Ugrás a tartalomhoz

Fotogrammetria 2., A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai

Dr. Engler Péter (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

2.3 Matematika alapok

2.3 Matematika alapok

A különböző fotogrammetriai kiértékelések során gyakran van szükség arra, hogy két koordináta-rendszer között matematikai kapcsolatot teremtsünk. A matematikai kapcsolat esetünkben síkbeli vagy térbeli koordináta transzformáció, ezért a következőkben összefoglaljuk a különböző transzformációkat. Ezeken felül ismertetjük a kép és terepi pontok kapcsolatát leíró egyenleteket.

2.3.1 Síkbeli transzformációk

Síkbeli transzformációkkal a fotogrammetriában az analóg, az analitikus és a digitális eljárásoknál egyaránt találkozhatunk, akár a kép és a műszer koordináta-rendszere között, akár a fotogrammetriai és geodéziai koordináta-rendszerek közötti átszámításoknál. A következőkben megadott képletekben az x és y az első rendszerbeli (átszámítandó), az X és Y a második rendszerbeli (amelybe átszámítunk) koordinátákat jelöli. A fotogrammetriában alkalmazott konkrét egyenletekben ezek a jelölések változhatnak, pl. az x helyett ξ, y helyett η szerepel, mint képkoordináta.

A síkbeli transzformációk közül a fotogrammetriában előforduló transzformációk [4.]:

  1. Eltolás és elfordulás (alapesetek)

  2. Helmert transzformáció

  3. Affin transzformáció

  4. Projektív transzformáció

  5. Bilineáris transzformáció

  6. Nem lineáris transzformációk

1. Eltolás és elfordulás

A síkon történő transzformációk egyik alapesete, mikor két olyan koordináta-rendszer között kell átszámításokat végeznünk, ahol a két rendszer kezdőpontja azonos (2-12. ábra) és nincs méretkülönbség.

Ebben az esetben csupán forgatás történik a következő egyenletek segítségével:

Az ismeretlenek száma csak 1, az α forgatási szög.

2-12. ábra Síkbeli transzformáció alapesete

A második alapeset az, amikor a koordináta-rendszerek kezdőpontja már nem egyezik meg, ugyanakkor a két rendszer tengelyei egymással párhuzamosak, és közöttük nincs méretkülönbség (2-13. ábra). Ekkor az egyenletek a következőképpen alakulnak:

Itt tulajdonképpen kétirányú eltolásról beszélhetünk, az ismeretlenek száma 2.

2-13. ábra Síkbeli transzformációk

A harmadik alapeset, amikor a koordináta-rendszerek kezdőpontja nem egyezik meg, a két rendszer koordináta tengelyei nem párhuzamosak, és közöttük nincs méretkülönbség (a 2-14. ábrához hasonló elrendezés). Ekkor az egyenletek a következőképpen alakulnak:

ahol az a0 és b0 értékek a kezdőpontok x illetve y irányú eltolási értékei. Az ismeretlenek száma ebben az esetben 3. Ez úgy is értelmezhető, mint a hasonlósági transzformációk speciális esete, amikor m=1, amit egybevágósági transzformációnak is nevezünk.

Az első három alapeset ritkán, csupán valamilyen speciális esetben fordul elő, mivel azok feltételeit (közös kezdőpont, párhuzamosság, azonos méret) nehezen tudjuk biztosítani

2. Helmert transzformáció

A legáltalánosabb síkbeli transzformáció az, amikor két olyan koordináta-rendszer között kell átszámításokat végeznünk, ahol a két rendszer kezdőpontja nem egyezik meg, a tengelyek nem párhuzamosak egymással és a két rendszer között méretkülönbség van (2-14. ábra).

2-14. ábra Síkbeli transzformáció általános esete

A Helmert, vagy másképpen hasonlósági transzformáció alapképletei a következők:

ahol és . Az a0 és b0 értékek az un. eltolási értékek, m a méretarány tényező, α az elforgatási érték. Ezeket a képleteket akkor alkalmazzuk, ha a két koordináta-rendszer általunk feltehetően, vagy ismert módon egyforma sodrásiránnyal rendelkezik. A négy ismeretlen meghatározásához két olyan pontra van szükség, amelyek koordinátáit mindkét rendszerben ismerjük. A transzformációs együtthatók meghatározása után bármely x, y koordinátájú pontot átszámíthatunk az XY rendszerbe. A gyakorlatban a transzformációs együtthatók kiszámításához minimálisan szükséges 2 két pontnál több közös pont áll rendelkezésünkre, akkor az un. súlyponti Helmert transzformációt alkalmazzuk. Előnye, hogy az együtthatók meghatározása mellett, a közös pontokon számítható maradék ellentmondások alapján pontossági mérőszámot is kapunk, illetve lehetőségünk van a hibás pontok kiszűrésére.

3. Affin tarnszformáció

Gyakran olyan rendszerek között kell transzformációt elvégeznünk, ahol nem elegendő az egy méretarány tényező, mert a két irányban más mértékű a torzulás (ezt affin torzulásnak nevezzük), továbbá feltételezzük, hogy a koordinátatengelyek nem merőlegesek egymásra. Ez a jelenség főként a képkoordináta rendszerek esetén (pl. a filmek hívás, szárítás, nyújtás stb. hatására bekövetkező méretváltozása) jelentkezik. Ekkor alkalmazzuk az affin transzformációt, melynek képletei a következők:

ahol , , , és . Az a0 és b0 értékek az eltolási értékek, a kx és ky a két koordináta tengely mentén a torzulás hatására fellépő különböző méretarány tényezők, és δ a koordinátarendszerek merőlegességi hibája. Az összesen 6 transzformációs paraméter meghatározásához minimálisan 3 közös pontra van szükség. Ha háromnál több a közös pontok száma, ebben az esetben egy un. súlyponti affin transzformációt végzünk. Ebben az esetben itt is lehetőségünk van hibaszűrésre és pontossági mérőszámok meghatározására.

4. Projektív transzformáció

A projektív vagy más néven kollineár transzformációval az 1.2.1.3 fejezetben már foglalkoztunk. Itt csupán azt tesszük hozzá, hogy a transzformáció eredménye egy általános négyszög, ahol a vonalak mentén perspektív torzulás van, a felezőpontok képei nem felezőpontok, mert a projektív transzformáció az un. osztóviszonyt megváltoztatja, a kettősviszonyt nem. A transzformációs paraméterek száma 8, azaz a megoldáshoz minimálisan négy közös pontra van szükség.

5. Bilineáris transzformáció

A bilineáris transzformációt abban az esetben alkalmazzuk ahol minimálisan 4 közös pont szükséges (pl. ortoprojekciónál egy négyszög átalakításánál). Képletei:

A transzformáció eredménye egy általános négyszög, ahol a vonalak mentén a torzulás lineáris, egyenest egyenesbe visz át, a pontrendszer súlypontja súlypont lesz az új rendszerben is, a felezőpontok képei is felezőpontok maradnak. A transzformációs paraméterek száma 8, meghatározásukhoz tehát minimálisan 4 ismert pont kell.

6. Nem lineáris transzformációk

Tulajdonképpen az előző transzformáció is ebbe a csoportba sorolható. Ezen felül ismerünk 5 és 6 pontos, másodfokú, illetve 7, 8, 9 és 10 pontos harmadfokú transzformációkat is. A nem lineáris transzformációk egyik jellemzője, hogy az egyenes pontjait görbébe viszik át.

A harmadfokú polinomokkal történő transzformációnak a digitális ortofotó előállításban van szerepe.

2.3.2 Térbeli transzformációk

A térfotogrammetriai eljárásoknál a síkbeli transzformációk szerepe kisebb, inkább a térbeli transzformációk a jellemzőek. A térbeli transzformációk közül csak az általános esettel foglakozunk (2-15. ábra), bár meg kell jegyezni, hogy itt is lehet speciális elrendezésű térbeli koordináta-rendszerek közötti transzformáció. Az általános esetből az egyszerűbb, bizonyos speciális feltételeket kielégítő (pl. párhuzamos koordináta tengelyek) esetek könnyen levezethetők. Általános esetben a két térbeli koordináta rendszer kezdőpontjai egymásnak nem azonosan megfelelő pontok, a tengelyek három, különböző szögértékkel elfordulnak, továbbá a két rendszer között méretkülönbség van. Ilyen lehet például a modellkoordináta-rendszer és a geodéziai koordináta-rendszer között transzformáció.

Egy P pont x, y, és z koordinátáinak transzformálása az XYZ fölérendelt koordináta rendszerbe a két koordináta rendszer tengelyei által bezárt szögek koszinuszainak felhasználásával, az alábbi képlet segítségével végezhető el:

mátrixos formában , ahol X az új koordináták mátrixa, Xu eltolási értékek mátrixa, m a méretarány tényező, R az irány-koszinuszokat tartalmazó forgatási mátrix, x az áttranszformálandó koordináták mátrixa. Az R forgatási mátrix elemei valójában 3 szög (κ, ϕ és ω) szögfüggvényeinek különböző szorzataiból számított 9 (3x3) értékek. A κ a Z tengely körüli forgatási szög, a ϕ az Y, az ω az X tengely körüli forgatási szögek.

Az R forgatási mátrix tehát három tengely körüli forgatást ír le, ami három egymás utáni forgatást jelent. A κ, ϕ és ω forgatások külön-külön felírhatók egy-egy mátrixban:

; ;

Az R forgatási mátrix a három részmátrix szorzatából számolható, ahol viszont nem mindegy a szorzás sorrendje.

Ha a forgatásnál az elsődleges tengely az X, a másodlagos tengely az Y és harmadlagos tengely a Z, akkor először képezzük az RϕRκ, majd az RωRϕκ mátrixok szorzatát. Az Rωϕκ mátrix ebben az esetben a következő:

Ha a forgatások egy másik sorrendjét definiáljuk (ϕ elsődleges, ω másodlagos, κ harmadlagos forgatás), akkor a következő forgatási mátrixot kapjuk:

Az R forgatási mátrix általános felírása:

Az R forgatási mátrix ortogonális mátrix, amiből következik, hogy inverze azonos a transzponáltjával (RT):

2.3.3 A képi és terepi pontok matematikai kapcsolata

Az analitikus és digitális fotogrammetriában a kiértékeléskor a vetítősugarakat nem optikai, hanem matematikai úton állítjuk vissza. Mikor a vetítősugarak egyenleteit felírjuk, tulajdonképpen két koordináta-rendszer között teremtünk matematikai kapcsolatot, a képi koordináta-rendszer és a terepi (vagy, tárgy, vagy geodéziai) koordináta-rendszer között. Mielőtt az egyenletek felírásárát tárgyalnánk, néhány olyan alapfogalmat kell tisztáznunk - egy későbbi fejezetben foglalkozunk ezekkel - amelyekre a megértéshez most szükség van.

A fotogrammetriában un. mérőfényképeket készítünk és értékelünk ki. A mérőfénykép egy olyan kép, amely lehetővé teszi a képalkotó sugárnyalábbal egybevágó sugárnyaláb visszaállítást. A fényképezés pillanatában a képre ráfényképezünk egy saját koordináta-rendszert, amit képkoordináta-rendszernek hívunk. A koordinátatengelyeket ξ-vel (kszí) és η-val (éta) jelöljük (2-16. ábra). A koordinátatengelyek metszéspontját a mérőfényképen képközéppontnak nevezzük, ami tulajdonképpen a koordináta-rendszer kezdőpontja (ξ=0, η=0). Jelölése: M. A mérőfényképen azt a pontot, ahol a kameratengely döfi a képsíkot, főpontnak nevezzük és H-val jelöljük. A H pont koordinátái: ξ0 és η0. Igazított kameránál ez a pont elméletileg (a valóságban 1-2 μm-es eltérés van) megegyezik a képközépponttal (M ≡ H). A képfelőli vetítési középpont (a levezetéseknél egy ponttal jelöljük a vetítési középpontot, de valójában, mint azt a 8. ábrán is láttuk két pont) és a képsík távolságát kameraállandónak nevezzük és ck-val jelöljük. A vetítési középpont koordinátáit a képkoordináta-rendszerben három koordinátával adjuk meg: ξ0; η0; ck. Ezt a három adatot, koordinátát a mérőfénykép belső adatainak nevezzük. Ismeretük nagyon fontos a kiértékelések végrehajtásához.

2-16. ábra A mérőfénykép belső adatai

2.3.3.1 A tárgy- és képpont kapcsolata nadírfelvétel (függőleges tengelyű felvétel) esetén

Nadírfelvételről akkor beszélünk, ha a fényképezés pillanatában a kameratengely függőleges. A kameratengelynek a függőlegessel bezárt szögét a fotogrammetriában ν-vel jelöljük. Ez egy idealizált helyzet, a légifényképezésnél arra törekszünk, hogy olyan felvételeket készítsünk, ahol a υ értéke közelít a nullához. A levezetésnél alkalmazott feltételezések:

  1. ν=0

  2. A képközéppont és főpont megegyezik, tehát ξ0 és η0 koordináták zérussal egyenlők.

  3. A képkoordináta-rendszer és a tárgykoordináta-rendszer tengelyei párhuzamosak egymással.

Az egyenletek levezetéséhez hasonló háromszögek között aránypárokat írunk fel. Egy P terepi pontot (X; Y; Z) a képsíkon a P’ pontban (ξ; η) képezzük le (2-17. ábra). Az O vetítési középpont koordinátái a tárgykoordináta rendszerben az X0, Y0 és Z0, amelyek esetünkben a kép külső tájékozási adatai.

2-17. ábra Nadírfelvétel

Hasonló háromszögekből felírható aránypárok:

Ebből , és ,

ahol az méretarányszám, ami sík terep esetén egy állandó érték, nem sík terep esetén pontról pontra változik.

A fenti egyenletek alapján, a méretarányszám és a képkoordináták ismeretében számíthatjuk a terepi pontok koordinátáit, illetve a méretarányszám és a terepi pontok koordinátái ismeretében számíthatjuk a képi pontok koordinátáit:

A képi és terepi pontok közötti matematikai kapcsolatot a szakirodalmakban többnyire mátrixos formában találjuk meg:

2.3.3.2 A tárgy- és képpont kapcsolata általános felvételi esetben

Általános felvételi esetben a képsík nem vízszintes, mert a fényképezés pillanatában a kameratengely a függőlegessel egy ν szöget zár be. Ebből adódik, hogy a koordinátatengelyek nem párhuzamosak (2-18. ábra).

2-18. ábra Általános helyzetű felvétel

Az általános eset leírásakor már nem élünk azzal a feltételezéssel sem, hogy a képközéppont és a főpont megegyeznek.

Első lépésként (a részletes levezetést mellőzve) egy térbeli forgatással az általános helyzetű képsíkot (ξ, η, ill. x, y, z) olyan helyzetbe forgatjuk (x’, y’, z’), ahol a koordinátatengelyek már párhuzamosak a tárgykoordináta-rendszer tengelyeivel:

A forgatást a három koordináta tengely körül végezzük κ, ϕ és ω szögekkel, amelyeket a kép külső tájékozási adatainak is nevezünk. A forgatási szögeket az R forgatási mátrix tartalmazza.

A térbeli forgatás után már a nadírfelvételnél leírt egyenleteket fel tudjuk használni:

Kifejtve a következő alakban is felírhatjuk az egyenleteket:

Ezeket az egyenleteket a centrális vetítés alapegyenletének nevezzük. Matematikai formában azt írja le, hogy a képi pont (P’), a vetítési középpont (O) és a terepi pont (P) egy egyenesen van, ezért még úgy is mondjuk, hogy a kollinearitási feltételt írja le.