Ugrás a tartalomhoz

Műszaki hőtan

Bihari Péter (2012)

EDUTUS Főiskola

4. fejezet - Hővezetés és hősugárzás

4. fejezet - Hővezetés és hősugárzás

Az energia hőmérséklet-különbség következtében történő térbeli terjedése általában igen összetett folyamatok eredménye. A hő terjedésének mennyiségi leírásához a következő három elkülöníthető elemi folyamatformát szokás megkülönböztetni:

1. Hővezetés az energia térbeli terjedésének az a formája, amikor a hő egy közeg egyik − magasabb hőmérsékletű − részéből annak másik része felé történő „,áramlása” során a közeget alkotó részecskék elmozdulása nem számottevő, illetve rendezetlen. (Például az egyik végén melegített rúd másik vége is felmelegszik, az energia a rúd melegebb végétől hővezetéssel jut a másik végéhez.)

A hővezetés konkrét mechanizmusa a különböző közegek esetében azonban lényegesen különbözik egymástól. Gázokban az atomok, molekulák rendezetlen mozgása miatti ütközéseknek (és a diffúzió) következtében terjed az energia. Afémekben a hő két párhuzamos, majdnem független mechanizmus révén terjed, egyrészt a kristályrácsot alkotó atomok rezgése által, másrészt a szabad elektronok diffúziója révén. Anemfémes anyagok és folyadékok esetén az energia terjedése rugalmas elemi hullámok révén valósul meg.

2. A hőszállítás (hőátadás) során az áramló közeg és az azt határoló felület közötti hőterjedésben a közegen belüli hővezetésen kívül az is szerepet játszik, hogy a különböző hőmérsékletű részek egymáshoz képest makroszkopikusan elmozdulnak, és ezzel energiájukat is magukkal szállítják.

3. Hősugárzás az energia térbeli terjedésének elektromágneses hullámok formájában megvalósuló folyamata, ami közvetítő közeg szükségessége nélküli mechanizmus.

E folyamat a hővezetéstől és hőszállítástól eltérő természetű, folyamatos energiaátalakulás révén valósul meg, azaz a hő elektromágneses sugárzássá, majd a tér egy másik pontján az elektromágneses sugárzás ismét hővé alakul. Aterjedés mechanizmusából következően a hőmérsékletnek a terjedés irányában nem kell monoton csökkennie. (Például a Napból a Földre elektromágneses sugárzás formájában érkező energia döntő része a földfelszínen, illetve a légkörben hővé alakul.) A szobahőmérsékletű tárgyak esetében a hősugárzás szerepe sok esetben a többi energiaterjedési formához képest elhanyagolható, de a hőmérséklet növekedésével egyre jelentősebbé válik.

Időben állandósult hővezetés és hősugárzás

Célkitűzések és tartalmi összefoglaló

A lecke célja, hogy

  • bemutassa az időben állandósult hővezetés folyamatát egyszerű geometriák esetére;

  • ismertesse a műszaki gyakorlatban fontos szerepet betöltő bordákban történő hőterjedést;

  • átfogó ismertetést adjon az infravörös tartományra jellemző hőmérsékleti sugárzásról.

A leckében ennek megfelelően ismertetjük a hővezetést leíró matematikai modellt, a Fourier-egyenletet, elkészítjük annak megoldását néhány egyszerű geometria (sík fal, henger és gömb) esetére. A megoldást felhasználva bevezetjük a hőellenállást és az azzal végezhető műveleteket. Bemutatjuk a bordákban (állandó vagy változó keresztmetszetű rudakban) végbemenő hőterjedési folyamatokat és azok leírását matematikai eszközökkel. Röviden ismertetjük a hőmérsékleti sugárzás néhány fontosabb jellegzetességét.

Hővezetés, hőellenállás

Fourier (1822) törvénye szerint egy homogén testben a hőáram a csökkenő hőmérsékletek irányába mutat, arányos a terjedési irányú, hosszegységenkénti hőmérséklet-változással és az erre az irányra merőleges keresztmetszettel. Ez az összefüggés ún. empirikus törvény, azaz a jelenség, itt a hővezetés, megfigyelésén alapul. A törvény matematikailag megfogalmazva, a 4.1.1.1.ábra jelöléseivel:

ahol:

 a hőáram, az F felületen időegységenként átáramlott energia, mértékegysége: W.

