Skip navigation

Függvények kompakt halmazokon


A kompakt halmazok nagyon „szépen” viselkednek az analízis szempontjából.

Ha $f: S \to T$ függvény akkor $A \subset S$ esetén  $A$ képhalmaza $ f(A) = \{f(x): x \in A \}$. Ha $B \subset T$, akkor a $B$ ősképe a $f^{-1}(B) = \{x: f(x) \in B\}$ halmaz.

Tétel

Ha $f: S \to T$ folytonos, $K \subset S$ kompakt, akkor $f(K)$ kompakt.

Bizonyítás

Legyen $\mathcal{V}$ nyílt lefedése $f(K)$-nak. Ekkor az $\mathcal{U} = \{f^{-1}(V): V \in \mathcal{V}\}$ nyílt lefedése $K$-nak, így kiválasztható belőle véges részlefedés, mondjuk $\{U_1 = f^{-1}(V_1),\ldots f^{-1}(V_n)\}$. Ekkor $V_1, \ldots, V_n$ nyílt lefedése $f(K)$-nak.

Következmény

Legyen $S$ kompakt, $f: S \to \mathbb{R}$ folytonos. Ekkor $f$ korlátos.

Tétel

Ha $A$ zárt, $B$ kompakt és $A\cap B = \emptyset$, akkor $dist(A,B) >0$

Bizonyítás

Ha $dist(A,B) =0$, akkor van olyan $\{x_n\} \subset A$ és $\{y_n\} \subset B$ sorozat, hogy $\rho(x,y < \frac{1}{n}$. Ha szükséges részsorozatra áttérve $y_n$ konvergál. Legyen $y \in B$ a határérték. De ekkor $x_n \to y$. Mivel $A$ zárt, $y \in A$, ellentmondás.

Definíció

Az $f : S \to T$ függvény egyenletesen folytonos, ha minden $\varepsilon >0$ esetén van olyan $\delta > 0$, hogy $\forall x \in S: f(B_{\delta}(x)) \subset B_{\varepsilon}(f(x))$

Ellenpélda

Az $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}, x \mapsto x^2$ folytonos, de nem egyenletesen folytonos. (Azonban már tetszőleges zárt intervallumon az.)

Definíció

Egy $A \subset S$ halmaz egy lefedésének Lebesgue-számán olyan $\delta > 0$ számot értünk, amelyre minden $x \in A$ esetén $B_\delta(x)$ benne van a lefedés valamelyik halmazában.

Tétel

Egy metrikus tér bármely kompakt részhalmaza bármely nyílt lefedésének van pozitív Lebesgue-száma.

Bizonyítás

Legyen $K \subset S$ kompakt, $\mathcal{U}$ pedig ennek egy nyílt lefedése. Minden $x \in K$ esetén van olyan $\varepsilon(x)$, hogy $B_{\varepsilon(x)}(x) \subset U $ valamilyen $U \in \mathcal{U}$--ra. A $B_{\frac{\varepsilon(x)}{2}}$ nyílt gömbök lefedik $K$ -t. Ezek közül véges is lefedi $K$-t. Ezen véges lefedés $\frac{\varepsilon(x_i)}{2}$ sugarak minimuma Lebesgue-száma a lefedésnek.

Tétel (Heine)

Ha $S, T$ metrikus terek, $S$ kompakt és $f: S \to T $ folytonos, akkor egyenletesen folytonos.

Bizonyítás

Legyen $\varepsilon >0$. Minden $x \in S$-nek van olyan $U_x$ környezete, hogy $y \in U_x$ esetén $\rho(x,y) < \frac{\varepsilon}{2}$. Legyen $\delta$ az $U_x$ nyílt lefedés Lebesgue-száma. Ekkor $y,z \in S, \rho(y,z) < \delta$ esetén $\rho(f(z),f(y)) < \varepsilon$.

TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0052 projekt keretében valósult meg