Ugrás a tartalomhoz

Geodézia 1., A helymeghatározás alapjai

Gyenes Róbert (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

1.4 A helymeghatározó adatok definiálása: koordinátarendszerek

1.4 A helymeghatározó adatok definiálása: koordinátarendszerek

Az eddigi fejezetekben megismertük a hely fogalmát és azt, hogy miként lehet jellemezni. Tárgyaltuk a vonatkoztatási rendszerek definiálását, de a helymeghatározó adatokat csak a szemléletesség érdekében említettük meg. Ebben a fejezetben ezért áttekintjük a helymeghatározó adatokat és azok geometriai jelentését. A helymeghatározást a helymeghatározó adatok dimenziója alapján csoportosítjuk. Ha egy objektum térbeli helyzetére vagyunk kíváncsiak, akkor azt térbeli koordinátákkal írjuk le. Ezt nevezzük háromdimenzós helymeghatározásnak. A térbeli koordinátarendszer egy jobbsodrású matematikai koordinátarendszer (1-9. ábra).

1-9. ábra A térbeli derékszögű koordinátarendszer és a derékszögű koordináták

A koordinátarendszer origóját a három, egymásra kölcsönösen merőleges koordinátatengely metszéspontjaként kapjuk. A pont helyzetét a háromdimenziós koordinátarendszerben a pont megfelelő koordinátatengelyek által kifeszített síkoktól való előjeles távolságaként adjuk meg. A pont YZ tengelyek által kifeszített síktól való előjeles távolsága az X koordináta, az XZ tengelyek által kifeszített síktól vett előjeles távolsága az Y koordináta, az XY tengelyek által kifeszített síktól való előjeles távolsága pedig a Z koordináta.

A pont helyzete a térben azonban nemcsak derékszögű koordinátákkal adható meg, hanem a ponthoz tartozó helyvektor polár koordinátáival is (1-10. ábra).

1-10. ábra A térbeli derékszögű koordinátarendszer és a térbeli polár koordináták

A pont polár koordinátáit egy távolság és két szög alapján definiáljuk. A távolság a pont origótól való távolsága, a két szög pedig a helyvektor valamely kitüntetett síkra vonatkozó merőleges vetülete alapján adható meg. A kiválasztott sík az XY tengelyek által kifeszített sík, amelyre a helyvektort a Z tengelyre és a helyvektorra illeszkedő sík mentén ortogonálisan vetítjük. A helyvektor merőleges vetületének X tengellyel, valamint a helyvektorral bezárt szöge lesz a keresett két szög-dimenziójú polár koordináta. A térbeli derékszögű és a polár koordináták között az 1-10. ábra alapján az alábbi összefüggések írhatók fel:

1.1. egyenlet

1.2. egyenlet

1.3. egyenlet

Valamint

1.4. egyenlet

1.5. egyenlet

Megemlítjük, hogy egyes alkalmazásokban a polár koordinátákat egységnyi hosszúságú vektorokhoz kötjük. Így például az 1.3 fejezetben említett kvazárok esetén a kvazárok báricentrumtól való távolsága számunkra közömbös, hiszen azok csak a vonatkoztatási rendszer koordinátatengelyei irányának a megadására szolgálnak. Ilyen esetben, bár térbeli adatokról van szó, az objektumnak csak a ψ és a λ koordinátáit adjuk meg, a távolságot r =1 értéknek tekintjük. Abban az esetben, ha a térbeli derékszögű koordinátarendszer geocentrikus, akkor a ψ koordinátát geocentrikus szélességnek, a λ koordinátát pedig hosszúságnak nevezzük.

A térbeli derékszögű koordináták nem minden alkalmazásban szemléletesek. Ha például egy síkrajzi térképet akarunk készíteni, amely az objektumokat felülnézetben, kétdimenzióban ábrázolja, akkor az X, Y, Z koordinátahármas közvetlen megjelenítésre nem alkalmas. A kétdimenziós helymeghatározásban ezért felületi koordinátákat alkalmazunk. Egy adott felületen a pont helyzetét görbe vonalú koordinátákkal adjuk meg. A geomatikában a görbe vonalú koordinátarendszerek közül azokat használjuk, ahol a görbe vonalak hálózata, az úgynevezett koordinátagörbék minden pontban merőlegesek egymásra (1-11. ábra). Ezeket a koordinátákat gyakran Gauss-féle felületi koordinátáknak is szokás nevezni.