λ  a hővezetési tényező, az adott test anyagjellemzője, mértékegysége: .

A  a hővezető keresztmetszet, mértékegysége: m2.

 a hőmérséklet-eloszlás hely szerinti differenciálhányadosa azaz a hosszegységenkénti hőmérséklet-változás, mértékegysége: .

A hőáram és a keresztmetszet hányadosa, a hőáramsűrűség, azaz a felület-egységenkénti hőáram, mértékegysége , és ezzel a Fourier-törvény:

A Fourier-törvényben bevezetett hővezetési tényező az anyag fizikai jellemzője, és azt fejezi ki, hogy mekkora a hőáramsűrűség 1 K/m hosszegységenkénti hőmérséklet-változás esetén, azaz:

A hővezetési tényező számértéke az adott anyag szerkezetétől és termodinamikai állapotától függ. Meghatározása bonyolult, többnyire valamely hővezetési folyamat laboratóriumi körülmények között megvalósított mérési eredményei alapján történik. Néhány, gyakrabban előforduló anyag fizikai jellemzőit a Függelék táblázataiban megtaláljuk, további anyagokra vonatkozó adatokat a különféle kézikönyvek tartalmaznak. (Egyes intézmények fizikai jellemzőkre vonatkozó adatbázisai az Interneten keresztül is elérhetőek.)

4.1.1.1. ábra

Síkfal, henger és gömb állandósult hővezetése, hőellenállása

A homogén anyagú, egyszerű geometriájú testek egydimenziós, állandósult hővezetésének összefüggéseit a 4.1.1.1.táblázat foglalja össze. Az egyes összefüggéseket a Fourier-törvény integrálásával kapjuk meg.

Hővezetés változó hővezetési tényező esetén

A hővezetési feladatok egy részében, a testeken belüli hőmérséklet-különbségek nagysága miatt, a hővezetési tényezőt nem tekintjük állandónak. Az, hogy ez mekkora hőmérséklet-különbség esetében lesz így, attól függ, milyen pontosan kívánunk számolni, és milyen mértékű a hővezetési tényező hőmérséklet-függősége. Ez a függés sokféle lehet, a gyakorlatban többnyire a hőmérséklettel való lineáris kapcsolatot feltételezve, a alakú összefüggés használata megfelelő pontosságú eredményt ad. Ebben az esetben a hőmérséklet-eloszlás és a hőáram-számítási összefüggések bonyolultabbak lesznek az egyszerű geometriájú testeknél is. A síkfalra vonatkozó összefüggés levezetésén mutatjuk be, hogy az említett képletek hogyan származtathatóak.

A Fourier-törvényt, figyelembe véve λ hőmérséklettől való függését, így írhatjuk

A változók szétválasztása, és az egyenlet integrálása után az eredmény

amit ebben az alakban is írhatunk,

Azaz, a hővezetési tényezőt a középhőmérsékleten kiszámítva, a hőáramot az állandó λ esetére érvényes összefüggésből kapjuk. A hőmérséklet-eloszlásra vonatkozó összefüggést az előző egyenletek alapján határozzuk meg úgy, hogy δ helyett x-ig és μ2 helyett pedig τ-ig integrálunk, majd τ-ét kifejezzük, ezzel az eredmény:

4.1.1.2. ábra

Ha a b pozitív, akkor a görbe alulról homorú, azaz a lineáristól felfelé tér el, és β negatív értékére pedig domború. A hőmérséklet említett menetét tanulságos még egyszer átgondolni, ha a λ nő a hőmérséklettel, a nagyobb hőfokértékű helyen a hőmérsékletgörbe kisebb meredekségű, és fordítva, ha λ csökken a hőmérséklet növekedésével, a hőmérsékletgörbe meredeksége a nagyobb hőmérsékletű helyen lesz nagyobb, mint az alacsonyabb hőmérsékletű helyen.

A változó λ-jú hengeres és gömb alakú fal hőáramát is úgy határozzuk meg, hogy a középhőmérsékleten számolt hővezetési tényezőt helyettesítjük az állandó λ-ra vonatkozó hőáram képletébe. A hőmérséklet-eloszlást ez utóbbi esetekben a következő egyenletek írják le.

