Ugrás a tartalomhoz

Fizikai példatár 4., 4. Elektromosságtan

Csordásné Marton Melinda (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

4.2 Elektrosztatika

4.2 Elektrosztatika

  1. Hányszorosa a két proton között fellépő elektromos taszítóerő a gravitációs vonzóerőnél? A proton tömege: , töltése .

  2. Két, egyenként 30 cm hosszú fonálra egy-egy 20 mg tömegű golyócskát erősítünk, és mindegyiknek ugyanakkora pozitív töltést adunk. Ekkor a fonalak 60°-os szöget zárnak be egymással. Mekkora a golyócskák töltése?

  3. Mekkora egyenlő nagyságú töltések hatnak egymásra 10 cm távolságból 4 N erővel?

  4. Egy nagyságú negatív töltéstől 10 cm-re balra egy nagyságú pozitív töltés, jobbra 20 cm-re egy nagyságú pozitív töltés van. Mekkora és milyen irányú erő hat az egyes töltésekre, ha azok pontszerűek és rögzítettek?

  5. Egyenlő oldalú háromszög csúcsaiban azonos előjelű és nagyságú Q töltések vannak. Mekkora és milyen előjelű töltés van a háromszög szimmetria centrumában, ha mind a négy töltés egyensúlyban van?

  6. Egy 3 cm oldalhosszúságú négyzet három csúcsában három azonos pontszerű töltés található. Határozzuk meg a négyzet negyedik csúcsában az elektromos térerősséget!

    1. ábra

  7. Öt azonos nagyságú negatív elektromos töltés helyezkedik el szimmetrikusan egy kör mentén. Számítsuk ki a térerősséget a kör középpontjában? Mekkora a térerősség a kör középpontjában, ha szimmetrikusan n darab azonos nagyságú negatív töltést helyeztünk el?

  8. A Földet erősségű elektromos mező veszi körül, amelynek iránya a Föld középpontja felé mutat. Hogyan módosul ennek következtében a 0,1 g tömegű golyó szabadesésének a gyorsulása, ha a golyó töltése ?

  9. A Földet 6370 km sugarú gömbnek tekintve határozzuk meg a Föld töltését, ha az elektromos térerősség a Föld felületén, és lefelé irányul. Határozzuk meg a Föld felületének a potenciálját!

  10. Mekkora eredő erő hat a nehézségi erőre merőleges erősségű mezőben a 0,1 g tömegű töltésű testre, és mekkora a test gyorsulása?

  11. Vékony, egyenes, 1 m hosszú szigetelő rúd töltése amely a rúdon hosszában egyenletesen oszlik el. Számoljuk ki az elektromos térerősséget a rúd hossztengelye mentén a rúdtól 0,5 m távolságban!

  12. Homogén elektromos erőtér erővonalai az tengely pozitív irányába mutatnak. Számítsuk mi az erdő fluxust olyan élhosszúságú kocka teljes felületére, amelynek élei párhuzamosak a koordinátarendszer tengelyeivel!

Megoldások

  1. A gravitációs vonzóerő: .

    Az elektromos taszítóerő: .

    .

    Az elektromos taszítóerő lényegesen nagyobb, mint a gravitációs vonzóerő.

  2. A 2. ábra alapján felírható, hogy .

    Mivel így , amely egyenletből a keresett töltés kifejezhető:

    Felhasználtuk, hogy a két töltés távolsága

    2. ábra

  3. nagyságú töltések hatnak egymásra 10 cm távolságból 4 N erővel.

  4. A feladat megoldását a 3. ábrán vázoltuk:

    3. ábra

  5. A Coulomb törvény felhasználásával írjuk fel a töltésekre ható erőket:

    A töltésre ható erő: és a töltés felé mutat.

    A töltésre ható erő: és a töltés felé mutat.

    A töltésre ható erő: és a töltés felé mutat.

  6. A háromszög szimmetria centrumába nagyságú a csúcsokban lévő töltésekkel ellentétes előjelű töltést kell helyezni.

  7. Számoljuk ki a térerősséget a négyzet negyedik csúcsában:

    és . A vektorábra felhasználásával a negyedik csúcsban a térerősség ezeknek a vektoroknak az eredőjeként határozható meg:

    és a 4. ábra szerint a függőlegessel 45°-ot zár be és „kifelé” mutat.

