden foglalkozni a következő
– szerencsejátékosok között a valószínűségszámítás nem ismerése
folytán népszerű – hibás „játékrendszerrel”, amely szerint Péternek
addig kell mindig
1 forintot megtennie, amíg először nem kerül
nyerésbe: ekkor (1 forint nyereséggel) abba kell hagynia a játékot.
Valóban úgy látszik, mintha e rendszer Péternek
1 forint biztos nyereséget garantálna, hiszen (1 valószínűséggel) előbb vagy utóbb Péter nyerésbe
kerül. Valójában azonban ez a játékrendszer nem nyújt biztos
nyereséget. Nyilvánvaló ugyanis, hogy ez a játékrendszer a fenti
definíció szerint nem megengedett, hiszen ha például Péter az első
N
játszmában veszít, vagy az első
N
+
2
M
játszma során összesen
N
+
M
-szer veszít és
M
-szer nyer, úgy, hogy közben soha sincs nyerésben,
akkor nem tudja folytatni a játékot és így pozitív valószínűséggel
elveszti teljes pénzét. Valójában Péter várható nyeresége e
játékban
0, amit következőképpen bizonyíthatunk be: Jelölje
f
k
(
N
)
annak a valószínűségét, hogy Péter előbb veszíti
el mind az
N
forintját, mintsem
k
−
N
forint nyereségre tenne szert. Ez esetben, ha
N
≥
2
Ugyanis a szóban forgó esemény kétféleképpen következhet be:
úgy, hogy Péter az első játszmában veszít, és az ezután következő
játék során előbb veszti el maradék
N
−
1
forintját, mintsem
k
−
N
+
1
forintot nyerne; vagy úgy, hogy Péter az első
játszmában nyer, és ezután előbb veszti el
N
+
1
forintját, mintsem
k
−
N
−
1
forintot nyerne.
Könnyen belátható,[]
hogy a (4.1) differencia-egyenlet öszszes lehetséges
megoldása
f
k
(
N
)
=
A
N
+
B
alakú. Mivel
f
k
(
0
)
=
1
(hiszen ha Péternek semmi pénze sincs, nem
játszhat és így nem is nyerhet) és
f
k
(
k
)
=
0
(hiszen ha a játék kezdetén Péternek már
k
forintja van, akkor nem is kell játszania), tehát
f
k
(
N
)
=
1
−
N
k
. A minket érdeklő esetben
k
=
N
+
1
, tehát
1
N
+
1
annak a valószínűsége, hogy Péter előbb veszti el
mind az
N
forintját, minthogy
1 forint nyereségre tenne szert. Eszerint Péter
játékrendszere mellett nyereségének várható értéke
Az elmondottak alapján úgy gondolhatná az olvasó, hogy a
valószínűségszámítás a szerencsejátékot játszót csak arról győzheti
meg, hogyha csupán azért játszik, mert nyereségre törekszik (és nem
azért is, mert a játék szórakoztatja), akkor jobban teszi, ha nem
is játszik. Ez azonban nincs így: ha a játékos azt kéri a
matematikustól, hogy dolgozzon ki számára biztos nyerést garantáló
játékrendszert, akkor lehetetlent kíván, és a matematikus nem
segíthet rajta. Ha azonban a játékos elérhető célt tűz ki maga elé,
a matematikus választ adhat arra a kérdésre, hogy e cél elérésére
mi a legjobb út.
Vizsgáljuk először a következő kérdést! Péter fej vagy írást
játszik; a játék kezdetén
N
forintja van, és elhatározza, hogy addig játszik,
ameddig vagy pénze felnövekszik
M
g
N
forintra, vagy minden pénzét elveszti. Milyen
játékrendszer mellett lesz annak valószínűsége, hogy nyer,
maximális? Ha
w
=
w
(
N
,
M
)
jelöli annak valószínűségét, hogy Péter
M
forinttal hagyja abba a játékot, mivel Péter
N
forintnál többet nem veszthet és nyereségének
várható értéke
0 kell, hogy legyen, tehát
w
(
M
−
N
)
−
(
1
−
w
)
N
=
w
M
−
N
≤
0
, vagyis
w
≤
N
M
kell, hogy legyen. Kérdés, milyen játékrendszer
mellett lehet elérni, hogy a nyerés valószínűsége
w
=
N
M
legyen?
Nevezzük „merész” stratégiának azt, amikor Péter mindaddig
egész pénzét egyszerre megteszi tétként, amíg pénze
≤
M
2
, míg ha pénze
x
g
M
2
, de
x
l
M
, akkor csak
(
M
−
x
)
-et tesz meg, vagyis pontosan annyit, hogy ha a
következő játszmában nyer, akkor éppen elérje a célul kitűzött
M
forintot. Például ha
N
=
1
és
M
=
10
, akkor Péter a következőképpen játszik: az első
játszmában
1 forintot tesz meg: ha veszít, kénytelen abbahagyni
a játékot; ha nyer, most már
2 forintja lesz.