Hengeres fal

Gömb alakú fal

Hőellenállás, elektromos analógia

A 4.1.1.1.táblázat hőáramszámításának síkfalra vonatkozó egyenletét úgy átrendezve, hogy a hőmérsékletek különbsége maradjon a jobboldalon, az eredmény

Az ún. termikus- v. hőellenállás bevezetésével a Fourier- és az Ohm-törvény analógiája nyilvánvaló:

Az egyszerű geometriájú, állandó hővezetési tényezőjű testek hőellenállásának számítási összefüggéseit szintén tartalmazza a 4.1.1.1.táblázat, egy- és többrétegű szerkezetekre is. A réteges szerkezetekre a táblázatbeli értékek csak abban az esetben érvényesek, ha az egyes rétegek ideálisan kapcsolódnak egymáshoz, azaz a közöttük lévő kontaktus a hőáram számára nem jelent ellenállást.

A valóságban ez a feltételezés sok esetben nem teljesül. Ilyenkor a rétegek közötti hőellenállást is figyelembe kell vennünk, ami azt jelenti, hogy az eredő hőellenállás kiszámításánál az egyes rétegek ellenállásával sorba kapcsolódva a kontaktusok hőellenállását is számításba vesszük. A kontaktus hőellenállása (Rk) abból adódik, hogy a rétegek a felületi érdességük miatt nem érintkeznek tökéletesen egymással, a fellépő rés átlagos (δ) vastagsága és a rést kitöltő anyag (λ) hővezetési tényezője ismeretében értéke megbecsülhető (Rk»δ/λ), pontosan általában csak laboratóriumi mérésekkel tudjuk meghatározni.

A hőellenállás fogalmát kiterjesztjük más hőterjedési formákra is, így pl. a hőátadás alapegyenletét úgy átrendezve, hogy a jobb oldalon a hőmérsékletek különbsége maradjon, a hőáram mellett megjelenő tényezőt a hőátadás hőellenállásaként definiáljuk:

A hőellenállás fogalmának alkalmazása a hőáram számításában igen hatékony. Akülönböző, összetett hőterjedési folyamatoknál a sorosan, ill. párhuzamosan kapcsolt ellenállásokra vonatkozó összegző összefüggések felhasználásával írhatjuk fel a szükséges számítási összefüggéseket, határozhatjuk meg a hőáramot, amint ezt a hőátvitel esetében is alkalmazni fogjuk.

4.1.1.3. ábra

Bordák hővezetése

A borda hosszirányú hőmérséklet-eloszlásának meghatározásához feltételezzük, hogy benne hosszirányú, egydimenziós hővezetés játszódik le, azaz a hosszra merőleges keresztmetszetben a hőmérséklet állandó.

A 4.1.2.1.ábrán a bordatő hőmérséklete (t0), a borda palástja mentén a hőátadási tényező (α) és környezetének hőmérséklete (t) állandó. A borda keresztmetszetét A, a keresztmetszet kerületét U-val jelöljük.

Az x helyen a hőáram:

A paláston átadott hőáram:

4.1.2.1. ábra

Az energia megmaradását alkalmazva a rúdból kivágott szeletre, írhatjuk, hogy a vezetéssel belépő és távozó hőáram különbsége a paláston leadott hőárammal egyezik meg:

az előzőekből behelyettesítve, átrendezve

hőáramot behelyettesítve

A differenciálás elvégzése után a leíró differenciálegyenletet kapjuk eredményül

Bevezetve a Dt(x)=t(x)t helyettesítést, az eredmény

Legyen U(x) és A(x) állandó, azaz a borda egy prizmatikus rúd (a differenciálegyenlet változó keresztmetszetek esetében is megoldható az U(x), A(x) függvények ismeretében, ezek a megoldások azonban meghaladják a fejezet terjedelmének kereteit):

ahol .

A változók szétválasztása és integrálás után az általános megoldás:

ahol C1 és C2 integrálási állandók.

a. Végtelen hosszú rúd

A megoldásnak a következő peremfeltételeket kell kielégítenie:

x=0 (azaz a rúd tövében) a Dt(0)=t(0) –t= t0 – t=Dt0 innen C1=Dt0

x→∞ esetén pedig Dt(∞)=t(∞) – t= t – t=0 innen C2=0

Így a megoldás alakja:

vagyis a rúd hossza mentén a hőmérséklet exponenciálisan csökken.

A hőmérséklet csökkenésének mértékét a értéke határozza meg.

