Környezeti transzportfolyamatok
Dr. Gribovszki Zoltán (2011)
Mivel az 1.41. egyenletnek, mint láttuk kiemelt fontossága van a környezetben lejátszódó transzportfolyamatok terén, a továbbiakban részletesen taglaljuk az összefüggés egy dimenziós esetének egyik megoldási módját. Az 1.41. egyenlet sokféle megoldási lehetősége közül a Fischer et al. (1979) által leírt metódust fogjuk követni. A megoldás az un. hasonlósági analógiát követjük, abból a célból, hogy demonstrálhassuk az anyagban korábban megismert dimenzió analízist (1.1.3. fejezet).
Vegyünk egy az egydimenziós probléma érzékeltetése céljából egy keskeny, végtelen csövet (r sugárral) az 1.8. ábra szerint. M tömegű jelzőanyagot injektálunk a cső A=r2π keresztmetszetébe egyenletes eloszlásban az x=0 pontban a t=0 időpillanatban. A jelzőanyag kiinduló időpillanatban vett szélessége infinitezimálisan (végtelenül) kicsi. A megoldást az időbeli változásokra tekintettel, a molekuláris diffúzió folyamatát egyedül figyelembe véve keressük, a jelzőanyag x irányú szétterjedésnek esetére.
Mivel egy egydimenziós (∂C/∂y=0 és ∂C/∂y=0) instacionárius (nempermanens) diffúziós problémánk van, a vezérlő egyenletünk az 1.42., aminek a megoldásához szükségünk van két határ és egy kiindulási feltételre.
Határfeltételek:
Igaz ez a feltétel, hiszen nem lehetséges, hogy bármelyik nyomjelző molekula eléri majd a végtelent (definíció szerint ugyanis a végtelen nem elérhető).
A kiindulási feltétel az, hogy a nyomjelző anyagot a keresztszelvényben egységesen eloszlatva juttatják be egy végtelen kicsiny x irányban értelmezett szélességben. Azért, hogy le tudjunk írni egy ilyen kiindulási feltételt, segítségségül kell hívnunk az ún. Dirac-delta függvényt (δ(x)). A kiindulási feltételünk így a következő lesz:
ahol, a δ(x) mindenhol zérus értékű, kivéve az x=0 pontban, ahol végtelen nagyságú, de úgy hogy az integrálja ebben a pontban −∞-től +∞-ig 1-et ad. Előbbiek alapján az összes bejuttatott anyagmennyiség a következő egyenlettel adható meg:
A továbbiakban, hogy használhassuk a dimenzió analízist meg kell vizsgálnunk minden megoldást befolyásoldó paramétert. Az 1.2. táblázat összegzi azokat a függő és független változókat dimenzióikkal, melyek a megoldásra váró egy dimenziós, diffúziós problémánknál megjelennek.
1..2. táblázat - 1.2. táblázat. Az egy dimenziós csőben lejátszódó diffúziót befolyásoló változók és azok dimenziói
| Változó | Dimenzió | |
|---|---|---|
| Függő változó | C | ML-3 |
Független változók | M/A | ML-2 |
| D | L2T-1 | |
| x | L | |
| t | T |
Az 1.2 táblázat szerint 5 fizikai mennyiségünk (n=5 változónk) van és 3 dimenziónk (r=3 fizikai alapmennyiségünk), ezek alapján a következő két dimenziótlan csoportot képezhetjük.
A dimenzió analízis segítségével a π1=f(π2) függvényt kell meghatároznunk, amely alapján a C-t kifejezhetjük.
ahol, az f egy még ismeretlen függvény π2 argumentummal. Az 1.54. egyenletet hasonlósági megoldásnak hívják, mert C-nek hasonló alakja van x-ben minden t időre (ld. később „A koncentráció profil alakja és az önhasonlóság” alfejezetet). A következő feladatunk, hogy meghatározzuk az f függvény alakját. Mielőtt megtalálnánk formálisan a megoldást, szaladjunk előre egy kicsit és hasonlítsuk össze az 1.54.-es egyenletet az 1.71.-es egyenlet aktuális megoldásával. Az összehasonlítást megtéve láthatjuk, hogy a dimenzióanalízis segítségével milyen messzire juthatunk el egy fizikai probléma megoldásának esetében.
