5.3.9. Feladatok

1) (a) Definiálja a gyümölcsök halmazát egyes elemeinek felsorolásával ! (b) Írja ezt röviden, matematikai jelöléssel is ! (c) Adja meg a halmaz egy lehetséges alaphalmazát! (d) Adja meg a halaz egy elemét! (e) Adjon meg jelöléssel egy olyan elemet, ami nem tartozik a halmazba!

 

2) Az alábbi halmazok közül melyik üres halmaz?

a) R:={x|x repülő fa},

b) H:={x|x házas agglegény},

c) F:={x|x magyarországi folyók 2000-ben}

 

3) Melyik esetben neveztünk meg azonos halmazokat?

a) U:={természetes számok},

H:={100-nál kisebb páros természetes számok},

K:={0-nál nagyobb páratlan természetes számok}.

b) U:={magyarországi települések 2000-ben},

H:={magyarországi megyeszékhelyek 2000-ben},

K:={Salgótarján, Eger, Miskolc, Nyíregyháza, Debrecen, Budapest, Kecskemét, Szolnok, Szeged, Békéscsaba, Pécs, Szekszárd, Székesfehérvár, Tatabánya, Győr, Veszprém, Zalaegerszeg, Szombathely, Kaposvár}.

 

4) Adott H:={0,5,10} és K:={0, 10} halmaz. Teljesülnek a két halmazra a következő állítások?

a) H  K

b) K  H

c) H  K

d) K  H

e) K = H

 

5) Adott H:={x|x húsz és 30 év közötti magyar állampolgár} és K:={x|x hallgatói jogviszonyban van egy hazai felsőoktatási intézményben} halmaz. Teljesülnek a két halmazra a következő állítások?

a) H  K

b) K  H

c) H  K

d) K  H

e) K = H

 

6) Adott H:={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...} és K:={x|x 0-nál nagyobb páros szám} halmaz. Teljesülnek a két halmazra a következő állítások?

a) H  K

b) K  H

c) H  K

d) K  H

e) K = H

 

7) Állapítsuk meg, hogy a H és K halmazok közül részhalmaza-e egyik a másiknak!

a) H:={4,5}; K:={5,4},

b) H:={3,4,5}; K:={4,5,6}.

 

8) Legyen H:={-2, -1, 0, 1, 2} illetve K:={0, 2, 4,8,16} két halmaz. Határozza meg az alábbi halmazok elemeit!

a) H  K

b) H  K

 

9) Legyenek H, K, L halmazok az U alaphalmaz tetszőleges részhalmazai. Bizonyítsa be az alábbi tételeket! (Ezek a tulajdonságok könnyen igazolhatók Venn-diagrammal.)

Tétel.

1. tétel: H  H=H (idempotencia),

2. tétel: H  H=H (idempotencia),

3. tétel: H  K=K  H (kommutativitás),

4. tétel: H  K=K  H (kommutativitás),

5. tétel: (H  K)  L=H  (K  L) (asszociativitás),

6. tétel: (H  K)  L=H  (K  L) (asszociativitás),

7. tétel: H  (K  L) = (H  K)  (H  L) (disztributivitás).

8. tétel: H  (K  L) = (H  K)  (H  L) (disztributivitás).

 

10) Legyen H:={0,1, 2} és K:={0,3, 6,18} halmaz. Milyen elemei vannak a H\K és a K\H halmaznak?

 

11) Legyenek H, K halmazok az U alaphalmaz tetszőleges részhalmazai. Bizonyítsa be az alábbi tételeket!

Tétel.

1. tétel: H \ H ≠ H (H \ H= Ø) (nem idempotens)

2. tétel: H \ K ≠ K \ H (nem kommutatív)

3. tétel: (H \ K)\L ≠ H \ (K \ L) (nem asszociatív)

 

12) Legyen U:={1, 2, 3, 4, 5} és H:={1, 5}. Határozza meg a H halmaz komplementer halmazát az U alaphalmazon!

 

13) Legyenek H, K halmazok az U alaphalmaz tetszőleges részhalmazai. Bizonyítsa be az alábbi tételeket!

Tétel.

1. tétel: ~ ~H= H

2. tétel: ~ Ø = U

3. tétel: ~ U = Ø

4. tétel: U \ H= ~H

 

14) Legyenek H, K halmazok az U alaphalmaz tetszőleges részhalmazai. Bizonyítsa be De Morgan azonosságokat!

Tétel.

1. tétel: ~ (H  K) = ~H  ~K,

2. tétel: ~ (H  K) = ~H  ~K.

 

15) U:={x|xN és x ≤ 20}

H:={x|xN, 3 osztója x-nek és x ≤ 20}

K:={x|xN,4 osztója x-nek és x ≤ 20}

Képezzük a következő halmazokat!

a) H  K,

b) H  K,

c) ~H

d) H\K,

e) K\H

 

16) Milyen kapcsolat van H és K halmaz között, ha

a) H \ K=Ø és H  K=H,

b) H \ K=Ø és H  K=H,

c) H \ K=Ø és K \ H=Ø.

 

17) Teljesül-e minden H, K halmazra, hogy ((H \ K)  (K \ H))  (H  K)?

 

18) A halmazműveletekre vonatkozó tulajdonságok alapján bizonyítsuk be, a következő állításokat, ahol H, K és L egy adott U alaphalmaza rész­halmazai!

a) H = (H  K)  (H  ~K),

b) H  K = (H  ~K)  (H  K)  (~H  K),

c) U = (H  ~K)  K  (L  ~H)  ~L