1-11. ábra A görbe vonalú ortogonális koordinátarendszer

A görbe vonalú ortogonális koordinátarendszer speciális esete a síkbeli derékszögű koordinátarendszer (1-12. ábra) Egy pont helyzetét a koordinátatengelyektől vett előjeles távolságokkal adjuk meg. A pont x tengelytől való távolsága az y, az y tengelytől való távolsága az x koordináta.

1-12. ábra A síkbeli matematikai derékszögű koordinátarendszer

Hasonlóan a térbeli derékszögű koordinátákhoz, a síkon is gyakran alkalmazunk polár koordinátákat. A síkon egy pont polár koordinátái alatt a pontba mutató helyvektor hosszát, és a helyvektor x tengellyel bezárt szögét, az úgynevezett irányszöget értjük (1-13. ábra).

1-13. ábra A síkbeli matematikai derékszögű koordinátarendszer és a polár koordináták

Az irányszöget úgy értelmezzük, hogy a +x tengelyt az óramutató járásával ellentétes értelemben a helyvektor irányába forgatjuk. A síkbeli derékszögű és polár koordináták között az alábbi összefüggések írhatók fel:

1.6. egyenlet

1.7. egyenlet

1.8. egyenlet

1.9. egyenlet

A matematikai koordinátarendszerben az irányszöget, mint forgásszöget, az óramutató járásával ellentétes irányban értelmezzük. A későbbiekben majd látni fogjuk, hogy a forgásszögeket a geodéziában viszont az óramutató járásával egyező irányban értelmezzük. A geodéziai koordinátarendszerben a pont koordinátáinak definiálása a matematikai koordinátarendszeréhez hasonló, azonban a koordinátatengelyek, a forgásszög értelmezésének következtében, fel vannak cserélve (1-14. ábra).

Az irányszöget a geodéziában úgy értelmezzük, hogy a +x tengelyt az óramutató járásával egyező értelemben forgatjuk a kérdéses irányba. A koordinátatengelyek felcserélése azonban nem jelenti azt, hogy a derékszögű és a polár koordináták közötti összefüggések a geodéziai koordinátarendszerben mások lennének. Ezt az 1-14. ábra alapján könnyű belátni. A geodéziában egyes mennyiségekre vonatkozóan kialakult egy sajátságos jelölésrendszer, így az irányszöget δ-val, a távolságot pedig t-vel jelöljük. Az 1-14. ábra jelöléseinek megfelelően tehát írhatjuk, hogy:

1.10. egyenlet

1.11. egyenlet

1.12. egyenlet

1.13. egyenlet

1-14. ábra A geodéziai koordinátarendszer

Az irányszög számításának gyakorlati végrehajtásához meg kell jegyeznünk, hogy az 1.13.-as összefüggés szimbolikus. A geodéziában a szögeket ugyanis mindig 0° és 360° között értelmezzük. Így (1.13.) az iránynak a koordináta-rendszerbeli helyzetétől függően nem az irányszöget, hanem annak főértékét adja eredményül (1-15. ábra). Az irányszög főértéke alatt azt a szöget értjük, amelynek függvényértéke abszolút értékben megegyezik az irányszög szögfüggvényének abszolút értékével. Az irányszög főértékből történő számítására többféle algoritmust is követhetünk.

1-15. ábra Az irányszög számítása a főértékből

Az egyik lehetőség, hogy képezzük az y és az x koordináták hányadosának abszolút értékét és ebből meghatározzuk először a főértéket:

Ezt követően pedig az y és az x koordináták előjele alapján megállapítjuk az irány koordinátanegyedbeli helyzetét alkalmazva az 1-1. táblázat utolsó oszlopában szereplő összefüggéseket.

1-1. táblázat -

Negyed

Előjel

Irányszög

y

x

I.

+

+

II.

+

-

III.

-

-

IV.

-

+


A helymeghatározás egyik esete, amikor egy objektum helyzetét csak egydimenzióban kell megadnunk. Ez nem jelent mást, mint egyetlen távolságnak a meghatározását, amelyet magasságnak nevezünk. Ebben az esetben csak arra vagyunk kíváncsiak, hogy mi a pont távolsága egy adott vonatkoztatási szinttől (1-16. ábra). Ezt a távolságot a pont és annak felületi talppontja között értelmezzük a ponton átmenő felületi normális mentén. Ha a vonatkoztatási felület a közepes óceán- vagy tengerszintnek megfelelő felület, akkor ezt a távolságot tengerszintfeletti magasságnak nevezzük. Későbbi tanulmányaink során azonban majd látni fogjuk, hogy a magasság ilyen egyszerű geometriai megfogalmazása nem egyértelmű. Anélkül, hogy most részletekbe bocsátkoznánk, megemlítjük, hogy a magasság csak fizikai úton definiálható.

1-16. ábra Egydimenziós helymeghatározás

Természetes tájékozódási képességünk az evolúció során a két- és egydimenziós helymeghatározásnak megfelelően alakult ki. Jól érzékeljük az előre vagy hátra, a jobbra és balra, vagy a fel és le fogalmát. Ha azonban arra a kérdésre keresnénk a választ, hogy a Földhöz rögzített térbeli derékszögű koordinátarendszerben a koordinátatengelyekhez viszonyítva milyen irányban végeztünk mozgást, akkor arra már igencsak hosszas gondolkodásra lenne szükség. A helymeghatározásban a műszaki fejlődés is ennek megfelelően alakult ki. Külön mérési módszereket és mérőeszközöket fejlesztettek ki a kétdimenziós és az egydimenziós helymeghatározás esetén. Ezen kívül, a két és egydimenziós helymeghatározás vonatkoztatási rendszere sem egyezett meg. Kialakult tehát egy úgynevezett 2+1 dimenziós helymeghatározás.

A kétdimenziós helymeghatározó adatokat a Föld alakját legjobban megközelítő szabályos felületre vonatkoztatták, míg a harmadik dimenziót a tengerszint feletti magasság szolgáltatja (1-17. ábra). Klasszikusan a kétdimenziós helymeghatározó adatokat csillagászati mérési módszerekkel határozták meg, amely a pontok földrajzi koordinátáit, a földrajzi szélességet és a hosszúságot adta eredményül. A helymeghatározás mai gyakorlatában, elsősorban a műholdas helymeghatározás technológiájának következtében, mind a háromdimenziós, mind a 2+1 dimenziós helymeghatározás párhuzamosan létezik. Napjainkban emiatt a kettőség miatt ezért központi szerepet játszanak azok a tudományos kutatási munkák és vizsgálatok, amelyek a háromdimenziós és a 2+1 dimenziós vonatkoztatási rendszerek közötti kapcsolatot vizsgálják.

1-17. ábra A 2+1 dimenziós helymeghatározás elve

Az 1-17. ábrához kapcsolódva egy fontos kiegészítést kell tennünk. A P pontot az egydimenziós helymeghatározás vonatkoztatási felületére a P pontból a vonatkoztatási felületre bocsátott merőleges mentén vetítettük le. Így kaptuk a PO pontot. Ezt a döféspontot azonban a kétdimenziós helymeghatározás vonatkoztatási felületére már úgy vetítettük tovább, hogy a PO pontból bocsátottunk merőlegest a kétdimenziós helymeghatározás vonatkoztatási felületére, kapva ezáltal a pontot. A két normális tehát nem azonos, pontosabban fogalmazva, nem feltétlenül esik egybe egymással. Erre a különbségre a 2.2. fejezetben a Föld elméleti alakjának a tárgyalásakor visszatérünk.