Ugrás a tartalomhoz

Fotogrammetria 10., Tájékozások

Dr. Jancsó Tamás (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

10.4 Külső tájékozás két lépésben

10.4 Külső tájékozás két lépésben

A képek vagy képpár külső tájékozása alatt azt értjük, hogy megadjuk a képsík és a hozzátartozó vetítési centrum helyzetét a tárgy-koordinátarendszerben (ez legtöbbször a geodéziai koordinátarendszert jelenti). A tájékozások utáni kiértékelést, térképezést általában sztereoszkópikus szemléléssel végezzük, vagyis egyszerre csak egy sztereoképpárral dolgozunk. Ahhoz, hogy ezt a kiértékelési módot megvalósíthassuk, egy sztereoképpár külső tájékozását két egymásra épülő tájékozásra bontva is megtehetjük. Első lépésben létrehozzuk a térmodellt egy olyan térbeli koordinátarendszerben (modell koordinátarendszerben), mely még nem kapcsolódik a tárgy koordinátarendszerhez. Ehhez szükséges a relatív tájékozás elvégzése. Ezután az abszolút tájékozás során a modellt áttranszformáljuk a tárgy (vagy másképpen geodéziai) koordinátarendszerbe. A következő alfejezetek ezt a két tájékozást tárgyalják.

10.4.1 Relatív tájékozás

A relatív tájékozás célja a térmodell előállítása. Ehhez a sztereo képpárt alkotó képek felvételkori egymáshoz viszonyított kölcsönös helyzetét leíró paramétereket kell kiszámítani egy tetszőlegesen megválasztott térbeli koordinátarendszerben. Ha ezt nem tennénk meg, akkor a képpár sztereoszkópikus szemlélése nem lenne lehetséges, hiszen az összetartozó pontok vetítési sugarai nem lennének egy síkban. Az így megválasztott koordinátarendszert nevezzük modell koordinátarendszernek. Ennek kezdőpontja a bal képhez tartozó vetítési középpont lesz. A modell koordinátarendszer tengelyeinek iránya az analitikus és digitális fotogrammetriában kétféle lehet. Az első esetben a tengely iránya megegyezik a bal kép kamera tengelyével. Az és tengelyek iránya pedig a bal kép koordinátarendszerének tengelyeivel párhuzamos. A második esetben az tengely a jobboldali vetítési középponton megy keresztül, az és tengelyek erre merőlegesek (10-10. ábra).

10-10. ábra Modell koordinátarendszer

A két koordinátarendszertől függően két különböző paraméteregyüttes írja le a kölcsönös helyzetet. Vagyis, alapvetően kétféle relatív tájékozást különböztetünk meg. Az egyik esetben csak a jobboldali kép vetítési centrumának helyét számítjuk ki egy előre megadott érték mellett az összekötő bázis komponenseinek megadásával, illetve a jobb kép forgatási szögeit számítjuk ki ( ) a normál helyzetben lévő ( ) bal képhez képest. Ezt a tájékozási módot hozzátájékozásnak hívjuk. A második esetben mindkét képet forgatjuk szögekkel egymáshoz képest, illetve 5. paraméterként a két kép közötti forgatási szögek különbségét számoljuk még ki és ezt a jobb oldali képhez rendeljük ( ). (10-10. ábra). Ezt az esetet nevezzük kölcsönös tájékozásnak. A továbbiakban ennek részleteit fogjuk tárgyalni.

Egy képpár relatív tájékozása a következő lépésekből áll:

  1. Közös pontok mérése

  2. Transzformációs paraméterek kiszámítása

  3. Kapott középhibák elemzése

Tekintsük át ezeket a lépéseket részletesebben.

10.4.1.1 Közös pontok mérése relatív tájékozáshoz

Relatív tájékozáskor a két kép kölcsönös helyzetét akkor számítjuk ki helyesen, ha az összetartozó pontok (homológ pontpár) vetítési sugarai metszik egymást. Ezt a feltételt komplanár feltételnek hívjuk, melynek minden pontpárra teljesülnie kell. A „komplanár” szó jelentése „egy síkban lévő”, vagyis a komplanár feltétellel arra utalunk, hogy a vetítési sugarak egy közös síkon metszik egymást.

10-11. ábra Komplanár feltétel

Ahhoz, hogy minden összetartozó pontpárra teljesüljön a metszési feltétel, addig kell forgatni a képeket a térben egymáshoz képest, amíg az összetartozó vetítési sugarak nem metszik egymást. A képek forgatási paramétereit ki lehet számolni 5 összetartozó pont mérése alapján. A gyakorlatban legalább 6 pontot mérünk, melyeket igyekszünk a közös képterület (modell) szélein mérni (kinézetre olyan az elrendezés, mint a hatos a dobókockán). Ezt az elrendezést Otto von Gruber javasolta és az így mért pontokat Gruber-pontoknak is nevezzük (10-12. ábra).

10-12. ábra Gruber pontok elhelyezkedése

A Gruber-pontok mérésének sorrendje tetszőleges lehet, mivel a tájékozási elemek kiszámítása csak az utolsó mérés után történik meg. A relatív tájékozás nem lesz egyértelmű, ha a tájékozási pontok a vetítési centrumokkal együtt egy henger felületén vannak (10-13. ábra). A gyakorlatban ez ritkán fordul elő (hegyvidéki területen völgyirányú repülések esetén), de ennek a helyzetnek a megközelítése is már nagymértékben hatással lehet a tájékozás pontosságára.

10-13. ábra Veszélyes henger (Engler P. 2007)

10.4.1.2 Relatív tájékozás paramétereinek kiszámítása

A 10-10. ábrán látható, hogy a komplanár feltétel teljesüléséhez az vektoroknak kell egy síkban lenniük. Ennek feltételi egyenlete a következő (Lobanov és tsai 1987):

10-5. egyenlet Komplanár feltétel megadása vektorokkal

A 10-5. egyenlet egy determinánsként is felírható:

10-6. egyenlet Komplanár feltétel felírása determináns segítségével

A determinánst kifejtve a kiegyenlítő számítások alapját képező feltételi egyenlethez jutunk:

10-7. egyenlet Feltételi egyenlet a relatív tájékozáshoz

A 10-6. és 10-7. egyenletekben szereplő koordinátákat úgy kapjuk meg, hogy a képpontok képkoordinátáit ( ) átszámítjuk a modell koordinátarendszerbe ( ) Az átszámításhoz a relatív tájékozás paramétereit, mint forgatási szögeket használjuk fel, forgatási mátrixokba rendezve őket (10-10. ábra, 10-8. és 10-9. egyenletek).

10-8. egyenlet Bal képpont átszámítása a modell koordinátarendszerbe

10-9. egyenlet Jobb képpont átszámítása a modell koordinátarendszerbe

A bal és jobboldali képponthoz tartozó forgatási mátrixokat mutatja a 10-10. és a 10-11. egyenlet.

10-10. egyenlet Forgatási mátrix a bal képen

10-11. egyenlet Forgatási mátrix a jobb képen

A 10-8., 10-9., 10-10., 10-11. egyenleteket behelyettesítve a 10-7. egyenletbe egy nem-lineáris egyenletet kapunk az öt forgatási paraméterre ( ) nézve (10-12. egyenlet), melyet minden mért Gruber-pontra felírhatunk.

10-12. egyenlet Feltételi egyenlet behelyettesítés után

A felírt egyenletrendszer közvetlenül nem oldható meg, csak Taylor-sorba fejtés után. Tételezzük fel, hogy közelítően ismerjük a meghatározandó paramétereket:. Keressünk a közelítő értékek javításait ( ). Első lépésben a 10-12. egyenletbe behelyettesítjük az ismeretlenek előzetes értékeit. Ezután a 10-12. egyenletet parciálisan deriváljuk mindegyik ismeretlen szerint, (a parciális deriváltak részletes kifejtésétől terjedelmi okok miatt eltekintünk), ami után a 10-7. egyenlet helyett a 10-13. egyenlethez jutunk.

10-13. egyenlet Komplanár egyenlet parciális deriváltakkal felírva

Jelölések:

: komplanár egyenlet kiszámítva az ismeretlenek közelítő értékei szerint.

: komplanár egyenlet parciális szerinti deriváltja. A többi derivált analóg módon adódik.

