Vizsgáljuk meg alaposabban az előbbi parfüm szétterjedésével kapcsolatos példánkat, hogy a diffúzió következtében hogyan terjed a parfüm illata a magasabb koncentrációjú helyről az alacsonyabb koncentrációjú hely felé. Most már a célunk egy matematikai összefüggést levezetése, amely képes leírni ezt a szétterjedési folyamatot. A következőkben a Fischer 1979-es munkájában szereplő megközelítést fogjuk alapvetően követni.

Hogy a diffúziós fluxusra vonatkozó összefüggésünket levezessük, vegyünk példaként két sor molekulát párhuzamosan egymás mellett, ahol a két sor közötti középvonal az x=0, amint az-az 1.6. ábra a részében látszik. Ezen molekulák közül minden egyes véletlenszerűen mozog a hőmérsékletnek (Brown-féle hőmozgásnak) megfelelően. Didaktikai célokból, most csak az egyik irányú komponenst vegyük figyelembe a három dimenziós mozgásból: mozgás jobbra vagy balra az x-tengely mentén. A továbbiakban definiáljuk a részecskék tömegének balra történő mozgását M_l-el, a jobbra történő tömegátadódást M_r-el, és annak a valószínűségét (transzfer ráta per idő), hogy a részecskék az x=0 vonalon áthaladnak, jelöljük k-val, dimenzió szerint [T].

Egy adott δt idő múlva a részecskéknek átlagosan az egyik fele jobbra, a másik fele balra lép amint az 1.6. b és c ábrán látható. Megtekintve az 1.6. ábra alján található hisztogramokat, azt látjuk, hogy ezen véletlen mozgás következtében a maximum koncentráció csökken, míg a részecskéket befoglaló teljes térfogat növekszik (a részecskefelhő szétterjed).

1..6. ábra - A Fick-féle diffúziós modell

Matematikai formában leírva, a részecskék átlagos fluxusa a bal oldali oszlopból a jobb oldaliba k M_l, míg a jobb oldali oszlopból a bal oldaliba -k M_r, ahol a mínusz előjel a kitüntetett irány meghatározására szolgál. Az előbbiek szerint a részecskék nettó fluxusa q_x a következőképpen számítható:

Az előbbi egy dimenziós esetre az M_l és az M_r helyett használjunk koncentrációkat:

ahol, δx az x tengely menti hossz, δy a mélység és a δz a magassága minden egyes oszlopnak.

Fizikailag δx az-az átlagos lépéshossz az x tengely mentén, amit a molekulák δt idő alatt tesznek meg. Egydimenziós esetben azt akarjuk, hogy q_x az x tengelyre merőleges irányban az egységnyi felületen keresztül áramló fluxust jelképezze, így a δy δz szorzatot egységnyinek vesszük.

Következő lépésként nézzük, meg dC/dx véges differencia formában történő leírását.

Az előbbi 1.20. egyenlet a következő kifejezést adja (Ml-Mr)-re.

Figyelembe véve, hogy δx=(x_r-x_l) és 1.21.-et behelyettesítve 1.17.-be a következő adódik.

Az előbbi egyenlet (1.22.) két ismeretlent tartalmaz, k-t és δx-et. Fischer et al. (1979) szerint, mivel q nem függ egy önkényesen felvett δx-től, ezért feltételezhetjük, hogy a k∙(δx)²egy konstans. Ezt az adott helyzetre jellemző konstanst a jövőben diffúziós tényezőnek hívjuk (D). D-t behelyettesítve az 1.22. egyenletbe az egydimenziós diffúziós fluxus egyenletét kapjuk.

Fontos megjegyezni, hogy a diffúziós fluxus egy vektormennyiség, valamint azt, hogy mivel a koncentráció dimenziója [ML^-3], ezért a diffúziós fluxus dimenziójára [ML^-2T^-1]. Hogy az összes anyagáramot (tömeg fluxust) ṁ számítsuk, [MT^-1] mértékegységben, a diffúziós fluxust integrálni kell egy felületen (általában egy mozgásirányra merőleges felületen). Egy dimenziós esetben az ṁszámítása a következő.

ahol A= δy δz.

Az előbbi egydimenziós esetet háromdimenziósra kiterjesztve felírhatjuk a diffúziós fluxus vektort egy pontra, különböző jelölésekkel is.

Azokat a diffúziós folyamatok, amelyek az előbbi összefüggés szerint leírhatók Fick-féle diffúziós folyamatoknak hívjuk, és az 1.27.-es egyenletet pedig Fick-törvénynek.

Hogy megkapjunk egy adott felületen keresztülhaladó összes anyagáramot (ṁ, teljes tömeg fluxust), a q̅-vektor normál komponensét integrálnunk kell a felületen.

ahol,n̅ az A felülethez tartozó normál vektor.

A víz levegő határrétegen keresztüli diffúziós fluxus példája

Az időben átlagolt oxigén profil C(z) egy tó felszínének lamináris alrétegében a következő egyenlettel határozható meg.

ahol, C_sat a vízben az aktuális körülmények közötti telítettségi oxigén koncentráció, és C_l az oxigén koncentrációja a tófenéken, δ a koncentrációra vonatkozó határréteg vastagsága, és z a vertikális irányú változást jelölő változó, lefelé pozitívnak értelmezve.

A tóban jelenlévő turbulencia a felelős a δ határréteg vastagság állandó szinten tartásáért. Keressük meg azt a kifejezést, amelynek alapján a tóba jutó összes tömeg fluxust (anyagáramot) meghatározhatjuk.

A Fick-féle törvény azt mondja nekünk, hogy az oxigén profilban jelentkező gradiens fogja nekünk indukálni az oxigén tóba irányuló diffúzióját. Mivel a koncentráció x és y irányban, csak a z irányban találunk diffúziós fluxust, amely a következő egyenlettel írható le.

A koncentráció gradiens deriváltja tehát szükséges a megoldáshoz, amely jelen esetben a következő.

A tó felszínén a z értéke zérus, így a diffúziós fluxus a következőképpen számítható.

Az q_z dimenziója [M/(L²T)]. Azért, hogy a teljes felszínen keresztüli anyagáramot megkapjuk, a diffúziós fluxust szorozni kell a tó felületével, A_l-el. Ezek alapján a teljes tófelszínen keresztüli oxigénre vonatkozó diffúziós anyagáram megadható.

A C_l˂C_sat esetére, ami általában jellemző, az anyagáram pozitív, tehát a tóba irányuló fluxust jelöl.

A diffúziós tényező előbbi definíciójából (D=k∙(δx)²) látható, hogy a D dimenziója [L²T^-1]. Mivel a Fick-féle törvényt a molekulák Brown-féle hőmozgására írtuk fel, D egy molekuláris diffúziós tényező, amit néha D_m-nek hívunk, hogy erre a speciális tulajdonságára utaljunk. A D tényező értéke, ebben az esetben a molekulák Brown féle hőmozgásának intenzitását (energiáját és mozgásra való szabadságát) hivatott kifejezni. Előbbiek miatt a D függ a fázis milyenségétől (cseppfolyós vagy légnemű), a hőmérséklettől és a molekula mérettől. Híg vizes oldatokra a D általános nagyságrendje 2∙10^-9 m²/s, míg a levegőben diszpergált gázokra 2∙10^-5 m²/s. Látható, hogy 4 nagyságrendi különbség van a két fázis között (10⁴).

Az 1.1. táblázat néhány anyag alacsony sótartalmú (0,5 ppt (parts per trillion) megadja a rendszer billió (10¹²) egységében az illető komponens mennyiségét ugyanazon egységben) vizes oldatának D-tényezőit ismerteti. A táblázatból látható, hogy egy adott hőmérsékleten a diffúziós tényező a molekula méretnek megfelelően (nagy molekula kisebb D) ±10¹–szeres tartományban változik. A táblázat alapján az is nyilvánvaló, hogy a D értéke a hőmérsékletnek megfelelően is változik. Egy 10 ℃-os hőmérsékletváltozás D esetében egy ±2-szeres változást indukál. Ezeket az előbbi megállapításokat úgy összegezhetjük gyakorlatias nézőpontból, hogy a gyorsabb és kevésbé akadályozott mozgás magasabb diffúziós tényezőt eredményez.

forrás:http://www.talknet.de/~alke.spreckelsen/roger/thermo/difcoef.html

Bár a Fick-féle törvény a diffúziós folyamatokra tekintettel ad ugyan egy kifejezést az anyagáramokra vonatkozóan, azonban még mindig szükségünk lenne egy olyan egyenletre, ami a szétdiffundáló tömeg idő szerinti koncentrációváltozásait adja meg a tér egy pontjában. Ebben a fejezetben azt fogjuk meglátni, hogy egy ilyen egyenlet hogyan vezethető le az anyagmegmaradás törvényéből.

A diffúziós egyenlet levezetéséhez vegyünk egy kontrol térfogatot (CV), az 1.7 ábra szerint. Egy adott nyomjelző anyag tömegének (M) időbeli megváltozása ebben a kontrol térfogatban (CV) az anyagmegmaradás törvénye szerint a következőképpen írható le.

Abból a célból, hogy diffúziós fluxust számoljunk a kontrol térfogatba be (in) és onnan ki (out) használjuk a Fick-féle törvényt, amely az x irányba felírva a következőt adja.

Ahol az in és out a kontrol térfogatba belépő és kilépő felszíneken vannak.

1..7. ábra - A differenciális kontrol térfogat

Hogy az összes anyagáramot (ṁ) megkapjuk, a diffúziós fluxust (qx) meg kell szoroznunk a kontrol térfogat (CV) megfelelő felületével (A= δy δz). Az előbbiek szerint, hogy a következő egyenlet szerint kaphatjuk meg a nettó anyagáramot (anyagáram változást) az x irányba, amely tulajdonképpen az 1.32. egyenlet jobb oldalát jelenti.

Hogy folytathassuk, egy módszert kell találnunk aminek a segítségével kifejezhetjük a ∂C/∂x tagot a kilépő, out felületen. Ehhez a feladathoz használjuk a lineáris Taylor sorba fejtést, mint egy fontos lineáris approximációs függvényt. A Taylor sorba fejtés általános formája a következő:

ahol a HOTs feloldása higher order terms, magyarul magasabb-rendű tagok. A ∂C/∂x–et helyettesítve az f(x) helyére a Taylor sorban adódik:

A Taylor sorba fejtés lineáris változatánál elhanyagoljuk a HOTs-t. Az előbbi 1.37. egyenletet behelyettesítve a nettó anyagáramra vonatkozó 1.35.-as egyenletbe és a helyettesítés után is megmaradó in kifejezést elhagyva a következőt kapjuk:

Az y és z irányokban a kontrol térfogaton keresztüláramló nettó fluxusokat hasonlóképpen számítjuk:

Mielőtt a kapott eredményeket a fejezet elején lévő 1.32.-es egyenletbe behelyettesítjük, szintén át kell konvertálnunk az M tömeget koncentrációba, felhasználva, hogy M=C∙δx∙δy∙δz. A koncentrációt (C) és a nettó anyagáramokat () behelyettesítve 1.32-be a háromdimenziós diffúziós egyenletet kapjuk (amely különböző jelölésrendszereket is felhasználva) a következőképpen néz ki.

Az egyenlet a környezetben lejátszódó transzportfolyamatok egyik alapegyenlete.

Egydimenziós esetben az y és z irányú koncentráció gradiens zérus és megkapjuk az egydimenziós diffúziós egyenletet:

Álljunk meg egy pillanatra az 1.42.-es egyenletnél, hogy rámutassunk néhány kulcsfontosságú dologra.

Telített közegben a permanens vízmozgást az alábbi egyenlet írja le:

Ez tehát a matematikában jól ismert Laplace-egyenlet, melynek megoldása mutatja meg a h piezometrikus szint (hidraulikus nyomásszint) nagyságát bárhol egy felszínalatti közeg háromdimenziós áramlási terében.

Amennyiben a felszín alatti közeg anizotróp (fizikai jellemzői a tér kitüntetett irányaiban eltérőek), akkor a szivárgási tényező vektor k_x, k_y és k_z komponensei nem egyenlőek és ekkor a szivárgás alapegyenlete anizotróp, porózus, telített közeg esetére permanens állapotot feltételezve:

ahol k_x, k_y és k_z a szivárgási-tényező tenzor főátlójának elemei.

A nem-permanens szivárgás telített földtani közegre érvényes alapegyenlete:

ahol, S_s a fajlagos tárolási tényező (L^-1]. A fajlagos tárolási tényező az egységnyi nyomásszint-változás hatására a kőzet kompressziója (α) miatt, illetve a pórustérben (n) tárolt víz tágulása (kompresszibilitási tényezője β) miatt felszabaduló vízmennyiség összege (S_s=ρ∙g∙(α+n∙β), ahol g a gravitációs gyorsulás). Példaképpen a tárolási tényező egy zárttükrű vízadóban megmutatja, hogy mekkora vízmennyiség szabadul fel egy egységnyi felületű részén a vízadónak, miközben a nyomásszint egységnyit csökken. A tárolási tényező dimenziónélküli szám, nagysága a 0,005-0,00005 intervallumban szokott változni.

Amennyiben a közeg izotróp és homogén, akkor a matematikában diffúzió-egyenletként ismert formulát kapjuk vissza:

A felszín alatti földtani közeg áramlási terében tehát a h hidraulikus nyomásszintek változása a térben és az időben a k szivárgási tényező, α közeg összenyomhatóság és n hézagtérfogattól, mint közegjellemzőtől, és a folyadék β összenyomhatóságától és ρ sűrűségétől függ (Kovács 2004).