    4. ábra

  8. A térerősség a kör középpontjában minden szimmetrikus töltéselhelyezésnél nulla.

  9. A töltésre a nehézségi erőn kívül nagyságú a Föld középpontja felé mutató erő hat. Így a szabadon eső töltés gyorsulása -tel nő.

  10. Az elektromos térerősség a Föld felületén: .

    A Föld felületének potenciálja:

  11. A töltött részecskére nagyságú, vízszintes irányú erő hat. A részecskére függőlegesen az nagyságú nehézségi erő hat- A részecskét a két erő eredője gyorsítja: . Az erő a függőlegessel 45°-os szöget zár be. A részecske gyorsulása , a gyorsulás iránya az eredő erő irányával egyezik meg. (Lásd 5. ábra)

    5. ábra

  12. A rúdon a töltéssűrűség . A rúd egy darabjára nagyságú töltés esik, amely töltés térerősséget hoz létre P pontban. (Lásd 6. ábra)

    6. ábra

  13. Az elektromos fluxus definíció szerint a felületintegrállal határozható meg. Jelen példában, a kocka esetében, a fluxus könnyebben meghatározható.

    Szemléletesen ezt úgy képzelhetjük el, hogy a dA vektor a kocka egy lapjának a területével egyezik meg, és iránya merőleges a kocka lapjára, és mindig kifelé mutat. Ekkor a kocka egy lapjára számított fluxus: skaláris szorzattal határozható meg. A kocka teljes felületére a fluxust úgy adhatjuk meg, hogy összegezzük a kocka lapjaira számított fluxust. Mivel az oldallapok esetében merőleges az térerősség vektorra, ezért az oldallapokra a fluxusok összege zérus.

    A kocka hátsó lapjára: .

    A kocka első lapjára: .

    A fluxusok a kocka hat lapjára: .

    7. ábra

4.2.1 Kondenzátorok

  1. Egy síkkondenzátor lemezei 25 cm2 területűek, távolságuk 8 cm, a lemezen 36,1 kV feszültség van. Mennyi töltés van mindegyik lemezen?

  2. határozzuk meg, hogy mekkora lesz az eredő kapacitás, ha azonos kapacitású kondenzátorokat

    a) sorosan,

    b) párhuzamosan kötjük!

  3. Két azonos kapacitású kondenzátor egyikét feltöltjük 100 V-ra, a másikat 220 V-ra. Ezután párhuzamosan kötjük őket először azonos, másodszor ellentétes pólusaikkal.

    a) Mekkora lesz a kondenzátorok kapacitása?

    b) Mekkora lesz a kondenzátorok feszültsége?

  4. Két kondenzátor közül az egyiket -ra, a másikat -ra töltjük. A két kondenzátort párhuzamosan kötve feszültséget mérhetünk a kondenzátorokon. Mennyi a kondenzátorok kapacitásának az aránya?

  5. Egy síkkondenzátor kapacitása 600 pF. Hogyan változik meg ez, ha a lemezek közé párhuzamosan egy rézlemezt helyezünk, amelynek vastagsága a lemezek távolságának az 1/4-ed része?

  6. Mekkora lesz a 8. ábrán láthatói négy egyforma kapacitásból álló rendszer eredő kapacitása?

    8. ábra

  7. Mekkora lesz a 9. ábrán láthatói négy egyforma kapacitásból álló rendszer eredő kapacitása?

    9. ábra

  8. A 10. ábrán látható kondenzátorok mindegyike 1 kapacitású. Mekkora a rendszer eredő kapacitása?

    10. ábra

  9. Négy egyenlő kapacitású kondenzátor az 5. ábra szerint van egy 9 V-os telephez kapcsolva. A következő két műveletet hajtjuk végre:

    1. A II. kapcsoló nyitott állása mellett zárjuk az I. kapcsolót, utána nyitjuk az I-et és zárjuk a II-at.

    2. A II. kapcsolót zárjuk, majd zárjuk az I-et is, utána az I-et nyitjuk. Mekkora az egyes kondenzátorok feszültsége az a) és b) esetben?

    11. ábra

  10. A kapacitású kondenzátort 20 V-ra töltjük fel. Ezután párhuzamosan kapcsoljuk egy feltöltetlen kondenzátorral, és azt tapasztaljuk, hogy a feszültség 2 V-ra csökken. Mekkora a kapacitása az eredetileg feltöltetlen kondenzátornak?

  11. Az kapacitású kondenzátor átütési feszültsége 200 V, a -os kondenzátoré 100 V. Mekkora feszültséget kapcsolhatunk a kondenzátorokra, ha azokat sorosan, illetve párhuzamosan kötjük?

  12. Egy és egy kapacitású kondenzátorokat sorba kapcsoljuk. Az egyik szabad véget leföldeljük, a másikra töltést viszünk. Mekkora a szabad vég és föld közötti feszültség?

  13. Egy -os kondenzátort, amelynek feszültsége 220 V párhuzamosan kötünk egy 110 V feszültségű -os kondenzátorral. Mekkora lesz a közös feszültség?

  14. Mekkora a kapacitása az A és B pont között a kapacitású azonos nagyságú kondenzátorokból álló végtelen hosszúságú láncnak?

    12. ábra

Megoldások

  1. A kondenzátor kapacitása: .

    A kondenzátor töltése:

  2. Soros kapcsolás esetén: .

    Párhuzamos kapcsolás esetén:

  3. Kondenzátorok párhuzamos kapcsolásakor az eredő kapacitás az egyes kondenzátorok kapacitásának az összege: .

    Az első kondenzátor töltése:

    A második kondenzátor töltése: .

    Tekintsük azt az esetet, amikor a kondenzátorokat azonos pólusokkal kötjük össze. Mivel a kondenzátorokat párhuzamosan kapcsoltuk a rendszer össztöltése az egyes kondenzátorokra eső töltések összege: . ( nem mértékegység, hanem a kapacitás jele!)

    Párhuzamos kapcsolás estén a kondenzátorok feszültsége megegyezik.

    Tekintsük azt az esetet, amikor a kondenzátorokat ellentétes pólusokkal kötjük össze. Mivel a kondenzátorokat párhuzamosan kapcsoltuk a rendszer össztöltése az egyes kondenzátorokra eső töltések különbsége: . ( nem mértékegység, hanem a kapacitás jele!)

    Párhuzamos kapcsolás estén a kondenzátorok feszültsége megegyezik.

  4. Kondenzátorok párhuzamos kapcsolásakor az eredő kapacitás az egyes kondenzátorok kapacitásának az összege: .

    Az első kondenzátor töltése: .

    A második kondenzátor töltése:

    Mivel a kondenzátorokat párhuzamosan kapcsoltuk a rendszer össztöltése az egyes kondenzátorokra eső töltések összege: .

    Párhuzamos kapcsolás estén a kondenzátorok feszültsége megegyezik.

  5. A kondenzátor kapacitása 800 pF lesz.

  6. Az erdő kapacitás: .

  7. Az erdő kapacitás: .

  8. Az erdő kapacitás: .

  9. a) A két szélső kondenzátor mindegyikén 3 V feszültség lesz, a középsőkön 1,5 V.

    b) A két szélső kondenzátor mindegyikén V feszültség lesz, a középsőkön .

  10. A feladatban szereplő kondenzátor töltése A töltetlen kondenzátort párhuzamosan kapcsoljuk vele, ezért a rendszer töltése . Ugyancsak a párhuzamos kapcsolás miatt mindkét kondenzátornak ugyanakkora 2 V a feszültsége. A rendszer eredő kapacitása Párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitása az egyes kapacitások összege, ezért az ismeretlen kondenzátor kapacitása: .

  11. Soros kapcsolás esetén:

    A feladatban megadott kondenzátorok töltése és . Soros kapcsolás esetén mindkét kondenzátorra ugyanakkora töltés esik, ezért mindkét kondenzátorra csak a kisebb töltés a eshet. Ezzel a töltéssel az első kondenzátor feszültsége a másik kondenzátorra eső feszültség pedig . Mivel soros kapcsolás esetén a feszültségek összeadódnak, így a rendszerre 250 V feszültség kapcsolható.

    Párhuzamos kapcsolás esetén mindkét kondenzátorra ugyanakkora feszültség esik, tehát 100 V kapcsolható rájuk.

  12. A szabad vég és a föld közötti feszültség U=2,57 V.

  13. A közös feszültség 157,14 V.

  14. 13. ábra

    A kondenzátorok megadott kapcsolás a 13. ábrán látható módon helyettesíthető, ahol jelöli a végtelen hosszúságú kondenzátorokból álló lánc eredő kapacitását. A sorosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitását jelöljük -gyel, akkor:

    A rendszer eredő kapacitása:

    Az egyenletet rendezve a egyenletet kapjuk, amelynek helyes megoldása: