A továbbiakban a térrészt határoló zárt felületeket, és azoknak egy vagy több (ugyancsak zárt) görbe által határolt részeit kétoldalú felületeknek hívjuk.

Ennek megfelelően a felületeknek olyan definícióját adjuk meg, amely a kétoldalú felületeket is és a Möbius-szalagot is a felületek közé sorolja. Vizsgáljuk meg ezért először is, hogy mi a közös a kétoldalú felületek és a Möbius-szalag struktúrájában. Ha megnézzük azokat az alakzatokat, amelyek körülveszik egy kétoldalú felület vagy egy Möbius-szalag valamely pontját, akkor azt tapasztaljuk, hogy amennyiben a pont nincs a felület határvonalán, akkor az azt körülvevő alakzatok között lesznek olyanok, amelyek erős hasonlatosságot mutatnak a nyílt (határvonalától megfosztott) körlappal (lásd a 18. ábrát)!

(A határvonalától megfosztott körlap olyan, mint a héjától megfosztott párizsi szelet.) Ha a pont a határvonalon fekszik, akkor ilyen nyílt körlapszerű alakzat nem veheti körül, de zárt (határvonalával együtt vett) félkörlaphoz hasonlító alakzat már igen. Persze zárt félkörlaphoz hasonlító alakzatok belső (nem határon fekvő) pontot is körülvehetnek (lásd a 18. ábrát)!

Tekintsük most a 19. ábra nyitott könyvét! Itt a

P pontot körülvevő alakzatok egyike sem lesz a nyílt körlappal vagy a zárt félkörlappal azonos felépítésű. Mindegyik elágazik a

[D]

P pontnál. Ezért ezt az alakzatot nem is soroljuk a felületek közé.

A felület szemléletes definíciója tehát a következő: A felületek olyan összefüggő alakzatok, amelyeken minden pontot körülvesz egy zárt félkörlappal azonos felépítésű részalakzat. A felület belső pontjai azok a pontok, amelyeket nyílt körlappal azonos felépítésű részalakzat is körülvesz. Ha a felület valamely pontja nem belső pont, akkor az határpontja a felületnek.

Valószínű, hogy a felületek most megfogalmazott meghatározásával kapcsolatosan még a kevésbé éles szemű kritikusban is számos ellenvetés támad.

Először is nem tisztázott kérdés, hogy mit is értsünk alakzaton. Elég, ha arra gondolunk, hogy a 13. ábrán két pont (például

G 1 és

[D]

G 2 ) számított egynek, a 17. ábrán pedig egy pont kettőnek. Tisztázatlan az is, mikor állítható egy alakzatról, hogy a nyílt körlappal vagy a zárt félkörlappal azonos felépítésű.

Pontos megfogalmazást kívánhat a szigorú kritikus arra vonatkozóan is, hogy az alakzat egy része egy pontot körülvesz-e vagy nem.

Mindezek a kérdések csakugyan tisztázásra szorulnak, hiszen különben tág tere nyílna a szubjektivizmusnak, a szemlélőn múlna például az, hogy a kúp palástját azonos felépítésűnek tartja-e a körlappal, vagy sem.

Vannak olyan esetek is, ahol a szemlélet bizonytalanná válik; gondoljunk például a 17. ábra

C pontjára és egy azt körülvevő kis sapkára (lásd a 20. ábrát)! A

[D]

C F él pontjait itt – a

[D]

C pont kivételével – természetesen kettős pontoknak kell tekintenünk. Azonos-e az így nyert alakzat felépítése a körlapéval vagy sem? A térben jól látó szemlélő sem ad rögtön igenlő választ erre a kérdésre. Ha azonban meggondoljuk, hogy az alakzat szerkezeti felépítése éppen olyan, mint egy négyzet alapú gúla palástjáé a határoló négyzetvonal nélkül, akkor már könnyebb igennel válaszolnunk.

Az imént felvetett kérdésekre csak a matematika egyik igen elvont ágának, a topológiának eszközeivel adhatunk megnyugtató választ.

Nem lehet célunk, hogy teljes egészében ismertessük itt a topológia apparátusát, mert nagyon is eltérnénk eredeti témánktól. Ha azonban figyelmünket egyelőre csak azokra a felületekre fordítjuk, ahol nincsenek kettős pontok vagy pontpárok, akkor már könnyebben válaszolhatunk.

Alakzaton tehát most a tér pontjainak bizonyos összességét, más szóval a tér pontjaiból álló halmaznak egy részhalmazát értjük.

Valamely

P pontnak egy térbeli környezetén olyan halmazt értünk, amely tartalmaz egy

[D]

P középpontú golyót; más szóval

[D]

V P akkor környezete

[D]

P -nek, ha van olyan pozitív

[D]

ɛ -szám, amelynél a térnek

[D]

P -től

[D]

ɛ -nál kisebb mérőszámú távolságra lévő pontjai (és így maga

[D]

P is) valamennyien

[D]

V P -hez tartoznak. Egy pontnak természetesen végtelen sok környezete van.

Legyen most

M a tér pontjainak tetszőleges részhalmaza, és

[D]

P az

[D]

M halmaz egy pontja! Ekkor a

[D]

P pontnak egy

[D]

M -beli környezetén

[D]

P pont egy térbeli környezetének

[D]

M -hez tartozó pontjait értjük.

Így például egy sík, egyenes, illetve gömbfelület valamely

P pontjának környezete olyan halmaz a síkon, egyenesen, illetve gömbfelületen, amely tartalmaz

[D]

P középpontú körlapot, egyenesszakaszt, illetve gömbsüveget (lásd a 21. ábrát)!

A tér valamely

G részhalmaza nyílt, ha maga a

[D]

G halmaz térbeli környezete minden

[D]

G -hez tartozó pontnak. Egy

[D]

F halmaz zárt, ha a kiegészítő halmaz, vagyis az a halmaz, amely a térben

[D]

F pontjainak elhagyásakor megmarad, nyílt halmaz. Így például egy gömb belső pontjai és külső pontjai is nyílt halmazt alkotnak (külön–külön és együttesen is!), egy gömbfelület pedig zárt halmaz a térben.

Egy

M halmaz korlátos, ha van olyan gömb, amely tartalmazza azt.

Legyen

M a tér pontjainak valamely részhalmaza,

[D]

N egy nyílt, illetve zárt halmaz a térben és

[D]

N ′ az

[D]

N halmaz

[D]

M -hez tartozó pontjainak az összessége! Ekkor

[D]

N ′ -t

[D]

M -ben nyílt, illetve zárt halmaznak hívjuk. Ily módon a nyílt körlap a síkban nyílt halmaz, a zárt félkörlap pedig a síkban (de a térben is) zárt.

Felhívjuk itt az olvasó figyelmét arra, hogy a nyílt és zárt kifejezéseket többféle értelemben használtuk. Például egy nyílt körlap a térben nem lesz nyílt halmaz, egy nem zárt (hanem határolt) felület pedig zárt halmaznak számít a térben.

Tekintsünk most egy nyílt körlapot, és tekintsük egy vele azonos sugarú gömbfelület nyílt (határkörétől megfosztott) félgömbjét! Helyezzük el őket a 22. ábrán jelzett módon!

Ha a félgömböt párhuzamos sugarakkal felülről megvilágítjuk, akkor a félgömb minden pontjának árnyéka a körlapon fekszik. A különböző pontok árnyékai is különbözők lesznek, és minden körlapon fekvő pont árnyéka lesz a félgömb valamelyik pontjának. Azt mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítettünk a félgömb és a körlap pontjai között.

Általánosságban akkor beszélünk két alakzat pontjai közötti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésről vagy leképezésről, ha az egyik alakzat minden pontjához hozzá van rendelve a másik alakzat egy pontja úgy, hogy különböző pontokhoz különböző pontok legyenek hozzárendelve, és a második alakzat minden pontja megfeleljen az eredeti valamelyik pontjának.

A félgömbnek a körlapra történő vetítése mindkét irányban folytonos megfeleltetés. Ezen a következőt értjük:

Szemeljük ki a félgömb valamely tetszőleges

P pontját, egy tetszés szerinti olyan

[D]

X részhalmazát, amely környezete

[D]

P -nek a félgömbön, végül olyan tetszőleges

[D]

Y részhalmazát, amely nem környezete

[D]

P -nek a félgömbön (lásd a 22. ábrát)! Legyen

[D]

P ′ a

[D]

P pont,

[D]

X ′ az

[D]

X halmaz,

[D]

Y ′ pedig az

[D]

Y halmaz képe (árnyéka). Ekkor

[D]

X ′ környezete

[D]

P ′ -nek,

[D]

Y ′ pedig nem környezete

[D]

P ′ -nek a körlapon.

Általában valamely

M térbeli alakzatnak egy másik

[D]

M ′ térbeli alakzatra történő kölcsönösen egyértelmű leképezését mindkét irányban folytonos vagy topologikus vagy homeomorf leképezésnek hívjuk, ha az

[D]

M alakzat bármely

[D]

P pontjára és

[D]

X részhalmazára nézve igaz a következő:

[D]

X akkor és csak akkor környezete a

[D]

P pontnak

[D]

M -ben, ha

[D]

X képe környezete

[D]

P képének

[D]

M ′ -ben.

Két alakzatot akkor hívunk homeomorfnak, illetve akkor mondjuk, hogy az egyik a másik topologikus képe, ha létesíthető köztük homeomorf leképezés.

Lássunk néhány példát homeomorf leképezésekre:

A nyílt félgömb és a nyílt körlap homeomorf voltát az imént már láttuk, ha a bizonyítást nem is hajtottuk végre teljes részletességgel. Ugyanúgy látható be, hogy egy körvonal és a beleírt szabályos háromszög kerülete (határvonala) homeomorfak. Hiszen a kör középpontjából való vetítés homeomorf leképezést létesít a két alakzat között (lásd a 23. ábrát)!

Homeomorf egymással a zárt körlap és a zárt háromszöglap, valamint a nyílt körlap és a nyílt háromszöglap is. A homeomorfiát az a leképezés létesíti, amely a körvonal tetszőleges

P pontja esetén arányosan húzza össze a

[D]

C P ¯ szakaszt a

[D]

C P ′ ¯ szakaszra (lásd a 23. ábrát)!

Ugyanúgy látható be egy zárt félkörlap és egy zárt körlap homeomorf volta (lásd 24. ábrát)!

Homeomorf továbbá például egy gömbfelület egy kocka felületével. Ha ugyanis egybe ejtjük a kocka és a gömb középpontját, akkor ebből a közös középpontból történő vetítés homeomorf leképezést létesít a két alakzat között.

Homeomorf egy zárt félgömb egy körgyűrű és annak külső körére emelt kúppalást egyesítésével. A homeomorfiát itt ugyancsak egy vetítés szolgáltatja. Ez a homeomorf leképezés a körgyűrű belső körvonalát a félgömb határkörébe viszi át, méghozzá úgy, hogy átellenes pontok képei átellenes pontok lesznek (lásd a 25. ábrát)!

Szemléletesen azt mondhatjuk tehát, hogy két alakzat akkor homeomorf, ha igen rugalmas gumiból készítve el azokat, bármelyik átalakítható a másikba szakítás és ragasztás nélkül, természetesen húzást, nyújtást, zsugorítást megengedve. Így például, ha egy gumiból készült kockafelületet jól felfújunk, akkor anélkül, hogy elszakítanánk vagy valahol összeragasztanánk, előbb–utóbb gömbalakot vagy legalábbis gömbhöz közeli alakot vesz fel.

A homeomorf alakzatoknak ez a „gumigeometriai” meghatározása azonban nem pontos, mert például a 2. és 3. ábrák egyszerű, illetve kétszer csavart szalagjai homeomorfak egymással, de gumiból elkészítve az egyiket, szétvágás és ragasztás nélkül az semmilyen húzással, nyújtással vagy zsugorítással nem vihető át a másikba.

Persze a ragasztás- és szakításmentes „gumigeometriai” leképezések is időnként meglepő átalakításokat tesznek lehetővé. Nézzük például a 26. ábra

úgynevezett fogantyúfelületét! Képzeljük el, hogy a felület külseje pirosra, belseje pedig feketére van festve. A feladat a felület olyan átalakítása (kifordítása), hogy kívül legyen a fekete és belül a piros oldal. Mint azt a 27. ábrasorozat mutatja, ez az átalakítás elvégezhető szakítás és ragasztás nélkül.

Egyenesszakasszal homeomorf alakzatokat egyszerű íveknek hívunk (lásd a 28. ábrát)! Az ív két végpontja a szakasz két végpontjának a homeomorf leképezés által nyert képe lesz.

Az egyszerű ív összeköti (saját) két végpontját. Egy alakzatot ívszerűen összefüggőnek hívunk, ha bármely két pontja összeköthető az alakzatban haladó egyszerű ívvel.

Egyszerű zárt görbének hívjuk a körvonal topologikus képét. Az előkészületek megtétele után most már visszatérhetünk eredeti kérdésünk megválaszolására, tudniillik arra, hogy végül is mit értsünk felületen. Egyelőre – mint arról már szóltunk – csak az önmagukat nem metsző térbeli alakzatokkal foglalkozunk. Nem foglalkozunk a végtelenbe nyúló felületekkel sem. A (térbeli) felület matematikailag pontos definíciója a következő: A tér valamely

F részhalmazát felületnek hívjuk, ha az ívszerűen összefüggő, korlátos és zárt, azonkívül bármely pontjának van zárt körlappal homeomorf

[D]

F -beli környezete.

Ez természetesen eléggé elvont definíció, de valójában a felület szemléletes meghatározásának matematikailag szabatosan megfogalmazott pontos mása.

Ha minden

F -beli pontnak van nyílt körlappal homeomorf

[D]

F -beli környezete is, akkor a felület zárt vagy nem határolt, egyébként határolt. A felület határpontjai azok a pontok, amelyeknek nincs nyílt körlappal homeomorf környezetük. A határpontok összessége a felület határa, amely egy vagy több, de mindig véges sok egyszerű zárt görbéből áll.