A rúd palástja által leadott hőáram a rúdtőbe belépő hőárammal egyezik meg:

behelyettesítve:

b. Véges (H) hosszúságú rúd

A megoldásnak a következő peremfeltételeket kell kielégítenie:

x=0 (azaz a rúd tövében) a Dt(0)=t(0) – t= t0 – t=D t0

x=H (azaz véglapon) a környezet felé leadott hőáramra teljesülni kell

A levezetés elhagyásával, a megoldás ebben az esetben:

A rúd által leadott hőáram pedig a fenti t(x) helyettesítésével:

továbbá, ha a véglapon és a paláston a hőátadási tényezők azonosak:

Az (α/λm)=1 esetén a fenti kifejezés éppen a tőkeresztmetszetnek megfelelő felület hőátadásával egyezik meg és független a borda hosszúságától.

Az (α/λm)>1 esetén a , így a borda alkalmazása csökkenti a felületről távozó hőt a csupasz felülethez képest.

Az (α/λm)<1 esetén a , így a borda alkalmazása növeli a felületről távozó hőt a csupasz felülethez képest.

Az alkalmazható összefüggések jelentősen egyszerűsödnek, mert a véglapon a hőleadás általában elhanyagolható (pl. mert a véglap felület nagyon kicsi, vagy αH»0). Ekkor a megoldás:

és a rúd által leadott hőáram pedig:

A rúdban nincs hosszirányú hőmérséklet-változás λ=∞ esetén (m=0), és ekkor a rúd teljes felszíne τ0 hőmérsékletű, a paláston leadott hőáram pedig:

A bordahatásfok a (l=valóságos érték) és a hányadosa:

A számítási összefüggéseket különböző bordákra a 4.1.2.2.táblázat tartalmazza. A rúd által leadott hőáram a bordahatásfokkal felírva:

Az egyszerűbb összefüggések alkalmazása esetén is jó közelítéssel figyelembe vehetjük a véglap hőátadását, ha a borda hosszúságát a fél vastagsággal megnöveljük (véglapfelületet a palást megtoldásaként állítva elő).

4.1.2.2. ábra

A hősugárzás alapjai

Mindegyik test bocsát ki elektromágneses sugárzást. Alacsony hőmérsékleteken (kb. a szobahőmérsékletig) az így kibocsátott energia gyakorlatilag elhanyagolható, míg a magas hőmérsékletek tartományában jelentőssé válik. Az energiának elektromágneses hullámok formájában való térbeli terjedésének és más energiaformává átalakulásának pontos mennyiségi leírásához szükséges matematikai apparátus bonyolultsága miatt, egyszerűsítő leíró modellt használunk a műszaki gyakorlat hőáram számításaihoz szükséges összefüggések meghatározására.

4.1.3.1. ábra

Az elektromágneses sugárzás szokásos hullámhossztartománya szerinti felosztását a 4.1.3.1.táblázat tartalmazza. Ahőközlésben a hősugarak λ=0,5−100mm közötti tartománya a nagy energiatartalom miatt jelentős. Az elektromágneses sugárzás egy adott energiaáramot (W, kW) jelent, amit f-vel jelölünk a továbbiakban. Akörnyezetével sugárzásos hőkapcsolatban lévő test hőáramát a kibocsátott (emittált) és az elnyelt (abszorbeált) energiaáram különbségeként írhatjuk fel:

Az egyenlet kifejezi, hogy szemben a hővezetés és a hőszállítás esetével, hősugárzás­kor az energiaforgalom – egyensúlyban is – kétirányú.

A sugárzás felületi energiasűrűsége a felületegységenkénti sugárzás:

A felületi energiasűrűség egységnyi hullámhosszúságra eső hányada a sugárzás intenzitása:

A teljes (λ=0..∞) hullámhossztartományra (spektrumra) vonatkozó sugárzás egy F felület esetében:

Az Iλ intenzitás a test felületeleméről az ún. teljes féltérbe kisugárzott energia. Ateljes féltér térszöge w=2p [sr]. (Asteradián [sr] a térszög mértékegysége, azt fejezi ki, hogy az adott nyílásszögű kúp mekkora felületet metsz ki az egységnyi sugarú gömb felszínéből. Mivel a gömb felszíne 4pr2, az egység sugarú félgömb felszíne 2p.)