Az f függvényt alapvetően kétféle úton találhatjuk meg.
| • Az első esetben kísérleteket kell végrehajtanunk és a kapott π1 és π2 adatokat koordinátapárként használva a leginkább simuló görbe illesztésével juthatunk el az f függvényhez. |
| • A második lehetőség, hogy az 1.54.-es egyenletet egy differenciálegyenlet megoldásaként használjuk fel és az f függvényt analitikus megoldás alapján határozzuk meg. |
Ezt az utóbbi utat fogjuk követni. A hasonlósági megoldás erőssége abban rejlik, hogy a parciális differenciál egyenletet (PDE) egy ordináris differenciál egyenletté (ODE) alakítja át, ami tulajdonképpen mindegyik parciális differenciálegyenlet megoldási módszer célja.
A hasonlósági megoldás (1.54.) valójában csak egy koordináta transzformáció. Meg kell hívnunk egy új hasonlósági változót az η=x/√(D∙t)-t. Ahhoz, hogy az 1.54.-et be tudjuk helyettesíteni a diffúziós egyenletbe, szükségünk van még az η (éta) két deriváltjára.
Elsőként használjuk a lánc szabályt, a ∂C/∂t számításához.
Az utóbbi két megoldást, vagyis az 1.57. és 1.58. egyenleteket a diffúziós egyenletbe behelyettesítve, egy ordináris differenciálegyenletet kapunk η–ra.
Hogy meg tudjuk oldani az 1.59. egyenletet, a határfeltételeket és a kiindulási feltételt át kell alakítanunk az f függvénynek megfelelően.
Az η–t behelyettesítve a határfeltételekbe a következő adódik.
Új határfeltételek:
A kiindulási feltételekkel hasonlóképpen eljárva, η behelyettesítésével a következőhöz jutunk.
Új kiindulási feltétel:
átrendezve a fenti egyenletet
Az egyenlet bal oldala +∞-t ad ha x˃0 és −∞-t ha x˂0. A jobb oldal mindig zérus, hiszen a √(D∙t) tag mindig zérust ad t=0-ra. Az előbbiek szerin a kiindulási feltétel a következőre redukálódik.
Ezek szerint az eredeti parciális differenciálegyenletünk három feltétele (két határ és egy kiindulási feltétel) az f-re felírt ordináris differenciálegyenlet esetében két határfeltételre redukálódik 1.60. és 1.63. szerint.
Egy másik kényszerként lépbe az M tömeg fix értéken tartása, a tömegmegmaradási egyenlet szerint, amelyet az 1.49. egyenlet ír le. A dx=dη ∙√(D∙t) tagot behelyettesítve az 1.49. egyenletbe egyszerűsítések után kapjuk.
Az 1.59. egyenlet megoldása igényel egy kapcsolt integrálást. Először át kell rendeznünk az egyenletet a következő azonosságot felhasználva.
Az előbbit 1.59.-re felhasználva adódik.
Az előbbi kifejezést (1.66.) egyszer integrálva kapjuk:
Látható, hogy C0=0-át szükséges választani a határfeltételek kielégítéséhez. Válasszunk tehát C0=0-át és értékelve a megoldást, azt kapjuk, hogy az egyenletünk így megfelel a határfeltételeknek (ld. a részletesebb levelezetés Sokolofsky-Jirka 2005 Appendix A) vagyis f(±∞) =0.
C0=0 esetre homogén ordináris differenciálegyenlethez jutunk, amelynek a megoldása könnyen megtalálható. Az 1.67. egyenlet bal oldalának második tagját átrendezve kapjuk.
Mivel szeparálható differenciálegyenletről van szó, az összetartozó f és η tagokat azonos oldalra rendelve adódik.
Mindkét oldalt integrálva kapjuk.
Átrendezve és mindkét oldalt exponenciális hatványra emelve adódik.
Ahhoz, hogy C1-et megtaláljuk, használnunk kell az 1.64.-ben megadott feltételünket. Ez azért szükséges, mivel bevezetünk egy M paramétert és azt szeretnénk, ha a koncentráció görbe alatti integrál visszaadná nekünk az összes bejuttatott tömegünket. Ezt a segédfeltételt (1.64.-et, ∫(-∞)(+∞)f(η) dη=1) felhasználva f-re a következő adódik.
Az integrál megoldásához, integrál táblázatban található azonosságot kellene felhasználnunk, ezért még egy transzformációt kell eszközölnünk a változóknál, hogy az ¼-et eltávolítsuk az exponenciális függvény kitevőjéből. Így bevezetjük a ζ (zéta) változót, amely η-val a következőképpen függ össze.
Az 1.72. egyenletbe behelyettesítve az előző koordináta-transzformációt és C1-re megoldva az egyenletet kapjuk.
Az integrál táblázatban a megfelelő azonosságot megkeresve, C1=1/(2∙√π). Ezt az azonosságot 1.71.-ba visszahelyettesítve kapjuk.
Az f függvényt a korábban kapott hasonlósági megoldásba (1.54.) helyettesítve és az η=x/√(D∙t) transzformációt alkalmazva a C-koncentrációra adódik.
Az előbbi összefüggés a környezetben lejátszódó transzportfolyamatok egyik klasszikus egyenlete, amelyet ezen tananyagban számos helyen fogunk használni. Az egyenlet általánosítása három dimenzióra Fischer et al. (1979) szerint a következő.
A megoldáshoz a változók szeparálásának módszerével jutottak.
Az 1.78.-as egyenlettel megadott pillanatszerű és pontszerű szennyezés esetét vizsgálva keressük meg a maximális koncentráció helyét.
A klasszikus megközelítés egy függvény maximumának megkereséséhez, hogy a derivált függvény zérus helyeit keressük. Sok koncentráció eloszlás esetében egyszerűbb azonban, ha alaposan szemrevételezzük az egyenlet funkcionális formáját. A pillanatszerű-pontszerű szennyezés formája a következő.
A C1 ún. amplifikációs (erősítő) faktor független a helytől. Az exponenciális tagnak negatív kitevője van, ami azt jelenti, hogy a maximum akkor jelentkezik, ha az exponenciális kitevőben zérus van. Innen a maximum koncentráció helye adódik.
Az 1.78.-as egyenletre alkalmazva a kapott eredményt.
A maximális koncentráció, abban a pontban jelentkezik ahol az exponenciális tag zérus, ez pedig az előbbi esetben (1.81.) a következő: x (Cmax)=(0,0,0).
Hasonló analízist alkalmazhatunk más koncentráció megoszlások esetére is. Például vegyük figyelembe, kicsit előrevetítve a hiba függvény (error function) koncentráció megoszlást.
A hiba függvény a [-1,1] tartományban változtatja értékét és az argumentuma (erf zárójeles tag) [-∞,∞] tartományban értelmezett. A maximális koncentráció akkor jelentkezik, mikor az error function értéke -1 (erfc()=-1), a maximális koncentráció ebben a helyzetben a következő:
Az előbbiek alapján tehát a Cmax akkor jelentkezik, ha a hibafüggvény argumentuma -∞. T=0 időpontban a maximális koncentráció minden x˃0 pontban jelentkezik, de t˃0 esetében a maximális koncentráció már csak az x=-∞ pontban jelenik meg.
Az 1.77. egyenlet ábrázolását egy M=1 és D=1/4 esetére az 1.9. ábra mutatja, amelyen jól látható, hogy a kezdeti elméletileg egy pontban tömörülő anyag hogyan oszlik el a térben az idő függvényében, ill. hogy megfordítva a folyamatokat a Gauss-féle eloszlás milyen gyorsan redukálódik a Dirac-delta függvényre.
