Ugrás a tartalomhoz

Analízis lépésről-lépésre

Dr. Stettner Eleonóra (2014)

Kaposvári Egyetem

Konvergens, divergens sorozatok

Konvergens, divergens sorozatok

A konvergencia és a divergencia a sorozatokkal kapcsolatos legfontosabb fogalmak. Egyes sorozatok szép nagy, egyenletes léptekkel gyalogolnak a +∞, vagy a -∞ felé, míg mások egy, vagy több pontba "sűrűsödnek". Vizsgáljuk először ezeket a néhány pont köré besűrűsödő sorozatokat. Hogy tudjuk ezt a szemléletes képet matematikailag pontosan megfogni? Először meghatározzuk a környezet fogalmát:

Környezet

Az "a" pont ε > 0 sugarú környezete az ]a- ε,a+ ε[ nyílt intervallum, ahol ε tetszőleges pozitív, valós szám.

Torlódási pont

Az an sorozat torlódási pontja "a", ha a tetszőleges ε > 0 környezetén belül a sorozatnak végtelen (∞) sok eleme van. Nagyon fontos kihangsúlyozni, hogy a definíció bármilyen kis ε sugarú környezet esetében igaz, és a kérdés ekkor érdekes igazán.

A következő táblázatban három sorozatot szemléltetünk, amelyeknek rendre 1, 2 illetve 3 torlódási pontjuk van. A szemléltetés nem egy egyszerű ábra, hanem animáció. Maple-ben a képre kattintva megjelenik az animáció menü, ahol, ha az FPS: utáni számot kicsire 1, vagy 2 értékre állítjuk az animáció lassabb lesz, és jobban meg tudjuk figyelni a sorozatok viselkedését. A harmadik sorozat esetében úgy tűnik, hogy csak három elemet ábrázolunk, ez azért látszik így, mert ez a három elem (-1, 0, 1) ismétlődik, mindegyik végtelen sokszor.

A sorozatnak egy torlódási pontja van és az a 0.A sorozatnak két torlódási pontja van a 2 és a - 2.A sorozatnak három torlódási pontja van a - 1, 0, és az 1.

Konvergencia

Konvergens csak az a sorozat lehet, ami egyetlen pontba "sűrűsödik", nem lehet több torlódási pontja. Ekkor a torlódási pontot a sorozat határértékének nevezzük.

Ha a határérték bármilyen kicsi ε > 0 sugarú környezetét vesszük, a sorozatelemek egyszercsak beugranak ebbe a környezetbe és utána mindig benn is maradnak. Legyen a sorozatnak N db eleme a környezeten kívül. Ekkor az utolsó elem, ami még nincs a megadott környezetben az aN . Pontosabban ezt így fogalmazhatjuk meg: a sorozat konvergens és határértéke "a", ha bármely pozitív ε- hoz található egy N ( ε - tól függő) küszöbindex, hogy ha a sorozat N-nél nagyobb sorszámú elemeit tekintjük, akkor azok a határértékhez, "a"-hoz ε -nál közelebb lesznek. (A konvergencia 1. definíciója)

Matematikai jelekkel így írható fel a definíció: Az an sorozat konvergens és határértéke "a", ha

(A jelek magyarázata: "∀" , az ún. univerzális kvantor, jelentése minden, bármely. "∃" , egzisztenciális kvantor, jelentése van olyan, létezik) A fenit megfogalmazással ekvivalens definíció a következő: Az an sorozat konvergens és határértéke "a", ha "a" bármilyen "kis" ε > 0 sugarú, ]a- ε,a+ ε[ környezetén kívül a sorozatnak véges sok eleme van. (A konvergencia 2. definíciója)

Jelölések: vagy,

Tekintsük újra az sorozatot. Mi lehet a sorozat határértéke? A monotonitás vizsgálatnál kiszámoltuk a sorozat 1000. elemét, ami elég közel van az 1/2-hez. Nézzük meg, hogy az 1/2 jó lesz-e határértéknek? Legyen először ε = 0,05. Számítsuk ki, hogy a sorozat hány eleme lesz az 1/2- nek az ε = 0,05 sugarú környezetén kívül, illetve hányadik elemtől lesznek a sorozatelemek a megadott környezetben?

n + 2 2 n + 3 1 2 < 0 , 05
2 (   n + 2 ) ( 2 n + 3 ) 2 ( 2   n + 3 ) < 0 , 05
2 n + 4 2 n 3 2 ( 2   n + 3 ) < 0 , 05

Az abszolútérték "elhagyható", mert pozitív számot tartalmaz. < 0,05 Vegyük mindkét oldal reciprokát, ekkor az egyenlőtlenség iránya megfordul. 2 ⋅ (2n + 3) > 20 ⇒ 4n + 6 > 20 ⇒ 4n > 14 ⇒ n > 3,5

Tehát n = 4, 5, ... adódott, vagyis a sorozatelemek a 4. elemtől kezdve vannak az 1/2 -nek az ε = 0,05 sugarú környezetében. Ezért a küszöbindex N = 3, a sorozatnak csak az első három eleme van a megadott intervallumon kívül. Általában N, a küszöbszám az egyenlőtlenség megoldása során kapott eredmény egész része. Ugyanezt az egyenlőtlenséget ε = 0,01, ε = 0,001 esetében is oldjuk meg. A kapott küszöbszámok rendre N = 23, N = 248. Az alábbiakban a Maple utasításokkal történő számolást, majd a kapott eredmények szemléltetését láthatjuk.

[ > e : = | a(n) - 0.5 |# Az egyenlőtlenség bal oldalának felírása

[ > f := simplify(e) # Az egyenlőtlenség bal oldalának leegyszerűsítése

[ > solve({(e < 0.5 and n > 0)}, n); # a megoldás 0,05-re

[ > solve({ e < 0.01 and n > 0 },n); a #megoldás 0,01-re

[ > solve({ e < 0.001 and n > 0 },n); a #megoldás 0,001-re

[ > # Az egyenlőtlenség általános megoldása

[ > érték := eval(küszöb, [ε = 0.05])

[ > N := floor(érték) # a küszöbszám megadása 0,05 sugarú környezet esetén

[ > érték := eval(küszöb, [ε = 0.01])

[ > N := floor(érték) # a küszöbszám megadása 0,01 sugarú környezet esetén

[ > érték := eval(küszöb, [ε = 0.001])

[ > N := floor(érték) # a küszöbszám megadása 0,001 sugarú környezet esetén

A Maple limit utasítása megadja a sorozat határértékét:

[ >

Divergencia

A nem konvergens sorozatokat divergens sorozatoknak nevezzük.

A divergens sorozatok is többfélék lehetnek.

A divergens sorozatok típusai:

  • + végtelenhez tartó sorozatok (→ + ∞)

  • - végtelenhez tartó sorozatok (→ - ∞)

  • oszcillálva ("ide-oda ugrálva") divergens sorozatok

Akkor tart a +∞-hez egy sorozat, ha bármilyen (nagy) M számot adunk meg, mindig található egy sorozatelem, ami ennél a számnál nagyobb lesz és onnantól kezdve az összes sorozatelem nagyobb lesz M-nél. Az utolsó elem, ami még nem nagyobb M-nél az N. elem. Matematikai jelekkel leírva: an → ∞, ha ∀ M-hez ∃ N úgy, hogy an > M, ha n > N

Akkor tart a - ∞-hez egy sorozat, ha bármilyen M számot adunk meg, mindig található egy sorozatelem, ami ennél a számnál kisebb lesz és onnantól kezdve az összes sorozatelem kisebb lesz M-nél. Az utolsó elem, ami még nem kisebb M-nél az N. elem. Matematikai jelekkel leírva: an → - ∞, ha ∀ M-hez ∃ N úgy, hogy an < M, ha n > N

Jelölés:

oszcillálva divergens, korlátos sorozatoszcillálva divergens, nem korlátos sorozat

Mit mond a Maple limit utasítása divergens sorozatok esetén?

[ > limit(n2, n = infinity) ; # +∞-hez tartó sorozat

[ > limit(-2⋅n+1, n = infinity); # -∞-hez tartó sorozat

[ > limit((-1)n⋅n, n = infinity); # oszcillálva divergens sorozat

Néhány példa különböző tulajdonságú sorozatokra:

A fenti példákat nézzük meg Maple-ben szemléltetve is. Az első oszlopban számegyenesen ábrázoltuk a sorozatokat animálva, a második oszlopban koordináta - rendszerben ábrázoltunk, a harmadik oszlopban összefoglaltuk a legfontosabb tulajdonságokat:

Alulról korlátos k = 1, monoton növekvő, nincs torlódási pontja, divergens,
limit(1/n, n = infinity) = 0
Korlátos k = -1, K = 1/2, nem monoton, torlódási pontja 0, konvergens, határértéke 0
Korlátos k = -1, K = 1, nem monoton, torlódási pontjai:-1, 0, 1, oszcillálva divergens
Nem korlátos, nem monoton, nincs torlódási pontja, oszcillálva divergens
Felülről korlátos K = -1, monoton csökkenő, torlódási pontja nincs, divergens
Korlátos k = -2, K = 2, nem monoton, torlódási pontjai: -2, 2, oszcillálva divergens
Korlátos k = -1, K = 1, nem monoton, torlódási pontjai: -1, 1, oszcillálva divergens

Észrevehetjük, hogy a példaként szereplő sorozatokban többször előfordul a (-1)n és a (-1)(n+1) kifejezés. n értékétől függően ezeknek a kifejezéseknek a számértéke, - 1, és +1 felváltva. Ezért szerepük a váltakozó előjel biztosítása. Ha (-1)n -nel szorozzuk meg a képletet, akkor a sorozat első eleme negatív lesz, a második pozitív és így tovább, minden páratlan sorszámú elem negatív és minden páros sorszámú pozitív. Ha (-1)(n+1)-nel szorozzuk meg a sorozat képletét, akkor a páratlan sorszámú elemek lesznek pozitív előjelűek és a páros sorszámú elemek negatívok. A divergens sorozatok határértékét az előbb már megnéztük a Maple limit utasításával. Most nézzük meg a táblázatban szereplő konvergens sorozatok határértékét:

[ >

[ >

A fenti táblázatban szerepelnek monoton és nem monoton, korlátos és nem korlátos, konvergens és divergens sorozatok. Tegyünk rendet, vizsgáljuk meg, hogy ezek a sorozat tulajdonságok milyen kapcsolatban vannak egymással.

A konvergencia, a monotonitás és a korlátosság kapcsolata

Tétel: Ha az an sorozat konvergens, akkor korlátos. A bizonyítás vázlatosan a következőképpen szól. Ha egy sorozat konvergens, akkor a konvergencia 2. definíciója értelmében a határérték tetszőleges ε sugarú környezetén kívül a sorozatnak véges sok eleme van. Az 1. definíció azt mondja, hogy pontosan N db elem van az ε sugarú környezeten kívül. De a véges sok elem között mindig van legnagyobb és legkisebb, ami alkalmas felső ill. alsó korlátnak. Előfordulhat az is , hogy a sorozatnak a környezeten kívül egyáltalán nincs eleme, vagy csak a + ε - nál nagyobb, vagy a - ε -nál kisebb eleme nincs. Ezért a felső korlát K = maximum{a1, a2, ...aN, a + ε}, az alsó korlát k = minimum{a1, a2, ...aN, a - ε}. Az ábra egy olyan esetet mutat, ahol a sorozatnak a N db ε sugarú környezeten kívüli elemei között van a + ε -nál nagyobb, és a - ε -nál kisebb eleme is.

Ha az an sorozat korlátos, akkor nem szükségképpen konvergens. Ilyen sorozatok például a táblázat dn, gn, hn sorozatai. Ezt úgy is szoktuk fogalmazni, hogy a korlátosság a konvergencia szükséges, de nem elégséges feltétele.

an konvergens ⇒ an korlátos

an korlátos ⇏ an konvergens

Halmaz ábrával:

Tudunk-e a konvergenciára elégséges feltételt megfogalmazni? Igen, ez a következő tétel, amit bizonyítás nélkül közlünk:

Tétel: Ha az an sorozat korlátos és monoton, akkor konvergens.

DE!

Ha az an sorozat konvergens, akkor nem szükségképpen korlátos és monoton. Ilyen például a cn sorozat, ami konvergens, de nem monoton.

Ezért: A korlátosság és monotonitás a konvergencia elégséges, de nem szükséges feltétele.

an konvergens ⇏ an korlátos és monoton

an korlátos és monoton ⇒ an konvergens

Halmaz ábrával: