Ugrás a tartalomhoz

Differenciálegyenletek és dinamikai rendszerek

Simon Péter (2013)

Eötvös Loránd Tudományegyetem

2 Dinamikai rendszerek topologikus osztályozása

2 Dinamikai rendszerek topologikus osztályozása

A differenciálegyenletek elméletének fejlődése során először a differenciálegyenletek megoldásával foglalkoztak, igen sokféle módszert kifejlesztettek, amelyekkel speciális típusú differenciálegyenletek megoldása képlettel előállítható. Azonban kiderült, hogy differenciálegyenlet-rendszerek megoldása általában képlettel nem adható meg (szinte kizárólag csak a lineáris esetben), vagy ha megadható, akkor is nehézségekbe ütközhet, hogy a megoldás bizonyos fontos tulajdonságait a képlet alapján meghatározzuk. Kétdimenziós nemlineáris rendszerek megoldásait például célszerű úgy vizsgálni, hogy a trajektóriákat (pályákat) ábrázoljuk a fázissíkon. Ez nem azt jelenti, hogy a megoldásgörbéket pontosan felrajzoljuk, hanem az analízisbeli függvényvizsgálathoz hasonlóan járunk el, amikor csak a függvénygrafikon legfontosabb alaki tulajdonságait (monotonitás, konvexitás) vesszük figyelembe. A kétdimenziós rendszerek megoldásainak ábrázolása során tehát lényegében egy a vizsgált rendszerrel valamilyen értelemben ekvivalens rendszer pályáit ábrázoltuk (mégpedig annak, amelynek pályái úgy néznek ki, mint a vizsgálandó rendszer pályái). Most szeretnénk ezen ekvivalencia fogalmát pontosan meghatározni, azaz definiálni azt, hogy mit értünk azon, hogy két rendszer fázisképe ugyanúgy néz ki.

A továbbiakban tehát a φ:R×MM dinamikai rendszerek halmazán meg fogunk adni egy ekvivalenciarelációt. Azután az a cél, hogy meghatározzuk a lehetséges osztályokat, keressünk minden osztályból egy könnyen vizsgálható reprezentánst, és egyszerű módszert adjunk annak eldöntésére, hogy egy adott rendszer melyik osztályba tartozik.

2.1 Dinamikai rendszerek ekvivalenciái

Két dinamikai rendszert ekvivalensnek fogunk nevezni, ha pályáik egy megfelelő leképezéssel egymásba vihetők. Először ezen leképezés típusokat definiáljuk. A diszkrét és folytonos idejű dinamikai rendszerekre egyszerre fogalmazzuk meg ezeket a definíciókat, ezért a továbbiakban jelölje T az R vagy Z számhalmazt.

2.1. Definíció Legyenek M,NRn halmazok. Egy h:MN leképezést homeomorfizmusnak (esetenként C0-diffeomorfizmusnak) nevezünk, ha folytonos, bijekció és az inverze is folytonos. A leképezést Ck-diffeomorfizmusnak nevezzük, ha k-szor folytonosan differenciálható, bijekció és inverze is k-szor folytonosan differenciálható.

2.2. Definíció Legyenek M,NRn tartományok, azaz összefüggő, nyílt halmazok. Azt mondjuk, hogy a φ:T×MM és ψ:T×NN dinamikai rendszerek Ck-ekvivalensek, (k=0 esetén topologikusan ekvivalensek), ha van olyan h:MNCk-diffeomorfizmus (k=0 esetén homeomorfizmus), mely a pályákat egymásba viszi az idő irányításának megtartásával. Ezt a 2. ábra szemlélteti. Részletesebben megfogalmazva, ha létezik olyan a:T×MT folytonos függvény, melyre ta(t,p) szigorúan növő bijekció, és minden tT, valamint pM esetén

2. ábra. Topologikusan ekvivalens rendszerek pályáit homeomorfizmussal egymásba lehet vinni.

A fenti definícióban az a, illetve h függvény speciális választásával különféle ekvivalencia fogalmakat kaphatunk. A fenti általános ekvivalenciát fogjuk a továbbiakban 1. típusúnak nevezni, az alábbi fontos speciális eseteket pedig 2, 3 és 4. típusúnak.

2.3. Definíció Azt mondjuk, hogy a φ és ψ dinamikai rendszerek Ck folyam ekvivalensek (2. típusú ekvivalencia), ha a fenti definícióban a nem függ p választásától, azaz létezik olyan szigorúan növő b:TT bijekció, melyre a(t,p)=b(t) minden pM esetén. Ekkor tehát az időátparaméterezés minden pályán ugyanaz.

2.4. Definíció Azt mondjuk, hogy a φ és ψ dinamikai rendszerek Ckkonjugáltak (3. típusú ekvivalencia), ha a fenti definícióban a(t,p)=t minden tT és pM esetén. Ekkor tehát a pályákon nincs időátparaméterezés. Ez esetben a feltétel így írható

2.5. Definíció Azt mondjuk, hogy a φ és ψ dinamikai rendszerek orbitálisan ekvivalensek (4. típusú ekvivalencia), ha a fenti definícióban M=N és h=id, azaz a pályák ugyanazok, csak az idő más a két rendszerben a pályákon.

A definíciókból nyilvánvaló, hogy az ekvivalencia fogalmak között az alábbi kapcsolat áll fenn.

2.1. Állítás

  1. Ha a φ és ψ dinamikai rendszerek Ckkonjugáltak, akkor Ck folyam ekvivalensek.

  2. Ha a φ és ψ dinamikai rendszerek Ck folyam ekvivalensek, akkor Ck-ekvivalensek.

  3. Ha a φ és ψ dinamikai rendszerek orbitálisan ekvivalensek, akkor Ck-ekvivalensek.

Összefoglalva, az ekvivalencia típusok között a következő összefüggés áll fenn

2.1.1 Diszkrét idejű dinamikai rendszerek

Diszkrét idejű dinamikai rendszerek esetében valójában csak egyféle ekvivalencia van, ezt fogalmazzuk meg a következő állításban. Legyenek φ:Z×MM és ψ:Z×NN diszkrét idejű dinamikai rendszerek. Legyen f(p)=φ(1,p) és g(p)=ψ(1,p). Ekkor a dinamikai rendszer csoporttulajdonsága alapján egyszerűen igazolható, hogy φ(n,p)=fn(p) és ψ(n,p)=gn(p), ahol fn és gn a függvények n-szeri alkalmazását jelöli.