Ez esetben a második játszmában
2 forintot tesz meg: ha veszít, bánatosan távozik;
míg ha nyer, akkor a következő játszmában újból egész pénzét (tehát
most
4 forintot) tesz meg. Ha veszít, üres zsebbel
hazamegy; ha nyer, akkor már
8 forintja van; most már csak
2 forintot tesz meg, így ha nyer, máris elérte a
10 forintot és így abbahagyja a játékot; de ha
veszít, akkor is marad
6 forintja és így még tudja folytatni a játékot:
megtesz
4 forintot, ha nyer, megvan a
10 forintja, és így örömmel távozik; ha veszít, még
marad
2 forintja, és azt a következő játszmában megteheti,
és így tovább. E számpéldában Péter pénzének alakulását a következő
irányított gráf mutatja, amelyben minden pontból
2 él vezet ki és mindkét élen való továbbhaladás
valószínűsége
1
2
. Ha
p
i
jelöli annak valószínűségét, hogy az
i
pontból
(
i
=
1
,
2
,
4
,
6
,
8
)
a játékos a
10
.
pontba jut, nyilvánvalóan fennállnak a következő
egyenletek:
Ez az
5 egyenletből álló lineáris egyenletrendszer
megoldható (ugyanis a determinánsa nem
0). Behelyettesítéssel nyerjük, hogy
p
2
=
2
p
1
,
p
4
=
4
p
1
,
p
8
=
8
p
1
, továbbá
16
p
1
−
p
6
=
1
,
p
6
−
p
1
=
1
2
; ebből
p
1
=
1
10
és így
p
i
=
i
10
(
i
=
1
,
2
,
4
,
6
,
8
)
.
Tehát
w
(
1
,
10
)
=
1
10
. Hasonlóképpen számítható ki
w
(
N
,
M
)
, ha
N
és
M
tetszőleges pozitív számok,
N
l
M
és
M
N
racionális. Ha azonban
N
és
M
g
N
igen nagy számok, ez a módszer nem célravezető,
mert igen sok egyenletből álló egyenletrendszerre vezet. Ezért az
általános esetben más bizonyítási módszert célszerű
alkalmaznunk.
Általában igaz, hogy ha
N
és
M
tetszőleges pozitív (nem feltétlenül egész) számok
és
N
l
M
, akkor
w
(
N
,
M
)
=
N
M
. Ezt a következőképpen láthatjuk be. Nyilván
feltehetjük, hogy
M
=
1
és
0
l
N
l
1
, hiszen választhatjuk
M
-et a pénz egységeként. Legyen
w
(
N
,
1
)
=
f
(
N
)
(
0
≤
N
≤
1
)
! Nyilván fennáll a következő egyenlet
Ezt a függvényegyenletet hasonló módszerrel oldjuk meg, mint
az előbb (4.1)-et. Legyen
g
(
x
)
=
f
(
x
)
−
x
, akkor
g
(
x
)
nyilván eleget tesz a
egyenletnek.
Mármost
g
(
x
)
korlátos,
−
1
≤
(
x
)
≤
1
, hiszen
f
(
x
)
valószínűség és így
0
≤
f
(
x
)
≤
1
. Legyen
G
=
sup
0
≤
x
≤
1
g
(
x
)
és
x
n
egy olyan számsorozat, amelyre
lim
n
→
∞
g
(
x
n
)
=
G
.
Az
x
n
(korlátos) sorozatból kiválasztható egy konvergens
részsorozat: jelöljük ezt
y
n
-nel, akkor tehát
Ha
0
≤
y
n
≤
1
2
végtelen sok
n
-re, akkor (4.3) szerint
ha viszont
1
2
≤
y
n
≤
1
végtelen sok
n
-re, akkor
tehát mindenképpen
G
≤
G
2
, azaz
G
≤
0
.
Legyen most
g
=
inf
0
≤
x
≤
1
g
(
x
)
. Hasonló meggondolással belátható, hogy
g
≥
0
; de ez azt jelenti, hogy
g
=
G
=
0
, vagyis
g
(
x
)
≡
0
és így
f
(
x
)
≡
x
, amit bizonyítani akartunk.
Megjegyzendő, hogy a fej vagy írás játék esetében minden
olyan stratégiánál, amelynél Péter
1 valószínűséggel véges sok lépésben vagy elveszti
az összes pénzét, vagy eléri a célul kitűzött nyereséget,
ugyanannyi a nyerés valószínűsége, mint a fent tárgyalt „merész”
stratégiánál.
Vizsgáljunk azonban most egy olyan játékot, amelynél minden
egyes játszmában Péter
p
valószínűséggel megnyeri a tétjét és
q
=
1
−
p
valószínűséggel elveszti, ahol
0
l
p
l
1
2
. (Ilyen játék pl. a rulett, ha Péter mindig a
pirosra tesz, amely esetben, mint láttuk,
p
=
18
37
). Ebben az esetben már nem mindegy, hogy Péter
milyen stratégiát alkalmaz, és a „merész” stratégia valóban
optimális. Tegyük fel megint, hogy Péternek a játék kezdetén
x
pénze van, ahol
0
l
x
l
1
, és célja az, hogy pénze
1-re növekedjék fel. Jelölje
g
(
x
,
p
)
annak a valószínűségét, hogy Péter eléri a célját,
ha a „merész” stratégiát alkalmazza. Ugyanazzal a meggondolással,
amely a
p
=
1
2
esetében a (4.2) függvényegyenletre vezetett, azt
nyerjük, hogy
g
(
x
,
p
)
az alábbi függvényegyenletnek tesz eleget:
továbbá eleget tesz a
g
(
0
,
p
)
=
0
és
g
(
1
,
p
)
=
1
feltételeknek. Az a meggondolás, amellyel
beláttuk, hogy a (4.2)-nek eleget tevő
f
(
x
)
függvény azonos
x
-szel, (4.4)-re alkalmazva arra az eredményre
vezet, hogy a (4.4) függvényegyenletnek csak egy, a
g
(
0
,
p
)
=
0
,
g
(
1
,
p
)
=
1
mellékfeltételeknek eleget tevő megoldása van.
(Ezt egyébként először G. de Rham bizonyította be, l. [10].)
Mármost a (4.4) függvényegyenlet egy megoldását a
következőképpen konstruálhatjuk meg: legyenek
ξ
1
,
ξ
2
,
…
független valószínűségi változók, amelyek a
0 és
1 értékeket
p
és
1
−
p
valószínűséggel veszik fel. Legyen
η
=
∑
n
=
1
∞
ξ
n
2
n
és jelölje
F
p
(
x
)
az
η
valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! Akkor
egyszerűen belátható, hogy
F
p
(
x
)
eleget tesz az
függvényegyenletnek és az
F
p
(
0
)
=
0
,
F
p
(
1
)
=
1
feltételeknek. Így tehát
F
p
(
x
)
=
g
(
x
,
p
)
. Azt a
μ
p
(
A
)
mértéket a
(
0
,
1
)
intervallum Borel-halmazain, amelyre
μ
p
(
I
a
,
b
)
=
F
p
(
b
)
−
F
p
(
a
)
, ha
0
≤
a
l
b
≤
1
, ahol
I
a
,
b
az
a
≤
x
l
b
intervallumot jelöli, a következőképpen is
jellemezhetjük: a
(
0
,
1
2
)
intervallum mértéke
p
, az
(
1
2
,
1
)
intervallumé
1
−
p
. A
(
0
,
1
2
)
intervallumra jutó
p
mértéket
p
:
(
1
−
p
)
arányban osztjuk el a
(
0
,
1
4
)
és
(
1
4
,
1
2
)
részintervallumokra, hasonlóképpen járunk el az
(
1
2
,
1
)
intervallummal és így tovább. Így tehát a
(
k
2
n
,
k
+
1
2
n
)
(
k
=
0
,
1
,
…
,
2
n
−
1
)
intervallumok közül
n
l
számú intervallumnak a mértéke
p
l
(
1
−
p
)
n
−
l
lesz
(
l
=
0
,
1
,
…
,
n
)
. Az
F
p
(
x
)
függvényről könnyen ki lehet mutatni, hogy
szigorúan monoton növekvő, folytonos és szinguláris függvény, tehát
deriváltja majdnem mindenütt
0. A
μ
p
1
és
μ
p
2
mértékek ortogonálisak, ha
p
1
≠
p
2
. Nyilván
μ
1
∕
2
a közönséges Lebesgue-féle mértékkel azonos, mivel
F
1
∕
2
(
x
)
=
g
(
x
,
1
2
)
=
x
(
0
≤
x
≤
1
)
.
Azt, hogy a
p
l
1
2
esetben már nem mindegy, hogy milyen stratégiát
alkalmaz valaki, és hogy a „merész” stratégia optimális, nem fogjuk
itt általánosan bebizonyítani, csak egy számpéldával illusztráljuk.
Tegyük fel, hogy Péter
25 Ft-tal ül le rulettezni
(
p
=
18
37
)
és célja az, hogy
100 Ft-ra tegyen szert, és a merész stratégiát
alkalmazza. Ez esetben akkor és csak akkor fogja elérni célját, ha
megnyeri az első két játszmát, és ennek a valószínűsége
p
2
=
0,2366
…
. Mármost nézzük meg, mi Péter nyerési esélye, ha
azt az óvatosabb stratégiát alkalmazza, és mindig csak
25 Ft-ot tesz meg. Könnyű belátni, hogy ez esetben
Péter csak
p
3
1
−
2
p
+
2
p
2
valószínűséggel éri el célját, és
p
3
1
−
2
p
+
2
p
2
l
p
2
, ha
p
l
1
2
; hiszen
p
2
−
p
3
1
−
2
p
+
2
p
2
=
p
2
(
1
−
p
)
(
1
−
2
p
)
p
2
+
(
1
−
p
)
2
g
0
.
Speciálisan, ha
p
=
18
37
, akkor
p
3
1
−
2
p
+
2
p
2
=
0,2301
…
, tehát Péter nyerési esélye a „merész” stratégia
mellett több, mint
23,5
%
, míg az „óvatos” stratégia mellett
kevesebb.
A most tárgyalt problémához hasonló általánosabb kérdések
vizsgálatával foglalkozik L. E. Dubbins és L. J. Savage könyve
[8].