4.1.3.2. ábra

4.1.3.3. ábra

Egy adott irányba kisugárzott energia, az egységnyi térszögre vonatkoztatott intenzitás:

és ezzel a teljes féltérbe kisugárzott energiát így írhatjuk fel:

ahol a δw=sin(j)djδy (a szögek értelmezését a 4.1.3.2 és 4.1.3.3.ábrán követhetjük).

Az Il féltérbe kisugárzott energiát az előbbiek alapján tehát így írhatjuk:

4.1.3.4. ábra

Egy test elektromágneses sugárzással szembeni makroszkopikus viselkedését jellemzi, hogy annak hányad részét nyeli el (abszorpció), hányad részét veri vissza (reflexió) és végül hányad részét engedi át (diatermia). Az említett tulajdonságok által meghatározott sugárzási hányadok jelentését (jelölésükkel együtt) szemlélteti a 4.1.3.4.ábra. Atest sugárzási jellemzőit az előbbiek alapján definiálhatjuk az adott hullámhosszra és adott irányra vonatkoztatva (lw), a teljes féltérből érkező sugárzásra vonatkoztatva (Il) és a felületi energia sűrűségre vonatkoztatva egyaránt (-).

Az abszorpciós tényezők (elnyelő képesség):

,

,

A reflexiós tényezők (visszaverő képesség):

,

,

A diatermicitások (áteresztő képesség):

,

,

Az előbbi összefüggésekkel definiált tényezők, a definícióban felhasznált mennyiségek közötti összefüggések alapján, egymás között átszámíthatóak. Asugárzást diffúznak nevezzük, ha az Ilwerőssége irányfüggetlen, így írhatjuk:

Diffúz sugárzás esetében tehát a féltér teljes sugárzása p-szerese a tetszőleges irányú (egységnyi térszögre vonatkozó) sugárzásnak. Egy testre vonatkozó sugárzási jellemzők között fennáll, hogy a+r+d=1. Átlátszatlan testek esetén d=0, így a=1−r. (Ahősugárzásra vonatkozóan a legtöbb szilárd test gyakorlatilag átlátszatlan.)

Azt a testet, amelynek a sugárzási jellemzőire fennáll, hogy alw=aλ=a=1, abszolút fekete testnek nevezzük, és a rá vonatkozó mennyiségeket a „0” index feltüntetésével jelöljük a továbbiakban.

4.1.3.5. ábra

Az a=1, azaz az abszolút fekete test esetében mind a visszavert, mind az áteresztett hányada a sugárzásnak nulla. Egy közelítő fizikai megvalósítását az ilyen viselkedésű „testnek” a 4.1.3.5.ábra mutatja. Az átlátszatlan falú üregből a résen bejutó sugárzásnak elhanyagolható hányada távozhat csak, és a sorozatos visszaverődés és részleges elnyelődés hatására energiája teljes egészében elnyelődik, így a kis nyílású üreg gyakorlatilag „fekete” test.

Ahősugárzás alaptörvényei

A fekete test egységnyi térszögre vonatkozó, tetszőleges irányban kibocsátott sugárzási intenzitásának () meghatározására vonatkozó összefüggést Planck 1901-ben állította fel,

ahol

c az elektromágneses sugárzás terjedési sebessége = 2,998 108m/s,

h=6,625 10−34 Js, a Planck-állandó,

k=1,38 10−23 J/K, a Boltzmann-állandó,

T az abszolút hőmérséklet K-ben,

λ a sugárzás hullámhossza m-ben.

Planck a fekete test hőmérséklettől függő sugárzási görbéi alapján először empirikus úton jutott el a megfelelő összefüggéshez. Később, az atomokat olyan w frekvencián rezgő harmonikus oszcillátoroknak kezelve, amelyek egyszerre csak hw (azaz véges mennyiségű) energiát vehetnek fel, a sugárzásra vonatkozó összefüggésének levezetését is megadta, és ezt tekinthetjük az első, helyesen levezetett kvantummechanikai összefüggésnek.

A Planck-törvény szerint a fekete test diffúz sugárzó, és a kibocsátott energia nagymértékben függ a test abszolút hőmérsékletétől. Ateljes féltérbe kibocsátott sugárzás erősséget (intenzitást) a hőmérséklet és hullámhossz függvényében a 4.1.3.6.ábra mutatja. Agörbék maximum helyeinek (az a hullámhossz, ahol az adott hőmérsékletű fekete test a maximális intenzitású sugárzást produkálja) hőmérséklettől való függését, a Wien-féle eltolódási törvény írja le, λmax×T =2,9mmK, azaz minél magasabb hőmérsékletű a test, a maximális energiájú sugárzás az egyre rövidebb hullámhosszúság felé tolódik el.

