Ugrás a tartalomhoz

Az elméleti plazmafizika alapjai (magyar, angol)

Bencze Attila, Cseh Gábor, Veres Gábor (2014)

2 Alapfogalmak

2 Alapfogalmak

2.1 A plazmafizika felépítése

A plazmafizika nehezen építhető fel axiomatikus rendszerként. Az egyenletek levezetéséhez mindig szükség van néhány a priori fogalom, mennyiség, illetve közelítés bevezetésére, és csak később, már az egyenletek birtokában mutatható meg, hogy a priori fogalmaink helyesek voltak. Ennek nagyon egyszerű oka van. Egy plazmafizikai rendszer a maga töltött és semleges részecskéivel, külső és belső elektromágneses tereivel annyira komplex, hogy leírásához a fizika sokszor látszólag egymástól távolálló diszciplináinak (statisztikus fizika, elektrodinamika, mechanika, termodinamika stb.) eszköztárát is fel kell használni. Ezen túlmenően a plazmafizika felépítéséhez tulajdonképpen nincs is szükség új axiómákra, azaz olyanokra, amelyek a fizika más területein ne fordulnának elő. Ezért a más területektől - elsősorban a statisztikus fizikától - "kölcsönvett" fogalmakat a plazmafizikában axiómaként kezeljük.

Klasszikus értelemben vett plazmákról akkor beszélünk, ha a részecskék zöme legalább egyszeresen ionizált, és így a plazma viselkedésének egészét a töltött és nem a semleges részecskék viselkedése határozza meg. Nehéz persze meghúzni a választóvonalat, hogy mikortól dominál a töltött részecskék viselkedése, így az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy az általunk ebben a jegyzetben viszgált plazmák teljesen ionizáltak, azaz az ionizáltsági fok[2] legyen 1.

A Lorentz-egyenlet és a Maxwell-egyenletek rendszere pontosan előírja minden, a plazmát alkotó töltött részecske mozgását. A megoldást önkonzisztens módon kell végrehajtanunk. A Maxwell-egyenletekkel kiszámítjuk a töltött részecskék hatására kialakuló elektromágneses tereket, majd a Lorentz-egyenlet segítségével térben léptetjük a részecskéket. Ha a plazmá-ban nem csak töltött részecskék vannak, a semleges részecskékre külön kell moz-gás-egyen-leteket felírnunk, a semleges-semleges és semleges-töltött kölcsönhatásokat pedig valamilyen módon modellezni (de most ezeket a folyamatokat figyelmen kívül hagyjuk). Könnyű elképzelni, hogy 1020 részecske esetén az itt vázolt módszer megoldhatatlan számítási feladatot jelent, tehát a plazmára mint részecskék sokaságára vonatkozó elméletet a statisztikus fizika eszköztárával kell felépítenünk.

Definiáljuk az f(x,v,t) eloszlásfüggvényt úgy, hogy

d n = f ( x , v , t ) d 3 x d 3 v

adja meg a t-időpillanatban az x és x+dx térbeli pontok között tartózkodó azon részecskék számát, amelyeknek a sebessége v és v+dv közé esik. Most tekintsünk el attól az egyébként egyáltalán nem triviális kérdéstől, hogy mikor rendelhető egy rendszerhez a fenti típusú eloszlásfüggvény, és egyszerűen posztuláljuk, hogy az általunk vizsgálandó plazmák esetében létezik az 1 egyenlet alatti eloszlásfüggvény (1. számú a priori feltevés).

Tegyük fel továbbá, hogy "elegendően sok" részecske alkotja a rendszerünket, és a részecskék között "elegendően sok" ütközés van ahhoz, hogy az eloszlásfüggvény időben és térben folytonosan, kváziegyensúlyi módon változzon (2. és 3. számú a priori feltevések).

Nem kellene szükségszerűen feltennünk, de követeljük még meg, hogy a részecskék nemrelativisztikus sebességgel mozognak és csak elektromágneses kölcsönhatás van közöttük.

2.2 Debye-árnyékolás

Tekintsünk egy pozitív és negatív töltések összességéből álló rendszert! Nyilvánvaló, hogy mivel vákuumban a Coulomb-kölcsönhatás hatótávolsága végtelen, egy adott részecskére ható eredő erő kiszámításánál elvileg annak minden más részecskével történő kölcsönhatását figyelembe kellene venni. Szerencsére azonban plazmában ezt nem kell megtenni, mert a részecskék szabad mozgása miatt a vákuumban érvényes Coulomb-tér módosulni fog, mégpedig úgy, hogy egy adott részecskének csak egy adott sugarú gömbön belül tartózkodó többi részecskével való kölcsönhatását kell figyelembe venni. Más szavakkal: plazmában a Coulomb-potenciál távolságfüggése módosul, a Coulomb-tér a távolság növelésével gyorsabban cseng le a vákuumbeli inverz távolságfüggésnél.

Helyezzünk a plazmába egy qP pozitív töltésű próbatöltést! Ez a töltés a plazma elektronjait vonzani, ionjait pedig taszítani fogja. Ennek következtében a próbatöltés közelében (mivel a részecskék szabadon elmozdulhatnak) az elektronokból felesleg, az ionokból pedig hiány fog kialakulni. Természetesen csak addig fognak az elektronok a töltéshez vándorolni (és az ionok onnan elvándorolni), amíg az eredő elektromos térerősség a töltéstől mért bizonyos távolságnál nagyobb távolságokon nullává nem válik. Azon a bizonyos távolságon belül azonban nem kell nullának lennie az elektromos térnek, különben az odavonzott elektronok és ionok elvándorolnak.

Legyen a töltésvándorlás után kialakuló elektromos tér potenciálja ϕ(r)! Nyilvánvaló, hogy egy elektron, amelyik a próbatöltés közelébe vándorolt, nem marad örökké ott, hanem a hőmozgás miatt elmegy onnan, azonban a nagyszámú elektron miatt (2. a priori feltétel) új elektron lép a helyébe, mely a régitől statisztikailag megkülönböztethetetlen. Ugyanez igaz az ionokra is.

A 3. számú a priori feltétel miatt a részecskék eloszlása ebben a ϕ(r) potenciáltérben Boltzmann-eloszlás, azaz

n σ ( r ) = n σ 0 exp ( - q σ ϕ ( r ) / κ T σ )

(nσ0 és Tσ legyenek homogének). Írjuk fel a Poisson-egyenletet a kialakult potenciállal és töltéseloszlással!

2 ϕ ( r ) = - 1 ε 0 [ q P δ ( r ) + σ q σ n σ ( r ) ] ,

ahol qPδ(r) a próbatöltés töltéssűrűsége. Nyugodtan feltehetjük, hogy egyetlen próbatöltés nem nagyon perturbálja a nagyon sok részecskéből alló plazmát, azaz |qσϕ|κTσ. Ennek megfelelően 2-t közelíthetjük

n σ n σ 0 1 - q σ ϕ κ T σ -val ,

amivel a 3 egyenlet

2 ϕ ( r ) = - 1 ε 0 [ q P δ ( r ) + ( 1 - q e ϕ κ T e ) q e n e 0 + ( 1 - q i ϕ κ T i ) q i n i 0 ] .

Ha a próbatöltés behelyezése előtt a plazma semleges volt, azaz a nemperturbált sűrűségekre igaz, hogy qene0+qini0=0, akkor a 4 egyenlet a következő alakra egyszerűsödik:

2 ϕ ( r ) - 1 λ D 2 ϕ ( r ) = - q P ε 0 δ ( r ) .

Itt definiáltuk az

1 λ D 2 = σ 1 λ σ 2

effektív Debye-hosszt az egyes részecskék

λ σ 2 = ε 0 κ T σ n σ 0 q σ 2

Debye-hosszán keresztül.

Az 5 egyenlet megoldása

ϕ ( r ) = q P 4 π ε 0 r e - r / λ D ,

ami a vákuumbeli Coulomb-potenciálnál gyorsabban lecsengő potenciáltér. Látható, hogy rλD távolságokon a plazma tökéletesen kioltja a próbatöltés elektromos terét.

Általában is igaz, nem csak a próbatöltésre, hogy a plazma Debye-hossznyi távolságokon leárnyékolja az elektrosztatikus elektromos teret, feltéve hogy a Debye-hossznak megfelelő sugarú gömbön belül sok részecske van (különben az egész előbbi analízisünk értelmét veszti).

A Debye-árnyékolás egy szép példája annak, hogy a plazma, mint részecskék összessége, minőségileg másképp viselkedik, mint az egyes részecskék külön-külön viselkednének. Ezért 1 egyenlet alatti plazma definíciót úgy kell pontosítanunk, hogy a plazma pozitív és negatív töltések összessége, és a Debye-hossznak megfelelő sugarú gömbön belül sok plazmarészecske van.

2.3 Kvázineutralitás

A Debye-árnyékolás bemutatásánál feltételeztük, hogy a plazma a próbatöltés behelyezése (az elektrosztatikus perturbáció bekapcsolása) előtt semleges volt. Most megmutatjuk, hogy ez egy teljesen jogos feltételezés volt, mert a plazma elektromos semlegessége csak Debye-hossznyi távolságokon sérülhet.

Számítsuk ki annak a maximális gömbnek a sugarát, amelyből véletlen (termikus) fluktuáció következtében minden elektron egyszerre eltávozhat. Ha ez az eset ténylegesen elő is állna, akkor az jelentené a kvázineutralitás maximális sérülését.

Az elektronmentes r sugarú gömbben visszamaradt ionok össztöltése Q=4πner3/3, aminek megfelelő elektromos tér E=Q/4πε0r2=ner/3ε0. Az elektromos tér energiasűrűsége ε0E2/2, azaz a tér teljes energiája

W = 0 r m a x ε 0 E 2 2 4 π r 2 d r = π r m a x 5 2 n e 2 e 2 45 ε 0 .

Amikor a kvázineutralitás legjobban sérül, az elektrosztatikus térben tárolt energia éppen a gömböt elhagyó elektronok mozgási energiája.

π r m a x 5 2 n e 2 e 2 45 ε 0 = 3 2 n κ T 4 3 π r m a x 3

Ebből rmax-ra az alábbi kifejezést kapjuk:

r m a x 2 = 45 ε 0 κ T n e e 2 ,

r m a x 2 = 45 ε 0 κ T n e e 2 ,

azaz

r m a x 7 λ D .

Eszerint a plazma kvázineutralitása valóban csak néhány Debye-hossznyi távolságon sérülhet.

2.4 Coulomb-szórás

Korábban feltettük, hogy részecskéink nemrelativisztikus sebességgel mozognak, ezért ennek megfelelően kölcsönhatásukat egymás elektrosztatikus, Coulomb-terében való szórásra szűkíthetjük. Tekintsük két töltött részecske ütközését, mégpedig tömegközépponti rendszerükben (. ábra)! Ebben a rendszerben az F-fel és T-vel jelölt részecskék sebessége párhuzamos, és a sebességvektorokat tartalmazó egyenesek távolsága legyen b (ütközési paraméter). Az ütközés során a részecskék sebességvektorai eltérülést szenvednek. Jelöljük a szóródás után a sebességvektorok által bezárt szöget θ-val!

1. ábra. A Coulomb-szórás szemléltetése tömegközépponti rendszerben.

Felírva a szórási folyamatra az energia- és impulzusnyomaték-megmaradási egyenleteket, az eltérülés szögére az alábbi kifejezés adódik:

tan ( θ 2 ) = q T q F 4 π ε 0 b μ v 0 2 .

Itt μ a redukált tömeg (μ-1=mF-1+mT-1) és v0 a részecskék relatív sebessége. Minél kisebb a b, annál nagyobb az ütközés után a sebességeltérülés (a b=0 centrális ütközéshez θ=180 tartozik). Nyilvánvalóan létezik egy olyan bπ/2-vel jelölt ütközési paraméter érték, amely esetén az eltérülés szöge éppen 90. Ennél kisebb ütközési paraméter esetén az eltérülés szöge nagyobb (hívjuk ezeket nagyszögű ütközéseknek), nagyobb ütközési paraméter esetén pedig kisebb lesz 90 foknál (ez utóbbiakat pedig hívjuk kisszögű ütközéseknek). A 14 egyenletből azonnal következik, hogy

b π / 2 = q T q F 4 π ε 0 μ v 0 2 .

A nagyszögű szórás hatáskeresztmetszete σnagyπbπ/22, a kisszögű szórásoknál pedig differenciális hatáskeresztmetszetet adhatunk meg. A b és b+db ütközési paraméterek közé eső szórás eltérülési szöge θ(b) és θ(b+db) szögek közé esik. Ezeknek a szórási eseményeknek a hatáskeresztmetszete σ(b,b+db)2πbdb. Nagyszögű ütközést természetesen nemcsak egy nagyszögű szórási esemény, hanem sok egymást követő kisszögű szórási esemény együttesen is létrehozhat. Határozzuk meg, hogy mekkora effektív hatáskeresztmetszettel írható le egy ilyen ütközési sorozat!

Természetesen a Coulomb-ütközés axiális szimmetriája miatt a kisszögű szórási események eltérülési szögeinek (θi) egyszerű számtani középértéke nulla (N az ütközések száma), azaz N-1i=1Nθi=0, ezért ne ezt, hanem az eltérülési szögek négyzetes átlagát számítsuk ki. Keressük a kisszögű eseményeknek azt az N számát, hogy i=1Nθi21 radián legyen! Mivel π/21, a kisszögű események sorozata jó közelítéssel egyenértékűnek vehető egy nagyszögű szórási eseménnyel.

Képzeljük el, hogy a T jelű részecskén ülünk, és az F jelű részecskék velünk szembejönnek vrel relatív sebességgel! Ekkor a szembejövő részecskék fluxusa Γ=nFvrel és t idő alatt a b és b+db ütközési paraméterek közé eső kisszögű szórási események száma Γt2πbdb. Ha t*-al azt az időt jelöljük, amely alatt a kisszögű események éppen egy nagyszögű szórást eredményeznek, akkor

1 i = 1 N θ i 2 = Γ t * 2 π b [ θ ( b ) ] 2 d b .

Ha az ütközések N száma, ami egy ilyen nagyszögű szóráshoz kell, elegendően nagy, akkor a Γ fluxust és a t időt egy effektív hatáskeresztmetszet köti össze: σΓ=t-1. A 16 egyenletre pillantva azonnal létszik, hogy a keresett kumulatív kisszögű hatáskeresztmetszet

σ * = 2 π b [ θ ( b ) ] 2 d b .

Az integrálás alsó határa nyilvánvalóan bπ/2, mivel ennél kisebb ütközési paraméternél már egyetlen ütközés is π/2-nél nagyobb eltérüléshez vezetne. A felső határ pedig a korábban megismert λD Debye-hossz, mert az annál nagyobb ütközési paraméterek már semmilyen eltérüléshez nem vezetnek (a töltések a Debye-árnyékolás miatt nem is hatnak kölcsön).

Kis szögekre a 14 alatti kifejezés így közelíthető:

θ ( b ) = q T q F 2 π ε 0 b μ v 0 2 ,

azaz

σ * = b π / 2 λ D 2 π b ( q T q F 2 π ε 0 b μ v 0 2 ) 2 d b .

Az integrálást elvégezve

σ * = 8 ln ( λ D b π / 2 ) σ n a g y ,

ahol σnagy a bπ/2 paraméterhez tartozó nagyszögű szórás hatáskeresztmetszete. Látható, hogy a kumulatív kisszögő szórásokhoz tartozó hatáskeresztmetszet lényegesen nagyobb az egyetlen nagyszögű szórás hatáskeresztmetszeténél. Pontosabban csak akkor lényegesen nagyobb, ha λD/bπ/21. De mivel qT=qF esetén bπ/2=1/(2nλD2), ez a feltétel egyenértékű a nλD31 feltétellel, ami a korábbi fejezetekben mondottak szerint - mármint hogy sok részecskénk van - nyilvánvalóan teljesül.

σ n a g y értékét behelyettesítve,

σ * = 1 2 π ( q T q F ε 0 μ v 0 2 ) 2 ln ( λ D b π / 2 )

adódik.

A legfontosabb észrevétel a 21 kifejezéssel kapcsolatban az, hogy a kumulatív kisszögű Coulomb-szórások, vagy - a nagyszögű szórásokat a fentiek miatt elhanyagolva - egyszerűen a Coulomb-szórás hatáskeresztmetszete a relatív sebesség negyedik hatványával fordítottan arányos. Forró plazmában v0 igen nagy, azaz σ* nagyon pici tud lenni. Olyan pici, hogy a Coulomb-szórás sokszor elhanyagolható más folyamatok mellett. Hogy valóban el lehet-e hanyagolni a Coulomb-szórást, ahhoz vagy a szórási hatáskeresztmetszetből számítható ν ütközési frekvenciát (ν=σ*nv), vagy két ütközés között a részecskék által átlagosan megtett l szabad úthosszat (l=1/(σ*n)) kell összehasonlítani a vizsgálni kívánt egyéb folyamat idő- és térskálájával.

Ha a plazmában a részecskék közötti Coulomb-szórás elhanyagolható, ütközésmentes vagy ideális plazmáról beszélünk.

2.5 Elektron- és ionütközési frekvenciák

Vegyük azt az esetet, amikor plazmánk csak elektronokból és azonos ionokból áll. A jegyzetben a későbbiek során is gyakran csak két plazmakomponenst, elektronokat és (egyfajta) ionokat fogunk megkülönböztetni. Több plazmakomponensre az analízis persze sokkal bonyolultabb, mint kettőre, de kvalitatíve nem vezet más végeredményre.

Legyenek tehát elektronjaink és ionjaink, amelyek között az alábbi négyféle ütközési frekvenciát lehet megkülönböztetni:[3]

  1. elektron-elektron ütközési frekvencia, elektronok elektronokon szóródnak, νee,

  2. elektron-ion ütközési frekvencia, elektronok ionokon szóródnak, νei,

  3. ion-ion ütközési frekvencia, ionok ionokon szóródnak, νii,

  4. ion-elektron ütközési frekvencia, ionok elektronokon szóródnak, νie.

A semleges gázok kinetikus elméletéből ismert, hogy ha egy n részecskeszám sűrűségű gázban az atomok sebessége v és az atomok közötti kölcsönhatás keresztmetszete σ, akkor a ν ütközési frekvencia

ν = n σ v

alakban adható meg.

Csak nagyságrendi összehasonlítást akarunk az ütközési frekvenciák között, ezért minden frekvenciát νee-vel fogunk összehasonlítani, azzal a feltevéssel élve, hogy az ütközésekben a relatív sebesség a résztvevők "tipikus" sebessége, azaz a vTσ=(2κTσ/mσ)1/2 termikus sebesség. Ez persze egy nagyon durva közelítés, mivel σ*v-4-el arányos, és egyáltalán nem lehet minden részecskét azonos sebességűnek venni, de ettől most tekintsünk el.

Ha az elektron- és az ionkomponens hőmérséklete megegyezik (ez nem túl erős feltevés), akkor vTevTi és νeeνei, mivel a különbség csak a redukált tömegek különbségéből adódik. A hőmérsékletek egyenlősége miatt σii*σee*, és az ütközési frekvenciák közötti különbség csak a relatív sebességekből adódik, azaz νii(me/mi)1/2νee. Az ion-elektron ütközési frekvenciára nehéz még durva becslést is adni, ezért inkább csak érzékeltetjük, hogy a νie(me/mi)νee azért helytálló, mert az elektronoknak sok ütközésre van szükségük az ionokat eredeti sebességükhöz képest eltéríteni, de az ionoknak, sokkal nagyobb tömegük miatt, a lassú sebesség ellenére is már kevés ütközés is elég ahhoz, hogy az elektronokat eltérítsék.

2.6 Transzportfolyamatok

Ebben a részben három példán mutatjuk be az eddig tárgyaltakat. Az egyik példa a plazmák elektromos ellenállása, a másik az ún. ambipoláris diffúzió, végül néhány gondolat az anomális diffúzióról.

Tegyük fel, hogy egy homogén plazmára külső homogén E elektromos tere kapcsolunk. Ekkor az elektronok és az ionok ellenkező irányba fognak gyorsulni. Ennek hatására egy urel=ue-ui sebességkülönbség keletkezik a két részecsketípus átlagsebességei között. Amennyiben egy ilyen relatív átlagsebesség keletkezik, a különböző részecsketípusok között fellépő ütközések súrlódási erőben, disszipációban nyílvánulnak meg. Előbb-utóbb a relatív sebességet generáló elektromos tér egyensúlyba kerül a súrlódással:

0 = - e E - ν e i m e u rel ,

ahol νeime(ue-ui) súrlódási erőnek tekinthető, ami egy átlagos elektronra hat. A J=-eneurel elektromos áramsűrűség segítségével, a fenti mozgásegyenlet az Ohm-törvény alakjára hozható:

E = η J ,

ahol η=νeime/e2ne a plazma elektromos ellenállása. Ebbe a formulába behelyettesíthetjük a már ismert ütközési frekvenciát νei=σ*nivTe és felhasználva a kvázineutralitást kapjuk:

η = Z e 2 2 π m e ϵ 0 2 v T e 3 ln ( λ D b π / 2 )

a plazma ellenállását (Spitzer ellenállás 1953), ami független a sűrűségtől és arányos T-3/2 ill. az ionok Z töltésével. Mielőtt továbbmennénk az ambipoláris diffúzió témájára, meg kell jegyeznünk, hogy a fenti tárgyalásunk homogén teret tételez fel a plazmában. Felvetődik a kérdés, hogy ez miképpen jöhet létre. A legegyszerűbb lehetőségnek tűnik, hogy a plazmát nagy kondenzátorlemezek közé helyezzük. Ez sajnos nem fog működni a Debye-árnyékolás miatt, ugyanis ez elektromos tér a lemezek közvetlen közelében lesz csak zérustól különböző. Tehát az egyetlen lehetőség az indukált elektromos tér, ahol nincs szükség a plazmába behelyezett elektródákra.

Az ambipoláris diffúzió megértéséhez induljunk ki az ismert véletlen bolyongás modellből, melynek segítségével meghatározható a diffúziós együttható skálázása: D(Δx)2/τ, ahol Δx a karakterisztikus lépéshossz, a τ pedig az az idő amelyik két lépés között eltelik. Dimenzióanalízis segítségével, és felhasználva az ütközési frekvenciákról tanultakat megmutatható, hogy az elektronok diffúziós együtthatója mintegy két nagyságrenddel meghaladja az ionokét (ld. az idevonatkozó videót). A diffúzió sebességében mutatkozó különbség egy elektromos tér felépüléséhez vezet, ezt nevezzük ambipoláris elektromos térnek. Ez az elektromos tér önszabályozó módon egy olyan effektív diffúziót valósít meg, mely bizosítja, hogy az eletronok és az ionok fluxusa kiegyenlítődjék. A (22) egyenletből látjuk, hogy a kialakuló elektromos mező egy átlagos elektron-impulzust generál meue=-eE/νe, ahol νe ütközési frekvencia jellemzi azt a rátát amellyel az elektron lendületet veszít az ionokkal való ütközések során. Mivel a belső elektromos tér nem közölhet impulzust a plazmának mint egésznek, az ionok által nyert lendület egyenlő és ellentétes előjelű kell legyen az előbbivel, azaz miui=-eE/νe. A sűrűséggradiens jelenlétében fellépő elektrondiffúzió által keltett -Dene elektronfluxust az ambipoláris elektromos tér módosítja:

Γ e = n e μ e E - D e n e ,

ahol μσ=qσ/mσνσ a σ-típusú részecskék mobilitása. Hasonló módon írhatjuk az ionfluxust:

Γ e = n e μ e E - D e n e .

Annak érdekében, hogy a kvázineutralitás fennmaradjon, a plazma önszerveződő módo olyan elektromos teret épít fel, hogy Γe=Γi=Γamb, továbbá ne=ni=n. Ezekből az ambipoláris elektromos tér könnyen kiszámítható:

E amb = ( D e - D i ) ( μ e - μ i ) ln n D e μ e ln n = k B T e e ln n .

Az ambipoláris fluxus ezzel az elektromos térrel:

Γ amb = ( μ e D i - μ i D e ) ( μ e - μ i ) n ,

ebből leolvasható az ambipoláris diffúzió diffúziós együtthatója:

D amb = ( μ e D i - μ i D e ) ( μ e - μ i ) = D i μ i - D e μ e 1 μ i - 1 μ e k B ( T i + T e ) m i ν i ,

ahol felhasználtuk, hogy νi(me/mi)1/2νe. Amennyiben az elektronok sokkal forróbbak, mint az ionok, a DambTe/mi.

Erős mágneses terekben az elektronok diffúziója a mágneses térre merőlegesen nagyon lassú lehet, legalábbis a számolt értékek nagyon távol állnak a valóságos mérésektől, ezt szokták anomális transzportnak nevezni. A szakirodalomban erős konszenzus alakult ki arról, hogy az anomális transzportot a plazma turbulens (konvektív) mozgása okozza. A legegyszerűbb eset, az elektrosztatikus turbulencia - ebben az esetben a fluktuáló E=-Φ elektromos tér természetesen befolyásolja az elektronok mozgását (persze az ionokét is, csak azok sokkal tehetetlenebbek) az E×B driften keresztül:

v E = E × B B 2 .

Ez a képlet egyszerűen következik a

m e v = - e ( E + v × B ) ,

mozgásegyenletből képezve ennek vektoriális szorzatát B-vel. Ekkor a mágneses térre merőleges sebességre a következő összefüggést kapjuk:

v = E × B B 2 + m e v · × B e B 2 .

Kiátlagolva a ciklotron mozgásra, a fenti egyenlet második tagja zérus átlagot ad. Tehát a turbulens elektromos tér a Larmor-centrumok random (turbulens) driftjét okozza. Már láttuk, hogy a véletlen bolyongási modell szerint az elektronok diffúziós együtthatója:

D e = ( Δ x ) 2 τ ,

ahol Δx2 a mágneses térre merőleges lépéshossz négyzetes eltérése (néha ezt szokták λ-val jelölni és, eléggé félreérthetően, "turbulens hullámhossznak" nevezni), τ pedig két diffúziós lépés között eltelt idő. Dimenzóanalízist használva:

Δ x τ = v E = - Φ B Φ Δ x B D e = v E Δ x = Φ Δ x B Δ x = Φ Δ x B Δ x = e Φ T 1 / 16 T e B

a híres 1/16-os faktor kiszámítása első elvekből bonyolult, nemlineáris feladat és jócskán túlmutat a jelen tananyag keretein. Az így kapott diffúziós együttható a Bohm-féle diffúzit jellemzi, amely arra enged következtetni, hogy amennyiben ez jól közelíti a valóságos transzport viszonyokat egy tokamakban, úgy azt várjuk, hogy az anomális transzport nem függ a berendezés méreteitől. Vannak szimulációk, amelyek egyértelműen arra mutatnak, hogy a Bohm-diffúzió helyett a gyro-Bohm diffúzió közelíti jobban a valós helyzetet, ami térbeli skálafüggő. Megjegyezzük, hogy a Bohm-diffúzió sokkal gyorsabb, mint a klasszikus diffúzió:

D e b o h m D e k l a s s z i k u s Ω e τ e .



[2] Az ionizáltsági fok azt mutatja meg, hogy a plazmát alkotó részecskék mekkora hányada van ionizált állapotban. α=ni/(ni+na).

[3] A következőkben definiált ütközési frekvenciák az impulzusátadás és nem az energiaátadás jellemző frekvenciaértékei.