Az 1.10. ábra az egy dimenziós megoldást mutatja (az 1.78.-es egyenlet) dimenziómentés térben ábrázolva. Összehasonlítva az 1.77.-egyenletet a Gauss-féle normális eloszlás sűrűségfüggvényével kijelenthetjük, hogy az egyenlet ábrázolásával a Gauss féle haraggörbét kapjuk σ szórással, ahol a szórásnégyzet a következő.
Az ön hasonlóság koncepciója az előbbiek alapján most szintén evidensé válik: a koncentráció profil alakja mindig Gauss-i. Dimenziómentes térben ábrázolva az összes profil egy egyszerű alap profilra alakul vissza, így a profilok minden t>0 időre az 1.10. ábra szerinti alakot követik.
1..10. ábra - A pillanatszerű, pontszerű forrás egy dimenziós diffúziójának önazonos megoldása végtelen domainban dimenziómentes formában
A Gauss-féle normális eloszlást arra is tudjuk használni, hogy előrejelezzük a jelzőanyag (vagy szennyezőanyag) mennyiségét egy bizonyos régióban. Az 1.10. ábrát tanulmányozva szembetűnik, hogy a jelzőanyag zöme a horizontális tengelyen -2 és +2 értékek között jelenik meg. A Gaussi normál eloszlásra vonatkozó táblázatok (bármely statisztika könyvben rendelkezésre áll) alapján az előbbi megállapításunkat számszerűvé is tehetjük. Pl. ± σ tartományban a jelzőanyag 64,2%-a található meg, míg a ± 2σ tartományban már az adott anyag 95,4%-át lelhetjük fel. Egy mérnöki ökölszabály tehát a következő, egy diffúziós folyamatokkal szétterjedő vizsgált jelzőanyag (szennyezőanyag) jellemzően egy 4 szélességű régióban oszlik meg, amely régió széle a koncentráció maximumtól ± 2σ távolságra található.
Az egydimenziós pillanatszerű pontszerű forrás megoldása alapján látható, hogy a C/Cmax arány egy egyszerű α (definiálva x = α∙σ) paraméter függvényében megadható. Nézzük meg, hogy az előbbi észrevétel segítségével hogyan számíthatjuk ki a diffúziós tényezőt a koncentráció profil adatokból.
A korábbiakból (1.77. és 1.80. egyenletek) tudjuk, hogy a maximum koncentráció egy dimenziós pillanatszerű, pontszerű forrás esetére megadható C (x,t)=M/(A∙√(4∙π∙D∙t)). Az 1.77. egyenlet átrendezve ezek alapján a következő adódik.
Az előbbi (1.85.-es egyenletbe behelyettesítve x=√(2∙D∙t) és x = α∙σ összefüggéseket kapjuk.
Ebben az egyenletben csak az α paraméter szükséges a C számításához, amely a szórás alapján történik a tömegközépponttól (legnagyobb koncentráció helye) való távolságot így jellemezve. Az előbbi kifejezés nagyon tisztán illusztrálja az önhasonlóságot: a C/Cmax arány mindig ugyanazt az értéket veszi fel egy adott α∙σ–val jellemzett helyen, függetlenül az időtől (t), a beadagolt mennyiségtől (M), vagy a diffúziós tényező (D) értékétől.
Az előbbi összefüggés nagyon hasznos a diffúziós tényező számításához. Nagyon gyakori, hogy nem tudjuk pontosan a beadagolt M értéket (vagy pont ezt akarjuk visszaszámítani), azonban mindig van lehetőségünk normalizálni az egy adott időben mért koncentrációprofil (az 1.9. ábrán látható különböző időpillanatokban) értékét a Cmax(t) felhasználásával. A normalizálást követően válasszunk egy α értéket, mondjuk 1,0-át. Az 1.85. egyenlet alapján kiszámítható, hogy a C/Cmax=0,61 az x=σ helyen. A következő lépés, hogy a kimért koncentrációprofil alapján meghatározzuk azt a helyet, ahol C/Cmax=0,61 és ezzel az x koordinátával meghatározzuk σ–t. Végül felhasználjuk az x=√(2∙D∙t) összefüggést, valamint a t ismert értékét, és ezek alapján becsüljük a D diszperziós tényezőt.