4.1.3.6. ábra

A Planck-féle egyenlet integrálásával (a 4.1.3.6.ábra görbéi alatti területek meghatározásával) egy adott hőmérsékletű fekete testnek a teljes spektrumra (λ=0..∞) vonatkoztatott felületi energiasűrűségét határozzuk meg:

Ez az összefüggés a Stefan−Boltzmann-törvény, a s0=5,67×10−fW/(m2K4) pedig a Stefan−Boltzmann állandó. Valamennyi test hősugárzását az abszolút fekete testéhez viszonyítjuk, így:

Az ezzel az összefüggéssel definiált tényezőt (relatív) emisszióképességnek vagy feketeségi foknak nevezzük. Aemissziós tényező diffúz sugárzók esetében irányfüggetlen:

Azokat a testeket, amiknek az emissziós tényezője nem független λ-tól, színes testnek nevezzük. Amennyiben az emissziós tényező a hullámhossztól is független, a hősugárzás szempontjából szürke testről van szó, és ekkor:

A szürke testek tehát olyan diffúz sugárzók, amik minden hullámhosszúságon a fekete test energiájának állandó hányadát sugározzák ki, így a szürke testek által kisugárzott energia a Stefan−Boltzmann-törvény alapján:

A továbbiakban csak szürke testekkel foglalkozunk. Az emissziós és abszorpciós képesség közötti kapcsolatot a Kirchhoff-törvény írja le, ami szerint a testeknek az adott irányú és hullámhosszúságú sugárzásra vonatkozó elnyelési (abszorpciós) és kibocsátási (emissziós) képessége azonos érték. Ebből a törvényszerűségből következik, hogy a fekete testre e=a=1, ami azt jelenti, hogy a fekete test nemcsak a maximális elnyelő képességű test, hanem a maximális energiakibocsátású is. Mivel ez utóbbihoz viszonyítjuk a többi test sugárzását, az emissziós tényezőre fennáll, hogy e< 1.

Két szilárd test közötti sugárzásos hőáram számítása

A szilárd testek nagy részét a hősugárzás tartományában felületi sugárzónak tekinthetjük, míg a gázok és folyadékok térfogati sugárzók és általában a spektrumuk sem folytonos. Ez utóbbi közegek sugárzásával nem foglalkozunk. Ahősugárzás szempontjából a környezeti levegőt átlátszónak tekintjük, és a sugárzás terjedését a geometriai optika törvényeivel írhatjuk le.

Bevezetve az ún. effektív (látszólagos) sugárzás segédfogalmát: az 1. testtől a 2. test felé irányuló összes sugárzott áramsűrűséget jelenti, azaz a saját (e) és a visszavert sugárzás összegét. Nem átlátszó testeknél r=1-a, így:

ebből az E1eff és E2eff kifejezve:

A szürke testek esetében Kirchhoff-törvény szerint az átlagos emissziós tényező is egyenlő az átlagos abszorpciós tényezővel, a1=e1 és a2=e2, valamint a Stefan−Boltzmann-törvény alapján a teljes hullámhossz tartományban kisugárzott energia:

Távolságukhoz képest nagy felületek közötti hőáramsűrűség

A távolságukhoz képest nagy felületek esetében (4.1.4.1.ábra) a lemezszélek kivételével más testről érkező sugárzás nem éri a felületüket, és a közöttük fellépő hőáramsűrűség az effektív sugárzásaik különbsége:

4.1.4.1. ábra

Bevezetve a kölcsönös (relatív) emissziós tényezőt:

A két felület közötti hőáramsűrűség:

Egymást burkoló felületek közötti hőáram

Ha a két test olyan, hogy legalább az egyikről kiinduló teljes sugárzás eléri a másikat (ez történik, ha egy konvex felszínű testet teljesen körülvesz egy másik test, ld. 4.1.4.2.ábra), akkor is az effektív összes sugárzást (F1eff, illetve (F2eff) felhasználva határozhatjuk meg a két test közötti hőáramot.

4.1.4.2. ábra

Mivel a kisebb felszínű test (1) az F2eff-ből csak hányadot tud elnyelni:

Mindezek alapján: