Ugrás a tartalomhoz

Fotogrammetria 2., A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai

Dr. Engler Péter (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

2.2 A fotogrammetria geometriai alapjai

2.2 A fotogrammetria geometriai alapjai

A fénykép geometriai értelemben a leképezett tárgy pontszerűnek tekintett vetítési középpont segítségével létrehozott centrális vetülete. A kép egyes pontjait a tárgypontra és a vetítési középpontra illeszkedő vetítési sugár metszi ki a képsíkból. A vetítési sugarak összessége a képalkotó sugárnyaláb. Az esetben, ha a vetítési középpont a tárgy (terep) és a képsík között helyezkedik el (ami a felvételek elkészítésénél kizárólagos eset) geometriai értelemben negatív kép keletkezik. Geometriai értelemben pozitív képről akkor beszélünk, ha a képsík a vetítési középpont és a tárgysík között van (2-1. ábra). A geometriailag pozitív állású képet a levezetések könnyebb megértése érdekében használjuk.

2-1. ábra Centrális vetítés

A vetítés a vetített alakzat méretes tulajdonságait megváltoztatja, torzítja. Egy fényképről csak akkor tudunk méreteket lemérni, ha ismerjük a vetítés tulajdonságait, a geometriai egyértelműség kritériumait. Ezeket az ismereteket a projektív geometria foglalja össze. Törvényei alapján szerkesztéssel és számítással egyaránt meghatározható, hogy az adott térbeli alakzat valamely pontjának mely pont felel meg az alakzat centrális vetítésű képén [6.].

2.2.1 A projektív geometria alapelemei, alapfogalmai

A síkbeli és térbeli alakzatok építőelemei a pont, az egyenes és a sík. Ezek a geometriai térelemek. Síkbeli alakzatokat csak a pont és az egyenes, térbeli alakzatokat, testeket pedig mindhárom térelem alkotja. A projektív geometria alapvető eleme a pont, hiszen az egyenest, a síkot és a teret is végső soron a pontok alkotják.

Ha azonos térelemeket (pl. pontokat) valamilyen kikötés szerint egymás mellé rendelünk, akkor alapalakzatokat alkotnak.

A pont alapalakzatai a pontsor, pontmező és a ponthalmaz. Ha a pontot egy irányban mozgatjuk, akkor a végtelen számú pont egy egyenest, azaz pontsort alkot. Ha a pont mozgásának lehetőségét két tetszőleges irányban megengedjük, akkor a pontok egy síkot, azaz egy pontmezőt, ha három irányban mozoghat, akkor a térbeli testet, azaz ponthalmazt alkotnak.

Ha az egyenest egy tetszőleges pontja körül a síkban elforgatjuk, az egyenesek egy sugársort alkotnak. Ha azonban a tetszőleges pontja körül térben is forgatjuk, akkor egy sugárnyalábot kapunk. Az egyenes kétirányú tetszőleges mozgását a síkon megengedjük, sugármezőt kapunk. Az egyenes háromirányú térbeli mozgása sugárhalmazt (sugárteret) alkot. A síkban fekvő pontok és egyenesek együttesen alkotják a síkrendszert.

Ha egy síkot egy tetszőleges egyese körül elforgatunk, síksort, ha egy tetszőleges pontja körül kétirányú forgást engedélyezünk síknyalábot kapunk. A sík tetszőleges háromirányú mozgása alkotja a síkhalmazt (síkteret).

A mozgást úgy is tekinthetjük, hogy az azonos térelemeket egy másik térelemre (pont, vagy egyenes) sorozatosan illesztjük, azaz sorozzuk. Azt az elemet, amire a végtelen számú sorozott elem illeszkedik, az alapalakzat tartójának vagy sorozójának nevezzük.

A térelemek mozgásának a tartójukon egy-, két- vagy háromirányú mozgást engedélyeztünk. A térelemek mozgásának szabadságfokát a geometriában dimenziónak nevezzük. Ez szerint egydimenziós (másképpen elsőfokú) alapalakzat a pontsor, a sugársor és a síksor, kétdimenziós (másképpen másodfokú) alapalakzat a pontmező, a sugármező, a sugárnyaláb és a síknyaláb, háromdimenziós (másképpen harmadfokú) alapalakzat a ponthalmaz, a sugárhalmaz és a síkhalmaz.

A fénykép geometriai szempontból másodfokú alapalakzat és ugyancsak másodfokú alapalakzat a képalkotó sugárnyaláb is.

A projektív geometriában, általában azonos dimenziójú alapalakzatok között teremtünk kapcsolatot. Ezért beszélünk azonos nemű (pl. két pontsor) és különnemű (pl. pontsor és sugársor), de azonos dimenziójú, fokú alapalakzatokról.

Ha két azonos fokú, de különnemű alapalakzat között illesztéssel teremtünk kapcsolatot, perspektivitásról beszélünk. Azt is mondhatjuk, hogy a két különnemű alakzat perspektív helyzetben van. Ilyen perspektív helyzet (2-2. ábra) hozható létre egy pontsor és egy sugársor, egy pontsor és egy síksor, egy sugársor és egy síksor, egy pontmező és egy sugárnyaláb, egy sugármező és egy síknyaláb között.

2-2. ábra Perspektív helyzet

Perspektív kapcsolatot csak az első- és másodfokú alapalakzatok között teremthetünk, mert a harmadfokú alapalakzatok esetében értelmét veszti az illeszkedés.

Fontos alapfogalom a kölcsönösen egyértelmű geometriai vonatkozás. Amikor két alapalakzat között olyan kapcsolatot teremtünk, ahol az egyik alapalakzat minden egyes elemének a másik alakzatban egy, és csakis egy elem felel meg, és viszont, akkor kölcsönösen egyértelmű vonatkozásról beszélünk. Mivel a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésnél a két kapcsolatban lévő alakzat elemeinek száma meg kell, hogy egyezzen, ezért csak azonos dimenziójú alakzat között állhat fenn.

2.2.1.1 A vetítés

A vetítés a projektív geometria legfontosabb tétele. Mivel a fénykép is vetítéssel készül, ezért a vetítés törvényeinek pontos ismerete nemcsak a projektív geometria, hanem a fotogrammetria legfontosabb feladata is.

Vetítéskor a vetítendő alakzat minden egyes elemét összekötjük a tér egy tetszőleges elemével, majd a keletkezett alapalakzatot egy harmadik alapalakzattal elmetsszük. Ez az általános definíció magában foglalja a vetítés minden fajtáját. A fotogrammetriában inkább a következő meghatározást használjuk: vetítéskor a vetítendő alakzat (tárgysík vagy tárgytér) minden egyes pontját összekötjük a tér egy tetszőleges pontjával - a vetítés centrumával - és a keletkezett sugárnyalábot elmetsszük egy síkkal (képsík) (2-3. ábra).

2-3. ábra Vetítés két sík között

Kölcsönösen egyértelmű vetítéskor a három azonos dimenziójú alakzat (a vetítendő, a vetítő és a vetített) között teremtünk vonatkozást, ahol kettő (vetítendő, vetített) egynemű és egy (vetítő) különnemű.

Fontos megjegyezni, hogy a fényképezéskor a lefényképezett tárgy, objektum jellemezően térbeli alakzat (tárgytér). Ebből adódik, hogy a valóságban a kép és a tárgytér között nem lesz kölcsönösen egyértelmű a megfeleltetés, egy kép csak síkbeli meghatározásra alkalmas. A vetítés pillanatában fennálló helyzetet vetítési állapotnak nevezzük. A vetítés tehát egy illeszkedésből és egy metszésből áll.

A vetítésben résztvevő három alapalakzat egy vetítési rendszert alkot. A vetítéssel teremtett vonatkozás csak akkor lesz kölcsönösen egyértelmű, ha mindhárom alapalakzat azonos dimenziójú. Ez alapján a projektív geometriában elsőfokú alapalakzatok között egy, másodfokú alapalakzatok között egy, kölcsönösen egyértelmű vetítési rendszer hozható létre:

- egy egyenes pontjait egy sugársorral egy másik egyenesre vetítünk (2-4. ábra)

- egy sugársort egy síksorral egy másik sugársorra vetítünk (2-4. ábra)

- egy síkrendszer pontjait egy sugárnyalábbal egy másik síkrendszerre vetítünk (2-3. ábra)

2-4. ábra Vetítési rendszerek

Ha a vetítés kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, akkor vetítendő alakzat minden egyes elemét megtaláljuk a vetített alakzatban, mégpedig úgy, hogy pontnak pont, egyenesnek egyenes, illeszkedő elemnek illeszkedő elem felel meg. Ezek tehát vetítésre nem változnak, azaz a vetítés invariáns tulajdonságai. Másképpen a vetítés perspektív tulajdonságának is nevezzük. Ilyen invariáns tulajdonság még az ún. kettős viszony (2.2.1.2. fejezet).

Az alakzatok méretei és alaki jellemzői a vetítés hatására általában megváltoznak, torzulnak, azaz variánsak. Ezeket metrikus tulajdonságoknak is nevezzük. Ilyen metrikus tulajdonság pl. a távolság, a szög, a koordináta, vagy az ún. osztóviszony.

Abban az esetben, ha a vetítendő alakzat párhuzamos a vetített alakzattal, akkor a vetítésnek az alakzat alakjára nincs torzító hatása, mérete azonban változhat.

Geometriai értelemben - a vetítés pillanatában - a vetítésben résztvevő alakzatok egymással perspektív helyzetben, másképpen vetítési állapotban (helyzetben) vannak. Ha az alakzatokat más helyzetbe hozzuk, megszüntetjük a vetítési helyzetet, az alakzatok között továbbra is fennáll a projektív kapcsolat. A vetítési állapot az alakzatok között fennálló projektív kapcsolat alapján visszaállítható, illetve meghatározható.

2.2.1.2 Elsőfokú alapalakzatok projektív tulajdonságai

Valamely C pont helyzetét egy e pontsoron meghatározhatjuk úgy, hogy a C pont A és B ponttól mért távolságát adjuk meg (2-5. ábra). A két távolság viszonyát távolsági viszonynak, másképpen osztóviszonynak nevezzük. Ugyanilyen módon valamely D pont helyzetét is rögzíthetjük A-tól és B-től mért távolsága viszonyával. Amíg az AC/BC és az AD/BD viszonyok vetítéssel változnak, azaz metrikus tulajdonságok, addig hányadosuk, a kettősviszony nem változik, tehát projektív tulajdonság:

(ABCD) = AC/BC : AD/BD

2-5. ábra A kettősviszony

Ha két, egymással perspektív kapcsolatban lévő pontsoron valamely K és K’ kezdőpontot választunk (2-5. ábra), melyektől az A, B, C és A’, B’, C’ távolságát mérjük, bármely, a K ponttól x távolságra lévő (pl. az 5. ábrán a D pont) pontra felírható, hogy

ahol az

determináns értéke nem lehet nulla.

Az egyenlet jobb oldalát végigosztva a’22 - vel, a következő összefüggést kapjuk:

A tulajdonképpeni geometriai transzformáció három együtthatójának (a) meghatározásához három közös pontra kell felírni a fenti egyenletet. A K és K’ pontoktól mért három x és x’ távolság ismeretében ugyanis három egyenletünk és három ismeretlenünk lesz.

A projektív kapcsolat nem csak az e és e’ pontsorok között, hanem a pontsorok és a T sorozójú sugársor között is fennállnak. Az elsőfokú alapalakzatokról megállapítható, hogy két pontsorban három-három egymásnak megfelelő pontot, két sugársorban 3-3 sugarat szabadon választhatunk, ezzel a projektív kapcsolat határozottá válik. Ha az egyik alapalakzatban egy negyedik pontot, illetve sugarat is megadunk, ennek megfelelője a másik lapalakzatban egyértelműen meghatározható [2.].

2.2.1.3 Másodfokú alapalakzatok projektív tulajdonságai

Fotogrammetriában fényképezéskor - az optikai vetítéskor – a vetített alakzat a fénykép síkja, tehát geometriai értelemben síkrendszer. Egyértelmű a vetítés, ha a vetítendő alakzat, a tárgysík is síkrendszer. A vetítő alakzat ebben az esetben egy sugárnyaláb.

Síkrendszereknek azt a kölcsönösen egyértelmű vonatkozását, ahol pontnak pont, egyenesnek egyenes és illeszkedő elemnek illeszkedő elem felel meg kollineációnak nevezzük. Az általános érvényű kollineációt annak függvényében, hogy a vetítő sugárnyaláb sorozóeleme hol helyezkedik el, két csoportba soroljuk:

  1. a vetítési centrum a végesben van: centrális kollineáció

  2. a vetítési centrum a végtelenben van: paralell kollineáció, más néven affinitás.

A vetítés (fényképezés) pillanatában kollineár helyzetről beszélünk. A fényképezést (expozíciót) követően a vetítési helyzet ugyan megszűnik, de a két rendszer közötti geometriai kapcsolat továbbra is fennmarad. Ezt kollineár vonatkozásnak nevezzük. Ha ismerünk a képsíkon és a tárgysíkon megfelelő számú azonos pontot, vagy sugarat, a két sík között a kölcsönösen egyértelmű kapcsolat létesíthető, illetve visszaállítható a kollineár helyzet és metrikus tulajdonságok meghatározása lehetséges.

Az optikai leképezésnél a vetítési centrum mindig a végesben van, ezért a fotogrammetria szemszögéből a projektív geometria legfontosabb fejezete a centrális kollineáció.

Általános esetben a képsík és a tárgysík nem párhuzamos egymással, emiatt a keletkezett kép az eredeti alakzat geometriai szabályoknak megfelelően torzult mása (2-6. ábra).

2-6. ábra Centrális kollineáció

Az ábráról jól értelmezhető néhány alapfogalom:

  1. A képsík (K) és a tárgysík (T) metszésvonala a kollineáció tengelye, melyre a két rendszerben az egymásnak megfelelő egyenesek illeszkednek (t = t’). Ezért ezt a vonalat azonos méretű (izometrikus) vonalnak nevezzük.

  2. A tárgysíkkal párhuzamos, a vetítési középpontra (O) illeszkedő vetítősík (H horizontsík) a képsíkból kimetszi a horizontvonalat (h’), amelyen a végtelen távoli pontok (pl. R, G) helyezkednek el. Ebből adódik, hogy a tárgysík párhuzamos egyeneseinek képi megfelelői a horizontvonalon metszik egymást, mivel azok metszéspontja a tárgysíkon a végtelenben van. A horizontvonal egyúttal a terep végtelen távoli egyenesének, horizontjának is a képe.

  3. A tárgysíknak az a vonala, amelyet a képsíkkal párhuzamos vetítősík (E) vetít, a képsíkon a végtelenbe kerül, azaz „eltűnik”. Ezért ezt eltűnési vonalnak nevezzük.

  4. A kameratengelyt tartalmazó és a kollineáció tengelyére merőleges, az un. profil vetítősík képsíkkal (f’) és a tárgysíkkal (f) alkotott metszésvonalát fővonalnak nevezzük. A fővonal mindkét síkban merőleges a kollineácó tengelyére, ezzel együtt az ellentengelyekre is.

  5. A horizontvonalat és az eltűnési vonalat együttesen a rendszer ellentengelyeinek nevezzük. Az ellentengelyek párhuzamosak a kollineáció tengelyével.

  6. A fővonalak a T = T’ tengelypontban metszik egymást. A képi fővonal (f’) és a horizonvonal (h’) metszéspontját horizontpontnak (H’), a tárgysíkbeli fővonal (f) és az eltűnési vonal (e) metszéspontját eltűnési pontnak (E) nevezzük. A T =T’, H’ és E pontokat együttesen tengelypontok hívjuk. A tengelypontok és a vetítési centrum a vetítés pillanatában egy parallelogrammát alkot.

Összegezve az eddig leírtakat a síkrendszerek elemeinek centrális kollineációra a következők a jellemzőek:

a, pontnak pont,

b, egyenesnek egyenes,

c, illeszkedő elemnek illeszkedő elem felel meg,

d, a megfelelő pontokat összekötő egyenesek (a vetítősugarak) egy adott ponton, a vetítési középponton, a kollineáció centrumára illeszkednek,

e, a megfelelő egyenesek metszéspontjai egy egyenesre, a kollineáció tengelyére illeszkednek,

f, párhuzamos egyenesek megfelelői nem párhuzamosak,

g, a kollineáció tengelyével párhuzamos egyenesek képei párhuzamosak lesznek, melyek párhuzamosak a tengellyel és a horizontvonallal,

h, végtelen távoli elemnek véges elem felel meg.

A centrális kollineációt meghatározó fő elemek:

1. a kollineáció centruma (O),

2. a kollineáció tengelye (t = t’),

3. a kollineáció ellentengelyei (H’, E),

4. a kollineáció fővonala (f’, f).

A geometriában és a fotogrammetriában egyaránt fontos a kollineár vonatkozású síkrendszerek vetítési állapotba hozása. Két kollineár vonatkozású síkrendszer mindig vetétési állapotúvá, centrális kollineár helyzetűvé tehető, ha a meghatározó elemeinek egymáshoz viszonyított helyzete (2-7. ábra) a következő négy feltételt kielégíti:

  1. A kollineáció tengelyére egymásnak megfelelő és azonos méretű vonalak illeszkedjenek.

  2. A fővonalak a centrum és a tengely által kijelölt profil vetítősíkra illeszkednek.

  3. A síkrendszerek ellentengelyei és a kollineáció tengelye kölcsönösen párhuzamos egyenesek.

  4. A vetítési centrum (O) és a tengelypontok (T = T’, H’, E) parallelogrammát kell alkossanak.

2-7. ábra A centrális kollineációt meghatározó elemek

A két síkrendszer pontjai közötti kapcsolatot analitikusan is megadhatjuk. Ha egy pont tárgysíkbeli koordinátáit X és Y, a képsíkbeli koordinátáit ξ és η koordinátákkal jelöljük, akkor a közöttük fennálló matematikai kapcsolatot az

összefüggések fejezik ki azzal, hogy a

determináns értéke nem egyenlő zérussal.

Ha az egyenletek jobb oldalát osztjuk a’33 – mal, a következő összefüggéseket kapjuk:

A projektív, vagy kollineár transzformáció a síkbeli tarnszformációk egy lehetséges megoldása. A 8 transzformációs paraméterének meghatározásához 4 pont ξ és η fényképi, illetve X és Y terepi koordinátáinak (4x2 = 8 adat) ismerete szükséges. A képkoordináták helyett sok esetben elegendőek a képi pontok komparátorral mért x és y műszerkoordinátái is.

A centrális kollineációnak három speciális esete van:

  1. A tengely a végtelenben van - a képsík és a tárgysík párhuzamosak – a tárgysíkban lévő idomok képi megfelelői hasonlóak. A fotogrammetriában igyekszünk ezt a helyzetet elérni.

  2. A vetítési középpont a végtelenben van - a vetítősugarak párhuzamosak egymással – a vetített idomok affin torzulást szenvednek.

  3. A vetítési középpont és a tengely egyaránt a végtelenben vannak – a két sík megfelelő idomai egybevágóak. A fotogrammetriában ez az eset a kontakt-másolatok készítésénél fordul elő.

Itt kell megemlítenünk azt, hogy a mérőkamerával történő fényképezésnél a fotogrammetriai centrális vetítés (2-8. ábra) eltér az ideális, elméleti geometriai vetítéstől.

Ideális vetítés

(matematikai folyamat)

Fotogrammetria vetítés

(fizikai folyamat)

vetítősugár (egyenes)

fénysugár, sugárnyaláb (a torzulások miatt görbe)

egy vetítési középpont

az objektív két vetítési középpontja (kép- és tárgyoldali)

képsík (sík)

fényérzékeny emulzió (síktól eltérő behajlás)

tárgysík, tárgypontok

terepi pontok (csak ritkán alkotnak síkot)

Mint az összehasonlításból is kiderül, a fotogrammetria leképezésnél számos probléma merülhet fel, amelyek a kiértékelések során „kezelnünk” kell. Olyan kiértékelő műszereket és módszereket kell választanunk, amelyekkel a fotogrammetriai centrális vetítésnél fellépő hibákat ki tudjuk küszöbölni, vagy hatásukat a lehetséges mértékig csökkenteni tudjuk.

2-8. ábra Fotogrammetriai központos vetítés

2.2.1.4 Forgatási és eltolási tétel

A projektív geometria tételei közül ki kell emelnünk a forgatási és az eltolási tételeket, amelyek a képátalakításnak, mint a síkfotogrammetria kiértékelési eljárásának a megértéséhez szükségesek.

A forgatási tétel kimondja, hogy a kollineár helyzetű síkok hajlásszögét megváltoztathatjuk a kollineár helyzet megbontása nélkül, ha a H’, T=T’, E, O parallelogramma helyben maradó oldalának két pontja (H’, T=T’) körül a másik két oldalt ugyanolyan szöggel forgatjuk el (2-9. ábra).

2-9. ábra Forgatási tétel

Mikor a T síkot elforgatjuk α szöggel, a kollineár helyzet négy feltétele közül nem teljesül az, hogy a tengelypontok és a vetítési középpont parallelogrammát alkotnak. Ha a H’ pontkörül az O vetítési középpontot az O1 helyzetbe forgatjuk, azt kell látni, hogy ismét teljesül a kollineár helyzet mind a négy feltétele.

Az eltolási tétel kimondja, hogy két kollineár helyzetben lévő sík közül a T síkot önmagával párhuzamosan eltoljuk (2-10. ábra), a kollineár helyzet feltételei továbbra is megmaradnak, csupán a méretarány fog megváltozni. A méretarány azért változik, mert az új tengelyre nem az eredeti egymásnak megfelelő egyenesek esnek, hanem azok hasonlója.

2-10. ábra Eltolási tétel

2.2.1.5 Harmadfokú alapalakzatok és a fényképpár kapcsolata

Egy kép alapján - mint az előző fejezetből kitűnik – csak síkbeli meghatározásokat végezhetünk, hiszen a kiértékelés csak akkor ad kölcsönösen egyértelmű megoldást, ha a kép és a tárgy síkja egyaránt vízszintes. A lefényképezett terep azonban a domborzat miatt nem sík. A projektív geometria szempontjából a térnek, mint harmadfokú alakzatnak a leképezéséhez és méréséhez nem elegendő egy kép, hanem két különböző helyről (álláspontról) készített, de ugyanazt a tereprészt ábrázoló két képre, képpárra van szükségünk. A képpárt megfelelő műszerrel szemlélve előáll a tér modellje. A képpár perspektív helyzetének lényegesebb alapfogalmait és feltételeit áttekinthetjük a 2-11. ábra alapján.

A 2-11. ábrán a téralakzatot a P1, P2 és P3 pontok képviselik, melyeket az O1 és O2 vetítési középpontokból a K1 és K2 síkokra képezünk le. Meg kell jegyezni, hogy az ábrán a képsíkok geometriai értelemben pozitív képet alkotnak.

2-11. ábra Fényképpárok geometriai összefüggései

Az O1 és O2 vetítési középpontokon átmenő egyenest magtengelynek, az O1 és O2 pontok közé eső szakaszát a képpár bázisának, másképpen felvételi bázisnak nevezzük. A magtengely a képsíkokat az M1 és M2 magpontokban döfi. Az M1 magpontot az O2 felvételi helyről tekintve O1 képének is tekinthetjük a K1 képsíkon, mint ahogyan az M2 magpont az O1 álláspontról az O2 képével azonos a K2 képsíkon. Az egyes P pontokra és a magtengelyre illesztett síkok a magsíkok, amelyek a képsíkokból kimetszik az un. magsugarakat. A magsugarak sugársort alkotnak, melyeknek sorozójuk a magpontok. A két magsugársor kettősviszonya egyenlő, és az egymásnak megfelelő képi pontokra illeszkedő magsugarak a két sík metszésvonalán metszik egymást. Ezen feltételekkel a két sík perspektív helyzetben van, amely helyzet megbontás után visszaállítható. A perspektív helyzet visszaállítását relatív tájékozásnak nevezzük. A relatív tájékozáshoz 5 egymáshoz rendelt pontpár térbeli helyzetét kell ismernünk (P1, P2, P3, O1, O2).