2.2. ÁllításAz alábbi állítások ekvivalensek.

  1. A φ és ψ dinamikai rendszerek Ck-konjugáltak.

  2. A φ és ψ dinamikai rendszerek Ck folyam ekvivalensek.

  3. A φ és ψ dinamikai rendszerek Ck-ekvivalensek.

  4. Létezik olyan h:MNCk-diffeomorfizmus, melyre hf=gh.

Bizonyítás. Az előző állítás szerint az első három állítás fentről lefelé következik egymásból. Először igazoljuk, hogy a negyedik állításból következik az első, majd azt, hogy a harmadikból következik a negyedik. A hf=gh egyenlőséget felhasználva

Ehhez hasonlóan az hfn-1=gn-1h feltételből következik h(fn(p))=gn(h(p)), azaz h(φ(n,p))=ψ(n,h(p)) minden n és p esetén, amely éppen a φ és ψ dinamikai rendszerek Ck-konjugáltságát jelenti.

Tegyük fel most, hogy a φ és ψ dinamikai rendszerek Ck-ekvivalensek. Vegyük észre először, hogy, ha r:ZZ szigorúan növő bijekció, akkor van olyan kZ, mellyel r(n)=n+k minden nZ esetén. Ugyanis a szigorú monotonitás miatt r(n+1)>r(n), viszont mivel r bijekció, azért r(n+1) és r(n) között nem lehet egész szám, tehát r(n+1)=r(n)+1. Így bevezetve a k=r(0) számot, indukcióval az r(n)=n+k összefüggéshez jutunk. Tehát a Ck-ekvivalencia definíciójában szereplő a függvényre fennáll, hogy minden pM ponthoz van olyan kpZ egész szám, mellyel a(n,p)=n+kp. Tehát φ és ψCk-ekvivalenciája azt jelenti, hogy minden nZ és minden pM esetén

azaz

Alkalmazzuk ezt az összefüggést először n=0 esetén. Ekkor h(p)=gkp(h(p)). Ezután n=1 esetén

ami éppen a kívánt állítást adja. [QED]

2.3. Állítás A φ és ψ dinamikai rendszerek pontosan akkor orbitálisan ekvivalensek, ha egyenlők.

Bizonyítás. Ha a két dinamikai rendszer egyenlő, akkor nyilván orbitálisan ekvivalensek. Fordítva, amennyiben orbitálisan ekvivalensek, akkor Ck-ekvivalensek is, így az előbbi állítás szerint hf=gh, viszont h=id miatt f=g, tehát φ(n,p)=ψ(n,p) bármely nZ esetén, azaz a két dinamikai rendszer azonos. [QED]

2.6. Definíció Diszkrét idejű esetben, azaz T=Z esetén, az f és g leképezést, illetve a megfelelő diszkrét dinamikai rendszereket Ck-konjugáltaknak nevezzük, ha van olyan hCk- diffeomorfizmus, melyre hf=gh.

2.1. Megjegyzés Ebben az esetben az f és g függvény csak koordináta-transzformációban különbözik egymástól.

2.4. Állítás Ha k>1 esetén f és gCk-konjugáltak, valamint pM fixpontja az f leképezésnek (ekkor nyilván h(p) fixpontja g-nek), akkor az f(p) és g(h(p)) mátrixok hasonlóak.

Bizonyítás. Deriváljuk a hf=gh egyenlőséget a p pontban, és használjuk fel, hogy f(p)=p, valamint g(h(p))=h(p). Ekkor h(p)f(p)=g(h(p))h(p), melyet megszorozhatunk a h(p) mátrix inverzével (amely azért létezik, mert hCk- diffeomorfizmus). Így az f(p) és g(h(p)) mátrixok valóban hasonlóak. [QED]

2.2. Megjegyzés A fenti állítás miatt a Ck-konjugáltság túl finom osztályozást ad k1-re, hiszen például az f(x)=2x és g(x)=3x függvények az állítás szerint nem Ck-konjugáltak (az egyik mátrix sajátértéke 2, a másiké 3), viszont az általuk meghatározott xn+1=2xn és xn+1=3xn dinamikai rendszerek pályáinak viselkedése között nem szeretnénk különbséget tenni. Látni fogjuk, azonban, hogy a két függvény C0-konjugált, azaz k=0-ra nem igaz az állítás.

2.1.2 Folytonos idejű dinamikai rendszerek

Térjünk rá most a folytonos idejű dinamikai rendszerek ekvivalenciáinak vizsgálatára, legyen tehát most T=R, és legyenek φ:R×MM valamint ψ:R×NN folytonos idejű dinamikai rendszerek. Ekkor megadhatók olyan f:MRn és g:NRn függvények, melyekre x·=f(x) megoldása a φ, és y·=g(y) megoldása a ψ dinamikai rendszer.

2.5. Állítás

  1. Legyen k1. Ekkor a φ és ψ dinamikai rendszerek pontosan akkor Ck-konjugáltak, ha létezik olyan h:MNCk-diffeomorfizmus, mellyel hf=gh.

  2. Tegyük fel, hogy a ta(t,p) függvény differenciálható. Ekkor a φ és ψ dinamikai rendszerek pontosan akkor orbitálisan ekvivalensek, ha létezik olyan v:MR+, mellyel g=fv.

  3. A 2.1. Állításban a következtetések nem fordíthatók meg.

Bizonyítás. 1. Tegyük fel először, hogy a φ és ψ dinamikai rendszerek Ck-konjugáltak. Ekkor létezik olyan h:MNCk-diffeomorfizmus, mellyel h(φ(t,p))=ψ(t,h(p)). Deriváljuk ezt az egyenletet t szerint, ekkor h(φ(t,p))φ·(t,p)=ψ·(t,h(p)). Mivel x·=f(x) megoldása a φ, és y·=g(y) megoldása a ψ, azért

Alkalmazzuk ezt t=0 esetén, ekkor

azaz h(p)f(p)=g(h(p)). Ezzel az állítás egyik irányát igazoltuk. Tegyük fel most, hogy létezik olyan h:MNCk-diffeomorfizmus, mellyel hf=gh. Legyen ψ*(t,q):=h(φ(t,h-1(q))), igazoljuk, hogy ez megoldása y·=g(y) differenciálegyenletnek, így az egyértelműség miatt ψ*=ψ, melyből a kívánt állítás következik, hiszen ψ* definíciójában a q=h(p) helyettesítést elvégezve φ és ψCk-konjugáltágát kapjuk. Egyrészt ψ*(0,q):=h(φ(0,h-1(q)))=q, másrészt

mellyel a kívánt állítást igazoltuk.

2. Tegyük fel először, hogy a φ és ψ dinamikai rendszerek orbitálisan ekvivalensek. Ekkor φ(t,p)=ψ(a(t,p),p), melyet t szerint deriválva a φ·(t,p)=ψ·(a(t,p),p)a·(t,p) egyenlethez jutunk. Mivel x·=f(x) megoldása a φ, és y·=g(y) megoldása a ψ, azért f(φ(t,p))=g(ψ(a(t,p)),p)). Alkalmazzuk ezt t=0 esetén, ekkor f(p)=g(p)a·(0,p), melyből a bizonyítandó állítást kapjuk a v(p)=a·(0,p) függvény bevezetésével. Tegyük fel most, hogy létezik olyan v:MR+, mellyel g=fv. Legyen pRn, és rövidség kedvéért vezessük be az x(t)=φ(t,p) jelölést. Legyen

ekkor b·(t)=1/v(x(t))>0, így a b függvénynek van inverze, legyen ez a=b-1. (Ez függ a p választásától is, ezért használhatjuk az a(t,p)=b-1(t) jelölést is.) Legyen y(t)=x(a(t,p)), ekkor

Így y megoldása az y·(t)=g(y(t)) differenciálegyenletnek, és teljesíti az y(0)=p kezdeti feltételt, ezért y(t)=ψ(t,p). Ezzel az y(t)=x(a(t,p)) definiáló egyenlőség alapján a kívánt ψ(t,p)=φ(a(t,p),p) összefüggéshez jutunk.

3. Ezen állítás bizonyításához ellenpéldákat adunk meg.

  1. Legyen A=(01-10) és B=(02-20). Ekkor az x·=Ax és y·=By differenciálegyenletek fázisképe azonos, mindkettő centrum, azonban a megoldások periódusa a két rendszerben különböző. Így amennyiben a pályákat egymásba képezzük, akkor az időátparaméterezése szükséges, azaz a két rendszer nem Ckkonjugált, viszont Ck folyam-ekvivalens.

  2. Ha a φ és ψ dinamikai rendszerben van két-két periodikus pálya, melyeken a periódusok aránya különböző, akkor a két rendszer nem Ck-folyam-ekvivalens, viszont lehetnek Ck-ekvivalensek.

  3. Legyen A=(100-1) és B=(100-2). Ekkor az x·=Ax és y·=By differenciálegyenletek fázisképe nyeregpont, azaz C0-ekvivalensek, viszont a pályák nem azonosak, ezért nem orbitálisan ekvivalensek.

[QED]

2.2 Lineáris rendszerek Ck-osztályozása

Ebben a szakaszban az x·=Ax alakú lineáris egyenleteket, illetve az xn+1=Axn lineáris diszkrét idejű rendszereket fogjuk osztályozni az előbbi szakaszban ismertetett ekvivalenciák szerint. Vezessük be az

és a

tereket. Ha AL(Rn), akkor az A mátrixot az x·=Ax lineáris differenciálegyenlet jobboldalának tekintjük, ha pedig AGL(Rn), akkor az A mátrixot az xn+1=Axn diszkrét rendszert meghatározó leképezésként kezeljük. Így L(Rn) a folytonos, GL(Rn) pedig a diszkrét idejű lineáris rendszereket reprezentálja. A lineáris rendszerek esetében a mátrix által meghatározott dinamikai rendszer explicit módon megadható. Ha AL(Rn), akkor az általa meghatározott dinamikai rendszer, (azaz az x·=Ax differenciálegyenlet megoldása) φ(t,p)=eAtp. Ha AGL(Rn), akkor az általa meghatározott dinamikai rendszer, (azaz az xn+1=Axn rekurzió explicit megoldása) ψ(n,p)=Anp. A továbbiakban két mátrix valamely típusú ekvivalenciáján az általuk meghatározott dinamikai rendszerek ekvivalenciáját értjük. Használni fogjuk még a következő ekvivalencia fogalmat.

2.7. Definíció Az A és B mátrixok lineárisan ekvivalensek, ha létezik olyan α>0 és P invertálható mátrix, mellyel A=αPBP-1

2.6. Állítás Legyen T=R és k1.

  1. Az A,BL(Rn) mátrixok pontosan akkor Ck-konjugáltak, ha hasonlók.

  2. Az A,BL(Rn) mátrixok pontosan akkor Ck-ekvivalensek, ha lineárisan ekvivalensek.

Bizonyítás. 1. Tegyük fel, hogy az A és B mátrixok Ck-konjugáltak, azaz létezik olyan h:RnRnCk-diffeomorfizmus, mellyel h(φ(t,p))=ψ(t,h(p)), azaz h(eAtp)=eBth(p). Deriváljuk ezt p szerint, ekkor h(eAtp)eAt=eBth(p), majd helyettesítsünk p helyére nullát h(0)eAt=eBth(0). Deriváljunk most t szerint, ekkor a h(0)eAtA=eBtBh(0) egyenlethez jutunk, melyből a t=0 helyettesítéssel a h(0)A=Bh(0) összefüggést kapjuk. Mivel h diffeomorfizmus, azért a h(0) mátrixnak van inverze, ezzel megszorozva az egyenletet A=h(0)-1Bh(0), azaz az A és B mátrixok hasonlók. Tegyük fel most, hogy az A és B mátrixok hasonlók, azaz van olyan P invertálható mátrix, mellyel A=P-1BP. Ekkor a h(p)=Pp lineáris függvény olyan Ck-diffeomorfizmus, amely a pályákat egymásba képezi az irányítás megtartásával, ugyanis PeAtp=PeP-1BPtp=eBtPp.

2. Tegyük fel, hogy az A és B mátrixok Ck-ekvivalensek, azaz létezik olyan h:RnRnCk-diffeomorfizmus, és a:R×RnR differenciálható függvény, melyekkel h(φ(t,p))=ψ(a(t,p),h(p)), azaz h(eAtp)=eBa(t,p)h(p). Deriváljuk ezt p szerint, majd helyettesítsünk p helyére nullát, ekkor h(0)eAt=eBa(t,0)h(0). Deriváljunk most t szerint, ekkor a h(0)eAtA=eBa(t,0)Ba·(t,0)h(0) egyenlethez jutunk, melyből a t=0 helyettesítéssel a h(0)A=Ba·(0,0)h(0) összefüggést kapjuk. Mivel h diffeomorfizmus, azért a h(0) mátrixnak van inverze, ezzel megszorozva az egyenletet, és bevezetve az α=a·(0,0) jelölést, A=αh(0)-1Bh(0), azaz az A és B mátrixok lineárisan ekvivalensek. Tegyük fel most, hogy az A és B mátrixok lineárisan ekvivalensek, azaz van olyan P invertálható mátrix és α>0, melyekkel A=αP-1BP. Ekkor a h(p)=Pp lineáris függvény olyan Ck-diffeomorfizmus, amely a pályákat egymásba képezi az a(t,p)=αt időátparaméterezéssel, ugyanis PeAtp=PeαP-1BPtp=eBαtPp. [QED]

2.3. Megjegyzés A fenti állítás miatt a Ck-konjugáltság és ekvivalencia túl finom osztályozást ad k1-re. Hiszen például az A=(-100-1) és B=(-100-2) mátrixok az állítás szerint nem Ck-konjugáltak, és nem is Ck-ekvivalensek, viszont mindkettő stabil csomót határoz meg, így a dinamikai rendszerek pályáinak viselkedése között nem szeretnénk különbséget tenni. Látni fogjuk azonban, hogy a két mátrix C0-konjugált, azaz k=0-ra nem igaz az állítás.

2.7. Állítás Legyen T=Z és k1. Az A,BGL(Rn) mátrixok pontosan akkor Ck-konjugáltak, ha hasonlók.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy az A és B mátrixok Ck-konjugáltak, azaz a 4. Állítás szerint létezik olyan h:RnRnCk-diffeomorfizmus, mellyel h(Ap)=Bh(p). Deriváljuk ezt p szerint, ekkor h(Ap)A=Bh(p), majd helyettesítsünk p helyére nullát, így h(0)A=Bh(0). Mivel h diffeomorfizmus, azért a h(0) mátrixnak van inverze, ezzel megszorozva az egyenletet A=h(0)-1Bh(0), azaz az A és B mátrixok hasonlók. Tegyük fel most, hogy az A és B mátrixok hasonlók, azaz van olyan P invertálható mátrix, mellyel A=P-1BP. Ekkor a h(p)=Pp lineáris függvény olyan Ck-diffeomorfizmus, amely a pályákat egymásba képezi az irányítás megtartásával, ugyanis PAp=BPp.

2.3 Lineáris rendszerek C0-osztályozása

Ebben a szakaszban a következő kérdéseket vizsgáljuk.

  1. Adott A,BL(Rn) mátrixokról hogy lehet eldönteni, hogy C0ekvivalensek, vagy C0konjugáltak?

  2. Adott A,BGL(Rn) mátrixokról hogy lehet eldönteni, hogy C0konjugáltak?

Vizsgáljuk a kérdést először az n=1 dimenziós esetben.

2.3.1 Folytonos idejű eset n=1 dimenzióban

Tekintsük az x·=ax differenciálegyenletet. Ha a<0, akkor az origó globálisan aszimptotikusan stabilis, azaz minden megoldás az origóhoz tart. Ha a>0, akkor az origó instabilis, a megoldások végtelenhez tartanak. Ha a=0, akkor minden pont egyensúlyi pont. A 3. ábrán látható a háromféle fáziskép pozitív, negatív és nulla a értékek esetén. Tehát az x·=ax és y·=by rendszerek, melyekben a,bR pontosan akkor C0-ekvivalensek, ha sgna=sgnb. (A homeomorfizmus ez esetben lehet az identitás.)

3. ábra. Egyváltozós, folytonos idejű lineáris rendszerek három osztálya.

2.3.2 Diszkrét idejű eset n=1 dimenzióban

Tekintsük az xn+1=axn rekurzióval definiált diszkrét idejű dinamikai rendszert különböző aR{0} értékek esetén. Megjegyezzük, hogy a GL(R) halmaz azonosítható az R{0} halmazzal. Mivel a rekurzió mértani sorozatot definiál, azért a pályák viselkedése egyszerűen megállapítható. Az alábbi hat osztályt kapjuk a C0-ekvivalencia szerint.

  1. Ha a>1, akkor pozitív x0 esetén szigorúan növő a sorozat, a 0 instabil fixpont.

  2. Ha a=1, akkor minden pont fixpont.

  3. Ha 0<a<1, akkor a 0 stabil fixpont, minden megoldás 0-hoz tart monoton csökkenően.

  4. Ha -1<a<0, akkor a 0 stabil fixpont, minden megoldás 0-hoz tart, azonban előjelváltó módon, ezért ez nem ekvivalens az előzővel, mert a homeomorfizmus szakaszt szakaszba visz.

  5. Ha a=-1, akkor a megoldás oszcillál.

  6. Ha a<-1, akkor 0 instabil fixpont, azonban a sorozat előjelváltó, így ez nem ekvivalens az a>1 esettel.

Az osztályozás formális igazolásához megadjuk a homeomorfizmust, amely a C0-ekvivalenciát adja. Adott a,bR{0} esetén keresünk olyan h:RR homeomorfizmust, melyre h(ax)=bh(x) teljesül minden x esetén. Keressük a h homeomorfizmust a következő alakban:

Ha a,b>0 és x>0, akkor a h(ax)=bh(x) egyenletből aαxα=bxα, így aα=b, azaz α=lnblna. A h függvény homeomorfizmus, ha α>0, ez pedig akkor teljesül, ha a és b az 1 ugyanazon oldalon helyezkedik el. Tehát, ha a,b>1, akkor a két rendszer C0-konjugált, illetve, ha a,b(0,1), akkor is C0-konjugáltak. (Egyszerűen látható, hogy negatív x értékek esetén is fennáll a h(ax)=bh(x) egyenlőség.) Hasonló módon látható, hogy ha a,b<-1, akkor a két rendszer C0-konjugált, illetve, ha a,b(-1,0), akkor is C0-konjugáltak. A fenti h(x)=|x|αsgn(x) homeomorfizmus segítségével tehát igazolhatjuk, hogy a C0-konjugáltság szerint a GL(R) halmaz legfeljebb hat osztályra bontható. Egyszerűen igazolható, hogy valóban hat osztály van, tehát a fenti különböző osztályok elemei egymással valóban nem C0-konjugáltak, azaz nem adható meg más homeomorfizmus, amely egymásba vinné a pályáikat.

2.3.3 Folytonos idejű eset n-dimenzióban

Tekintsük az x·=Ax lineáris differenciálegyenlet-rendszert, ahol An×n méretű mátrix. A C0-osztályozást a stabil, instabil és centrális alterek segítségével lehet jellemezni, ezek definícióját és legfontosabb tulajdonságait foglaljuk össze először. Jelölje a mátrix sajátértékeit multiplicitással λ1,λ2,,λn. Jelölje u1,u2,,un azt a bázist Rn-ben, amely a mátrix valós Jordan-normálformáját adja. Ezen bázis általános meghatározása hosszabb előkészítést igényel, azonban a leggyakoribb és a továbbiakban előforduló esetekben a bázis az alábbi módon egyszerűen meghatározható. Ha a sajátértékek valósak és különbözők, akkor a báziselemek éppen a megfelelő sajátvektorok. Ha vannak komplex konjugált sajátérték párok, akkor az ezeknek megfelelő komplex sajátvektor valós és képzetes része van a bázisban. Többszörös sajátértékek esetén az általánosított sajátvektorok kerülnek a bázisba, ha a sajátaltér dimenziója kisebb, mint a sajátérték algebrai multiplicitása. Ha például λ kétszeres sajátérték, de csak egydimenziós sajátaltér tartozik hozzá, akkor az általánosított v sajátvektort az Av=λv+u egyenlet határozza meg, ahol u az egydimenziós sajátalteret kifeszítő sajátvektor. Megjegyezzük, hogy ekkor v olyan u-tól független vektor, melyre (A-λI)2v=0, ugyanis (A-λI)2v=(A-λI)u=0. Ezen bázis segítségével az alábbi módon definiálható lineáris rendszerek stabil, instabil és centrális altere.

2.8. Definíció Legyen egy az A valós normálalakját meghatározó bázis {u1,,un}Rn. Jelölje λk azt a sajátértéket, amelyhez az uk bázisvektor tartozik (uk nem feltétlenül sajátvektor). Az

altereket rendre az x·=Ax lineáris differenciálegyenlet-rendszer stabilis, instabilis, centrális alterének nevezzük. ( a zárójelben levő vektorok által kifeszített alteret jelöli.)

Ezek legfontosabb tulajdonságai az alábbi tételben foglalhatók össze.

2.9. Tétel Az Es(A), Eu(A), Ec(A) alterek rendelkeznek az alábbi tulajdonságokkal:

  1. E s ( A ) E u ( A ) E c ( A ) = R n

  2. Invariánsak A-ra (azaz A(Ei(A))Ei(A), i=s,u,c), és eAt-re.

  3. Minden pEs(A) esetén eAtp0, ha t+, sőt van olyan K,α>0, hogy |eAtp|Ke-αt|p|, ha t0.

  4. Minden pEu(A) esetén eAtp0, ha t-, sőt van olyan L,β>0, hogy |eAtp|Leβt|p|, ha t0.

Az invariáns altereket egyszerűen szemléltethetjük az A=(100-1) mátrix által meghatározott nyeregpont esetében. Ekkor a mátrix sajátértékei 1 és -1, az ezekhez tartozó sajátvektorok pedig (1,0)T és (0,1)T. Így a stabilis altér a függőleges, az instabilis altér pedig a vízszintes koordináta tengely, amint a 4. ábra mutatja.

4. ábra. Nyeregpont esetén a stabilis és instabilis altér egydimenziós.

A C0-osztályozásban az invariáns alterek dimenziója fog alapvető szerepet játszani, erre vezetünk be jelöléseket az alábbi definícióban.

2.10. Definíció Az A mátrix stabil alterének dimenzióját jelölje s(A)=dim(Es(A)), instabil alterének dimenzióját u(A)=dim(Eu(A)), illetve centrális alterének dimenzióját c(A)=dim(Ec(A)).

Egy A mátrix spektrumát, azaz sajátértékeinek halmazát σ(A) fogja jelölni. Fontos szerepet fognak játszani az alábbi rendszerek.

melynek elemeit hiperbolikus mátrixoknak fogjuk nevezni a folytonos idejű esetben.

Először a hiperbolikus rendszerek C0-osztályozását fogjuk elvégezni, ehhez szükségünk lesz az alábbi lemmára.

2.11. Lemma

  1. Ha s(A)=n, akkor az A és -I mátrixok C0-konjugáltak.

  2. Ha u(A)=n, akkor az A és I mátrixok C0-konjugáltak.

Bizonyítás. Csak az első állítást igazoljuk, a második következik ebből, ha azt a -A mátrixra alkalmazzuk. Négy lépésben bizonyítunk.

a. Az x·=Ax differenciálegyenlet p pontból induló megoldása x(t)=eAtp, az y·=-y megoldása y(t)=e-tp. A kvadratikus Ljapunov-függvényekről szóló tétel szerint létezik olyan BRn×n pozitív definit szimmetrikus mátrix, hogy a QB(p)=Bp,p kvadratikus alakra LAQB negatív definit. Jelölje S:={pRn:QB(p)=1}, az ezen kvadratikus alak által meghatározott ellipszoidot.

b. Az x·=Ax differenciálegyenlet bármely nem nulla megoldása pontosan egyszer metszi az S halmazt, azaz minden pRn{0} ponthoz létezik egyetlen τ(p)R, hogy eAτ(p)pS. Ugyanis a V*(t)=QB(eAtp) függvény minden pRn{0} esetén szigorúan monoton fogyó, és lim+V*=0, lim-V*=+. Nyilván τ:Rn{0}R folytonos függvény, valamint τ(eAtp)=τ(p)-t.

c. A két rendszer pályáit egymásba képező homeomorfizmus legyen

Ennek hatása a következőképpen szemléltethető. A leképezés a p pontot elviszi az S halmazra az x·=Ax pályáján, majd ezt a pontot ugyanannyi ideig (τ(p) ideig) visszaviszi az y·=-y pályáján, lásd az 5. ábrán.

d. Igazoljuk, hogy h homeomorfizmus, és a pályákat egymásba képezi. Az utóbbi azt jelenti, hogy h(eAtp)=e-th(p). Ez p=0 esetén nyilvánvaló, p0 esetén pedig

Mivel L-IQB=Q-2B negatív definit, azaz y·=-y pályái az S halmazt csak egyszer metszik, azért h bijekció (az inverze is hasonlóan felírható). A τ függvény folytonossága miatt h és h-1 is folytonos a 0 ponton kívül. Tehát már csak a 0-beli folytonosságot kell igazolni. Ehhez megmutatjuk, hogy

Mivel eAτ(p)pS és S korlátos, azért elég igazolni, hogy limp0τ(p)=-, azaz bármely T pozitív számhoz létezik olyan δ>0, hogy legalább T idő kell amíg egy megoldás az S halmazról a Bδ(0) gömbbe eljut. Ehhez megmutatjuk, hogy létezik olyan γ<0, hogy minden pS pontra eγtQB(eAtp), azaz a megoldások nullához tartása alulról is korlátozott. (Nyilván ekkor |eAtp| is alulról becsülhető.) Legyen C az a negatív definit mátrix melyre LAQB=QC. A C mátrix negatív, és a B mátrix pozitív definitása miatt létezik olyan α<0 és β>0, hogy QC(p)α|p|2 és QB(p)β|p|2 minden pRn esetén. Vezessük be a V*(t):=QB(eAtp) (pS tetszőleges) függvényt. Ekkor V·*(t)=QC(eAtp), tehát V·*(t)QB(eAtp)=V*(t)QC(eAtp), melyből βV·*(t)αV*(t). Legyen γ:=αβ. Ekkor a Gronwall-lemma legegyszerűbb változata szerint V*(t)eγt, amit igazolni akartunk. [QED]

5. ábra. A $h$ leképezés, amely az $\dot x =Ax$ rendszer pályáit az $\dot y = -y$ rendszer pályáira képezi le.

Ezen lemma felhasználásával egyszerűen igazolható a hiperbolikus rendszerek osztályozásáról szóló alábbi tétel.

2.12. Tétel Az A,BEL(Rn) hiperbolikus mátrixok pontosan akkor C0-konjugáltak és egyben C0-ekvivalensek, ha s(A)=s(B). (Ekkor természetesen u(A)=u(B) is igaz, mivel a centrális alterek nulla dimenziósak.)

A nem hiperbolikus rendszerek C0-osztályozása az alábbi mély tételen alapszik, ezt bizonyítás nélkül közöljük, a bizonyítás meghaladja ezen jegyzet kereteit.

2.13. Tétel (Kuiper) Legyenek A,BL(Rn) olyan mátrixok, melyekre c(A)=c(B)=n. Ezek pontosan akkor C0-ekvivalensek, ha lineárisan ekvivalensek.

A fenti két tételből következik az alábbi teljes osztályozás.

2.14. Tétel Az A,BL(Rn) mátrixok pontosan akkor C0-ekvivalensek, ha s(A)=s(B), u(A)=u(B) és a centrális alterükre megszorítva lineárisan ekvivalensek (azaz A|Ec és B|Ec lineárisan ekvivalensek).

2.1. Példa Megmutatjuk, hogy a kétváltozós lineáris differenciálegyenlet-rendszerek tere, azaz L(R2) nyolc osztályra bontható C0-ekvivalencia szerint. Az osztályokat a centrális altér dimenziója szerint soroljuk fel.

  1. Ha c(A)=0, akkor a stabil altér dimenziója 0, 1 vagy 2 lehet így három osztály van. Ezek egy-egy egyszerű reprezentánsa

    melyek rendre megfelelnek az instabil csomónak, vagy fókusznak, a nyeregnek, illetve a stabil csomónak, vagy fókusznak. (A fókusz és a csomó egymással C0-konjugáltak.) A fázisképeket a 6., 7., 8. ábrákon láthatjuk.

    6. ábra. Instabil csomó.

    7. ábra. Nyeregpont.

    8. ábra. Stabil csomó.

  2. Ha c(A)=1, akkor a stabil altér dimenziója 0 vagy 1 lehet, így két osztály van. Ezek egy-egy egyszerű reprezentánsa

    A fázisképeket a 9. és 10. ábrákon láthatjuk.

    9. ábra. Végtelen sok instabil egyensúlyi pont.

    10. ábra. Végtelen sok stabil egyensúlyi pont.

  3. Ha c(A)=2, akkor a lineáris ekvivalencia szerinti osztályokat kell meghatározni. Ha a nulla kétszeres sajátérték, akkor két osztályt kapunk, a tiszta képzetes sajátértékekkel rendelkező mátrixok pedig lineárisan ekvivalensek egymással. Így három osztályt kapunk, ezek egy-egy egyszerű reprezentánsa

    A legutolsó megfelel a centrum pontnak, a másik kettő nem kapott külön elnevezést. A fázisképeket a 11., 12., 13. ábrákon láthatjuk.

    11. ábra. Minden pont egyensúlyi pont.

    12. ábra. Egy egyenesen elhelyezkedő elfajult egyensúlyi pontok.

    13. ábra. Centrumpont.

A fentihez hasonlóan igazolható, hogy a háromváltozós lineáris differenciálegyenlet-rendszerek tere, azaz L(R3) 17 osztályra bontható C0-ekvivalencia szerint. Az L(R4) halmazt végtelen sok osztályra bontja a C0-ekvivalencia, azaz végtelen sok különböző négy dimenziós lineáris fáziskép van.

2.3.4 Diszkrét idejű eset n-dimenzióban

Tekintsük az xk+1=Axk rekurzióval definiált diszkrét idejű lineáris rendszert, ahol An×n méretű mátrix. A C0-osztályozást most is a stabil, instabil és centrális alterek segítségével lehet jellemezni, ezek definícióját és legfontosabb tulajdonságait foglaljuk össze először. Jelölje a mátrix sajátértékeit multiplicitással λ1,λ2,,λn. Jelölje u1,u2,,un azt a bázist Rn-ben, amely a mátrix valós Jordan-normálformáját adja. Ezen bázis segítségével az alábbi módon definiálható lineáris rendszerek stabil, instabil és centrális altere.

2.15. Definíció Legyen egy az A valós normálalakját meghatározó bázis {u1,,un}Rn. Jelölje λk azt a sajátértéket, amelyhez az uk bázisvektor tartozik (uk nem feltétlenül sajátvektor). Az

altereket rendre az AGL(Rn) leképezés stabilis, instabilis és centrális alterének nevezzük. ( a zárójelben levő vektorok által kifeszített alteret jelöli.)

Ezek legfontosabb tulajdonságai az alábbi tételben foglalhatók össze.

2.16. Tétel Az Es(A), Eu(A), Ec(A) alterek rendelkeznek az alábbi tulajdonságokkal:

  1. E s ( A ) E u ( A ) E c ( A ) = R n

  2. Invariánsak A-ra (azaz A(Ei(A))Ei(A), i=s,u,c).

  3. Minden pEs(A) esetén Anp0, ha n+.

  4. Minden pEu(A) esetén A-np0, ha n+.

A C0-osztályozásban az invariáns alterek dimenziója fog alapvető szerepet játszani, erre vezetünk be jelöléseket az alábbi definícióban.

2.17. Definíció Az A mátrix stabil alterének dimenzióját jelölje s(A)=dim(Es(A)), instabil alterének dimenzióját u(A)=dim(Eu(A)), illetve centrális alterének dimenzióját c(A)=dim(Ec(A)).

Fontos szerepet fognak játszani az alábbi rendszerek.

melynek elemeit szintén hiperbolikus mátrixoknak fogjuk nevezni, de a diszkrét idejű esetben.

A hiperbolikus rendszerek C0-osztályozásához fel fogjuk használni az alábbi lemmát.

2.18. Lemma Legyenek az A,BHL(Rn) mátrixok C0-konjugáltak, azaz létezik olyan h:RnRn homeomorfizmus, melyre h(Ax)=Bh(x) minden xRn esetén. Ekkor

  1. h ( 0 ) = 0 ,

  2. h ( E s ( A ) ) = E s ( B ) , azaz a h stabil alteret stabil altérbe visz; h(Eu(A))=Eu(B), azaz h instabil alteret instabil altérbe visz,

  3. s ( A ) = s ( B ) , u(A)=u(B).

Bizonyítás. 1. A h(Ax)=Bh(x) egyenletből az x=0 helyettesítéssel a h(0)=Bh(0) összefüggést kapjuk, melyből h(0)=0, ugyanis a B mátrix hiperbolikus, tehát az 1 nem sajátértéke.

2. Legyen xEs(A), ekkor An0, amint n, így h(Anx)=Bnh(x) miatt Bnh(x) is nullához tart. Ebből az következik, hogy h(x) a B stabil alterében van, tehát azt kaptuk, hogy h(Es(A))Es(B). Hasonló érvelést alkalmazva a h-1 függvényre, azt kapjuk, hogy h-1(Es(A))Es(B), melyből Es(B)h(Es(A)). Mivel mindkét irányú tartalmazás fennáll, azért a két halmaz azonos: h(Es(A))=Es(B).

3. Mivel Es(A) homeomorfizmussal átvihető az Es(B) altérbe, azért dimenziójuk egyenlő, azaz s(A)=s(B), melyből u(A)=u(B) is következik, hiszen a centrális alterek nulla dimenziósak. [QED]

Folytonos idejű dinamikai rendszerek esetében azt láttuk, hogy s(A)=s(B) nemcsak szükséges, hanem elégséges feltétele is két hiperbolikus rendszer C0-konjugáltságának. Vizsgáljuk meg egy egydimenziós és egy kétdimenziós példán, hogy diszkrét idejű esetben is elégséges-e ez a feltétel.

2.2. Példa Tekintsük az A=12 és B=-12 számok (1×1-es mátrixok) által meghatározott lineáris rendszereket. Mindkettőnek egydimenziós a stabil altere, azaz s(A)=s(B)=1, hiszen mindkettőnek nullához tartó mértani sorozatok adják a pályáit. Azonban, amint a 2.3.2. szakasz elején láttuk, a két rendszer egymással nem C0-konjugált. Ott megmutattuk, hogy a GL(R) halmazt C0-konjugáltság szerint hat osztályra lehet bontani.

Ez a példa tehát azt mutatja, hogy s(A)=s(B) nem elégséges feltétele a C0-konjugáltságának. Ennek ellenére érdemes megvizsgálni a kétdimenziós esetet is, mert ebből intuíciót nyerhetünk a hiperbolikus rendszerek osztályozásához.

2.3. Példa Tekintsük az A=12I és B=-12I mátrixokat, ahol I a 2×2-es egységmátrix. Mindkettőnek kétdimenziós a stabil altere, azaz s(A)=s(B)=2, hiszen mindkettőnek nullához tartó sorozatok adják a pályáit. Megmutatjuk, hogy ezek a rendszerek C0-konjugáltak. Olyan h:R2R2 homeomorfizmust kell megadni, melyre h(12x)=-12h(x) fennáll minden xR2 esetén. A homeomorfizmust úgy adjuk meg, hogy az origó közepű köröket önmagukba vigye, és a sugaruktól függő mértékben forgassa el. Induljunk ki az egység sugarú körből, és definiáljuk ezen h-t önkényes módon, mégpedig ezen kör pontjait hagyja helyben a h leképezés. Ekkor a h(12x)=-12h(x) egyenlet miatt az 1/2 sugarú körön h hatása már meghatározott, nevezetesen ezt a kört 180-kal kell elforgatnia. A két kör közötti gyűrűben ismét önkényesen lehet definiálni a h függvényt. Ezután az 1/4 és 1/2 sugarú körök közötti gyűrűben a függvényt már a h(12x)=-12h(x) egyenlet definiálja. Ezt követően az 1/4 és 1/2 sugarú körök közötti gyűrűben felvett értékek a h(12x)=-12h(x) egyenlet segítségével meghatározzák h értékét az 1/8 és 1/4 sugarú körök közötti gyűrűben. Hasonlóképpen az 1/2 és 1 sugarú körök közötti gyűrűben felvett értékek a h(12x)=-12h(x) egyenlet segítségével meghatározzák h értékét az 1 és 2 sugarú körök közötti gyűrűben. Könnyen láthatjuk, hogy a 2k sugarú körön a forgatás szöge -kπ. Legyen tehát az r sugarú körön a forgatás szöge -πlog2(r), ezzel a forgatás szöge a sugár folytonos függvénye lesz, és r=2k esetén a -kπ szögű forgatást kapjuk. Ezzel tehát a h leképezést a teljes síkon definiálhatjuk a fenti eljárással. A függvényt képlettel is meg lehet adni a következőképpen

A leképezés nyilvánvalóan bijekció, folytonossága csak az origóban szorul bizonyításra, ezt az Olvasóra bízzuk.

Megjegyezzük, hogy 3 dimenzióban az A=12I és B=-12I mátrixok, ahol I a 3×3-as egységmátrix, nem C0-konjugáltak. Azt láttuk tehát, hogy s(A)=s(B) nem elégséges feltétele a C0-konjugáltságának. Az elégséges feltételt a következő lemmában fogalmazzuk meg.

2.19. Lemma Tegyük fel, hogy s(A)=s(B)=n (vagy u(A)=u(B)=n). Ebben az esetben A és B pontosan akkor C0-konjugáltak, ha sgndetA=sgndetB.

Ennek segítségével megadható a pontos feltétel hiperbolikus rendszerek C0-konjugáltságára.

2.20. Tétel Az A,BHL(Rn) hiperbolikus leképezések pontosan akkor C0-konjugáltak, ha

  • s ( A ) = s ( B )

  • sgn det A | E s ( A ) = sgn det B | E s ( B )

  • sgn det A | E u ( A ) = sgn det B | E u ( B )

2.4. Példa A tétel szerint az A=12I és B=-12I mátrixok, ahol I az n×n-es egységmátrix, pontosan akkor C0-konjugáltak, ha n páros. Ugyanis ekkor a -I mátrixnak is pozitív a determinánsa, míg páratlan n esetén negatív. Amint tehát fent már megmutattuk az

mátrixok C0-konjugáltak.

2.5. Példa A tétel alapján egyszerűen megmutatható, hogy a hiperbolikus mátrixok HL(R2) terét a C0-konjugáltság nyolc osztályra bontja. Ennek igazolását, valamint az egyes osztályokból egy-egy reprezentáns megkeresését az Olvasóra bízzuk.

2.4 Feladatok

  1. Az alábbi L(R2) mátrixok közül melyik C1-konjugált a (100-1) mátrixszal?

    Válasz: egyik sem.

  2. Az alábbi L(R2) mátrixok közül melyik C0-konjugált a (100-1) mátrixszal?

    Válasz: C.

  3. Az alábbi L(R2) mátrixok közül melyik C0-ekvivalens a (100-1) mátrixszal?

    Válasz: C.

  4. Az alábbi L(R3) mátrixok közül melyik C0-ekvivalens a (1000-10111) mátrixszal?

    Válasz: B.

  5. Az alábbi GL(R2) mátrixok közül melyik C1-konjugált a (200-2) mátrixszal?

    Válasz: egyik sem.

  6. Az alábbi GL(R2) mátrixok közül melyik C0-konjugált a (200-2) mátrixszal?

    Válasz: C.

  7. Az alábbi L(R2) mátrixok közül melyik hiperbolikus, azaz melyik van benne az EL(R2) halmazban?

    Válasz: B.

  8. Az alábbi GL(R2) mátrixok közül melyik hiperbolikus, azaz melyik van benne a HL(R2) halmazban?

    Válasz: A.

  9. Az alábbi rendszerek közül melyik orbitálisan ekvivalens az (100-1) mátrix által meghatározott lineáris differenciálegyenlettel?

    Válasz: Az első.