Tételezzük fel, hogy a relatív tájékozást 6 pont mérésével valósítjuk meg. Ekkor a felírható egyenletek száma eggyel több lesz (6), mint az ismeretlenek száma (5). Az egyenletrendszer megoldásához a legkisebb négyzetek módszere szerinti kiegyenlítést alkalmazzuk. Ehhez első lépésként írjuk fel a javítási egyenletrendszert felhasználva a 10-13. egyenletet.

10-14. egyenlet Javítási egyenletrendszer

Jelölések:

: parciális deriváltak.

: javítások a ismeretlenek közelítő értékeihez.

: tisztatag, a komplanár egyenlet értéke a közelítő értékekkel számolva - .

: javítás.

Írjuk fel és oldjuk meg x-re az egyenletrendszert mátrix algebrát alkalmazva (10-15. és 10-16. egyenletek).

10-15. egyenlet Javítási egyenletrendszer tagjai mátrix alakban felírva

10-16. egyenlet Javítási egyenletrendszer megoldása x-re

A megoldás levezetése során feltételezzük, hogy minden mérésnek azonos a súlya és eggyel egyenlő, ami azt jelenti, hogy a levezetésben a P súlymátrix elhagyható.

Az oszlopvektorban kapott megoldásokat hozzá kell adnunk az ismeretlenek közelítő értékeihez és meg kell ismételnünk a számítási folyamatot. Minden egyes lépés, iteráció végén ismételten elvégezzük az ismeretlenek pontosítását, más szóval az előzőleg pontosított értékeket a következő iterációban tovább pontosítjuk. Ezt a folyamatot mindaddig végezzük, amíg az ismeretlenek értékes tizedes jegyben már nem változnak. Végeredményül az oszlopvektorban megkapjuk a relatív tájékozás kiegyenlítéssel pontosított értékeit.

10.4.1.3 Kapott középhibák elemzése relatív tájékozás után

A kiegyenlítés végén a oszlopvektorban kapott javítások (10-14. egyenlet) segítségével kiszámíthatjuk az egységsúlyú mérés középhibáját.

10-17. egyenlet Egységsúlyú mérés középhibája

Ezután kiszámíthatjuk mindegyik meghatározott paraméterhez tartozó középhibákat. Ehhez felhasználjuk a megoldás levezetésében (10-16. egyenlet) szereplő mátrix átlós elemeit, valamint az egységsúlyú mérés középhibáját (10-18. egyenlet).

10-18. egyenlet Paraméterekhez tartozó képhibák

Relatív tájékozás elvégzése után az összetartozó vetítési sugarak teoretikusan metszik egymást, de a mérési hibák miatt ez nem teljesül maradéktalanul. A metsződési hiba kiszámításához át kell transzformálni mind a két képsíkon a mért pontok koordinátáit normál helyzetű képsíkra. Ehhez alkalmazni kell a 10-19. képletet, melyben a forgatási mátrix elemeit a kiegyenlítés végén kapott paraméterekből számítjuk a 10-10. és 10-11. egyenletek szerint.

10-19. egyenlet Képpont átszámítása normál helyzetű képsíkra

Ezután a két képkoordináta különbségeként számíthatjuk a Δ maradék haránt parallaxist, melynek értéke nem haladhatja meg a várható képkoordináta mérés hibájának a háromszorosát (10-20. egyenlet). Ellenkező esetben újra kell mérni a Gruber pontokat (kezdve a legnagyobb hibát tartalmazó ponttal) mindaddig, amíg a maradék harántparallaxisok étéke elfogadható nem lesz.

10-20. egyenlet Maradék harántparallaxis számítása

A 10-14. ábra egy relatív tájékozás jegyzőkönyvét mutatja, melyben a py mutatja a maradék harántparallaxisok értékeit.

10-14. ábra Példa relatív tájékozásra

10.4.2 Abszolút tájékozás

Az abszolút tájékozás közvetlenül a relatív tájékozásra épül és két térbeli koordinátarendszer közötti transzformációt ír le. A modell- és a tárgy koordinátarendszer (ez általában a geodéziai koordinátarendszert jelenti) között kell kiszámolni a transzformációs paramétereket. Matematikai modellként erre a célra egy 7 paraméteres térbeli hasonlósági transzformációt (térbeli Helmert transzformációt) használunk (Albertz, Kreiling 1989).

Ennek kiinduló egyenlete a következő:

10-21. egyenlet A 7 paraméteres térbeli hasonlósági transzformáció alapképlete

Jelölések:

: a terepi pont geodéziai koordinátái.

: méretarány tényező.

: forgatási mátrix, melyet a forgatási szögekből képzett irány koszinuszok alkotnak.

: a bal képhez tartozó vetítési centrum geodéziai koordinátái.

: a terepi pont modell koordinátái.

A transzformációs állandók ( ) kiszámításához közös pontokra van szükségünk, melyeket illesztőpontoknak nevezzük. Ezeknek az illesztőpontoknak a geodéziai koordinátái ismertek. Feladatunk e pontok sztereoszkópikus mérése a modellen. A számítási folyamat a mért pontok modell koordinátáinak kiszámításával kezdődik. A transzformációs állandók kiszámítása kiegyenlítéssel történik, bár minimálisan a feladat megoldható 2 vízszintes és 3 magassági illesztőponttal is. A gyakorlatban a minimális feltételnél több illesztő pontot vonunk be a kiegyenlítésbe. A térbeli hasonlósági transzformáció, mint matematikai modell lehetőséget ad arra, hogy olyan illesztő pontokat is felhasználjunk, melyeknek nem ismert mindhárom koordinátája.

A 10-21. egyenletet megvizsgálva megállapítható, hogy az egyenlet az ismeretlenekre nézve nem lineáris. A feladatot, hasonlóan a relatív tájékozásnál alkalmazott módszerhez, fokozatos közelítéssel oldjuk meg az ismeretlenek előzetes értékeiből kiindulva. Létezik olyan megoldási módszer is, ahol nincs szükség kezdő értékek megadására és iterációs folyamatra, de ennek leírása terjedelmi okokból itt nem lehetséges (Závoti, Jancsó 2006).

Tekintsük át röviden a fokozatos közelítéssel végzett kiegyenlítés menetét 3 teljes illesztőpont esetén. Első lépésként írjuk fel a 10-21. egyenlet parciális deriválása után előállítható 9 egyenletből áll javítási egyenletrendszert mátrix alakban: (10-22. egyenlet).

10-22. egyenlet Javítási egyenletrendszer térbeli Helmert transzformációnál 3 pont esetén

Jelölések:

: parciális deriváltak, pl. , vagyis a 10-21. egyenletrendszerből az első illesztő ponthoz tartozó egyenlet parciális deriváltja szerint. Analóg módon adódik a többi parciális derivált is.

: javítások a ismeretlenek közelítő értékeihez.

: tisztatag, a számított és az adott geodéziai koordináták különbsége. A 10-21. egyenletből számított geodéziai koordináta az ismeretlenek közelítő értékeivel számolva adódik.

: javítás.

A felírt egyenletrendszer megoldása -re a 10-16. levezetés szerint adódik. Az oszlopvektorban kapott megoldásokat hozzá kell adnunk az ismeretlenek közelítő értékeihez és meg kell ismételnünk a számítási folyamatot. Minden egyes lépés, iteráció végén ismételten elvégezzük mind a hét paraméter pontosítását, más szóval az előzőleg pontosított tájékozási elemeket a következő iterációban tovább pontosítjuk. Ezt a folyamatot mindaddig végezzük, amíg az ismeretlenek értékes tizedes jegyben már nem változnak. Végeredményül az oszlopvektorban megkapjuk a térbeli Helmert transzformáció (abszolút tájékozás) kiegyenlítéssel pontosított értékeit.

Ezután számítható a súgyegység középhiba (10-23. egyenlet) és ennek, valamint a mátrix átlós elemeinek felhasználásával az ismeretlenekhez tartozó középhibák is számíthatók (10-24. egyenlet).

10-23. egyenlet Súgyegység középhiba térbeli Helmert transzformációnál 3 közös pont esetén

10-24. egyenlet Abszolút tájékozás paramétereinek középhibái kiegyenlítés után