Ugrás a tartalomhoz

Energetika – Energiamenedzsment

Dr. Benkő Zsolt István, Dr. Pitrik József (2011)

Hőmérséklet molekuláris értelmezése, ideális gáz belső energiája

Hőmérséklet molekuláris értelmezése, ideális gáz belső energiája

Vizsgáljuk most meg az ideális gázok viselkedését a molekuláris szemlélet alapján. Az egyszerűség kedvéért tételezzünk fel egy V térfogatú, téglatest alakú tartályt, melyben gáz van (4.12 ábra). Számítsuk ki a gáz nyomását az A felületre[31] [32] .

4.12. ábra - Segédlet a nyomás kiszámításához a molekuláris szemlélet alapján

Segédlet a nyomás kiszámításához a molekuláris szemlélet alapján


A (4.12 ábra) alapján, ha a molekulák átlagos x tengely irányú sebessége vx, akkor az A felületet egy megadott Δt idő alatt az árnyékolt térrészben lévő molekulák érhetik csak el. Ha egy molekula tömege μ, akkor az A felülettel való tökéletesen rugalmas ütközés hatására a molekula impulzusa 2μvx mértékben változik meg. A nyomás az egységnyi felületre ható nyomóerő (erő/felület). A nyomóerő Newton második axiómája alapján az időegység alatt bekövetkező impulzusváltozással egyenlő (impulzusváltozás/idő). Az árnyékolt térrészben lévő molekulák száma az összes molekulaszám térfogatarányos része. Az itt lévő molekulák felénél az x tengely irányú átlagos sebesség az A felület irányába mutat, a másik felénél pedig ellenkező irányba. Így a nyomás:

(4.46)

Ebből:

(4.47)

Ha ezt összevetjük a 4.9 egyenlettel, akkor az alábbi eredményt kapjuk:

(4.48)

Egy molekula x tengely irányába eső mozgáskomponensének átlagos energiája:

(4.49)

Ekkor kapjuk:

(4.50)

Ez az eredmény kapcsolatot mutat a molekulák kicsiny energiái és egy makroszkópikusan mérhető érték (hőmérséklet) között. A molekulák esetében ugyanezt az eredményt kaptuk volna akkor is, ha az y vagy z irányú mozgást vesszük alapul. Ez három egymástól független mozgáskomponens, azaz három szabadsági fok. A 4.50 egyenlet általánosan is igaz: egy molekula egy szabadsági fokára átlagosan és időátlagban 1/2 kT energia jut. Ez az ekvipartíció tétele[33] [34] (Boltzmann és Maxwell, 1860).

Az ekvipartíció tétele segítségével is ki lehet számítani az ideális gázok belső energiáját[35] [36] . Egyatomos molekula esetében csak a molekula mozgásával kell számolni; ez három szabadsági fok. Kétatomos molekula esetében a súlyzóhoz hasonlító elrendezésnek forgási szabadsági foka is van, mégpedig két, egymástól független forgástengelyre nézve is; így a szabadsági fokok száma már öt. (Nagyon magas hőmérsékletek esetében már a molekulán belüli rezgést is számításba kell venni, ami első közelítésben egy lineáris oszcillátor, két szabadsági fokkal.) Három- vagy többatomos molekula lehet lineáris elrendezésű (például a szén-dioxid, CO2) vagy nem lineáris (például a víz, H2O). Ha a molekula lineáris, akkor öt szabadsági fokkal rendelkezik közönséges hőmérsékleteken, ha nem lineáris, akkor a forgás is három egymástól független tengelyre vonatkozhat, így a szabadsági fokok száma hat. Általánosan, ha a molekula f szabadsági fokkal rendelkezik, akkor a gáz belső energiája:

(4.51)

A 4.13-4.24 egyenletek segítségével a molekuláris szemlélet szerint is kifejezhetjük a 4.51 egyenletből a fajlagos hőkapacitásokat:

(4.52)

(4.53)

Így az adiabatikus kitevő:

(4.54)

a szabadsági fokok ismeretében egyszerűen számítható, vagy a két fajlagos hőkapacitás ismeretében lehet következtetni a molekulák szabadsági fokainak számára. Az ekvipartíció tétele jól alkalmazható szilárd testekre is [37] [38] . Szilárd testekben a molekulák rezgéseket végezhetnek a tér három irányába, egymástól függetlenül. Ez három lineáris oszcillátor, két-két szabadsági fokkal, tehát a szabadsági fokok száma összesen hat. Szilárd testek fajhőjét a 4.52 egyenlet jól írja le.



[31] Budó Ágoston: Kísérleti fizika I., Tankönykiadó, Budapest, 1978, pp. 417-418

[32] Litz József: Fizika II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2005, pp. 86-88

[33] Budó Ágoston: Kísérleti fizika I., Tankönykiadó, Budapest, 1978, pp. 422-423

[34] Litz József: Fizika II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2005, pp. 88-91

[35] Budó Ágoston: Kísérleti fizika I., Tankönykiadó, Budapest, 1978, pp. 423-425

[36] Litz József: Fizika II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2005, pp. 91-92

[37] Budó Ágoston: Kísérleti fizika I., Tankönykiadó, Budapest, 1978, pp. 423-425

[38] Litz József: Fizika II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2005, pp. 91