Ugrás a tartalomhoz

Geodézia 10., 10 A trigonometriai magasságmérés

Tarsoly Péter (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

10.5 A magassági szögmérés szabályos hibaforrásai

10.5 A magassági szögmérés szabályos hibaforrásai

A magassági szögmérés hibaforrásai és ezek hatásai egyes esetekben sok hasonlóságot, esetleg teljes egyezőséget mutatnak a vízszintes szögmérés szabályos hibaforrásainak hatásaival. A magassági szögmérésnél is megkülönböztetünk műszerhibákat, a műszer felállításából és a külső körülményekből eredő szabályos hibaforrásokat.

A vízszintes szögmérésnél megismert kollimáció hiba és a fekvőtengely merőlegességi hibája nem okoz mértékadó hibát a zenitszögben, ezért ezekkel a hibaforrásokkal nem kell foglalkoznunk. Az irányvonal külpontosságát a zenitszög mérésekor a fekvőtengelyre vonatkoztatjuk. Hatása a zenitszögre ugyanaz, mint a vízszintes szögmérésnél az állótengelyre vonatkozó külpontosság, így hatása és kezelése megegyezik a vízszintes szögmérésnél leírtakéval. Ugyanez mondható el a magassági kör külpontossági és merőlegességi hibájával kapcsolatban is. Az előbbi azt jelenti, hogy a fekvőtengely külpontos a magassági kör középpontjára vonatkozóan, az utóbbi pedig, hogy a magassági kör síkja nem merőleges a fekvőtengelyre. A vízszintes szögmérésnél tett megállapítások itt ugyanúgy érvényesek: a magassági körnél is diametrálisan elhelyezett indexdiódákat alkalmaznak, valamint a magassági kör merőlegességi hibája is elhanyagolható. A magassági kör osztáshibáira szintén érvényesek a vízszintes kör osztáshibáinál leírt szempontok.

A pontraállás hibája magassági szögmérésnél más értelmezést kap, ezért ezzel részletesebben is foglalkozunk, hasonlóan az állótengely ferdeségi hibájának a hatásával.

A légköri sugártörés a magassági szögmérésre nézve veszélyes hibaforrás, ezért ezt részleteiben is tárgyaljuk. A jel megvilágítottságára és alakjára vonatkozó megállapítások szintén megegyeznek a vízszintes szögmérésnél leírtakéval.

10.5.1 Az indexhiba

A kompenzátor a beállás pontosságának a következtében nem mindig ugyanazon a helyen képezi le az indexvonás képét, az indexvonás képének helyzetétől függően „alul” vagy „túl” kompenzál. Az index képe így nem a helyi függőleges irányában helyezkedik el. Az 10-6. ábrán ezt a szögeltérést Δk-val jelöltük, amelyet a kompenzátor kompenzálási hibájának nevezünk. Mivel a távcsövet és a magassági kört egymáshoz ékelik, további követelmény, hogy a 0˚-180˚ osztások által meghatározott irány a geodéziai távcső irányvonalával essen egybe. Műszerszerkesztési okokból ez a feltétel nem teljesül maradéktalanul, hanem úgynevezett ékelési hiba lép fel. Az ékelési hibát a 3.6. ábrán Δé-vel jelöltük. A kompenzálási és az ékelési hiba együttes következményeként nem a tényleges zenitszöget mérjük, hanem attól kis mértékben eltérőt.

10-6. ábra. A kompenzátor kompenzálási hibája és az ékelési hiba

Tételezzük fel, hogy sem kompenzálási hiba, sem ékelési hiba nem áll fenn (10-7. ábra). Ebben az esetben, az első távcsőállásban a ζI szöget mérjük. Ez az eset látható a 10.7.-dik ábra bal oldalán. Ha a távcsövet áthajtjuk és átforgatjuk, akkor második távcsőállásban a ζII-vel jelölt szöget mérjük. Könnyű belátni, hogy a két távcsőállásban végzett leolvasások összegének 360˚-nak kell lenni:

10.2. egyenlet

10-7. ábra. A két távcsőállásban végzett zenitszögmérés szemléltetése

Ez a feltétel azonban a kompenzálási és az ékelési hiba következtében nem teljesül. A valódi zenitszöget így a leolvasás, a kompenzálási hiba és az ékelési hiba összegeként írhatjuk fel. Első távcsőállásban (10-8. ábra):

10.3. egyenlet

Az áthajtás és átforgatás után a második távcsőállásban:

10.4. egyenlet

Képezve (10-3.) és (10-4.) összegét, (10-2.) alapján:

10.5. egyenlet

Amiből:

10.6. egyenlet

A két távcsőállásban végzett leolvasások összegéből tehát a kompenzálási hiba és az ékelési hiba előjeles összegét meg tudjuk határozni. Valójában tehát az egyedi értékük ismeretére nincsen szükségünk. A kompenzálási és az ékelési hibát együttesen indexhibának nevezzük:

10.7. egyenlet

10-8. ábra A kompenzálási hiba és az ékelési hiba figyelembevétele

Az indexhiba alapján történő számítását követően a tényleges zenitszöget megkapjuk, ha (10-7)-et előjelhelyesen hozzáadjuk az első távcsőállásban végzett mérés eredményéhez:

10.8. egyenlet

Látható tehát, hogy a két távcsőállásban végzett méréssel az indexhiba hatása kiküszöbölhető. Ezen kívül megállapítható az is, hogy az indexhiba független a mért zenitszög értékétől, így az állásponton mért irányokra vonatkozóan – a mérési hibáktól eltekintve – az indexhiba értéke elvileg ugyanaz. Azért fontos kihangsúlyozni, hogy elvileg, mert az alhidádé forgatásának és az ismételt beállás pontosságának következtében ez nem teljes mértékben igaz. De ez az eltérés figyelmen kívül hagyható. Ez a tény lehetővé teszi az indexhiba számítással történő figyelembevételét, ha azt a mérések előtt már meghatároztuk és értékét a műszerben tároltuk.

10.5.2 Az indexhiba meghatározása

Az indexhiba vizsgálatához szükség van arra, hogy egy végtelen távoli pontot irányozzunk meg. Laboratóriumi körülmények között végtelen távoli tárgyat kollimátor segítségével tudunk előállítani úgy, hogy a tárgyat, amely nem más, mint egy megvilágított szállemez, a kollimátor objektívjének a fókusztávolságában helyezünk el (10-9. ábra). A képalkotás törvényének megfelelően a tárgyból érkező fénysugarak az optikai tengellyel párhuzamosan haladnak. Így a kollimátorral egy olyan helyzet állítható elő, mintha a kollimátor szállemezén lévő szálkereszt egy végtelen távoli tárgy képe lenne.

10-9. ábra. A kollimátor képalkotása

A kollimátor speciálisan kiképzett asztalon fekszik, amellyel szemben az objektív felőli oldalon kényszerközpontosan lehet elhelyezni a vizsgálandó műszert. Kollimátor helyett használhatunk végtelen irányzási távolságra állított műszert is, amelynek szálkeresztjét irányozzuk a vizsgálat végrehajtásakor. Ebben az esetben ügyeljünk arra, hogy a vizsgálandó és a kollimátor szerepét betöltő műszer fekvőtengelye 1-2 mm-en belül azonos magasságban legyen.

Az indexhiba vizsgálatánál mind első, mind második távcsőállásban többszörös ismétléssel megirányozzuk egy kollimátor vagy egy végtelen irányzási távolságra állított geodéziai távcső fekvőszálát. Ezután képezzük a mérési sorozatok

és

átlagát, majd kiszámoljuk az indexhibát a (10.7.)-es összefüggés alapján:

10.9. egyenlet

Tekintettel arra, hogy az indexhiba független a zenitszög értékétől, ezért az indexhiba vizsgálatára erre vonatkozóan nincsen megkötés. Mivel a vizsgálati feltétel azonos a kollimáció hiba vizsgálatával, ezért az indexhiba vizsgálatát célszerűségi okokból a kollimáció hiba vizsgálatával párhuzamosan végezzük.

10.5.3 A műszermagasság hibája

Zenitszögmérésnél a vízszintes pontraállás hibája nem játszik szerepet, azonban figyelembe kell vennünk, hogy a zenitszögmérést tulajdonképpen külpontosan végezzük, azaz a zenitszög csúcsa nem a központra vonatkozik, hanem a központ felett a fekvőtengely magasságára. A magasságok meghatározásához tehát ismernünk kell a fekvőtengely központ feletti magasságát, az úgynevezett műszermagasságot. Leggyakrabban a műszermagasságot közvetlenül mérőszalaggal mérjük. A fekvőtengelyt az alhidádé oszlopon műszertől függően egy kis furat, vízszintes vonal vagy egyéb jel jelzi. Ha azonban a jel a műszer szerkesztési hibája következtében nem pontosan a fekvőtengely meghosszabbításában helyezkedik el, akkor tulajdonképpen a zenitszög csúcsát nem a megfelelő helyre vonatkoztatjuk. Ez gyakorlatilag analóg a vízszintes szögmérésnél az optikai vetítő igazítási hibája következtében végzett hibás pontraállással. A műszermagasság hibája elsősorban nagy pontosságú mérnökgeodéziai alkalmazásokban zavaró, ahol a műszermagasságot néhány tizedmilliméter pontossággal kell ismerni.

10.5.4 Az állótengely ferdeségi hibája

Az állótengely ferdeségének a térbeli irány függőleges síkjába eső vetülete a zenitszögmérésre jelentős hibahatást gyakorol. Az 10-10-dik ábrán az állótengely térbeli irány függőleges síkjába eső vetületét V’-vel jelöltük. Az állótengely ferdesége következtében ezért a ζ ’-vel jelölt szöget mérjük ζ helyett.

A 4. modulban levezettük a térbeli irány egységnyi helyvektorának koordinátáit az állótengely dőlésének és a dőlés irányának a függvényében (4.37. ábra). Egységvektorról lévén szó a Z(α) koordináta nem más, mint a dőlés következtében mért ζ ’ zenitszög koszinusza, azaz:

10.10. egyenlet

10-10. ábra. Az állótengely ferdeségi hibájának a hatása

A ζ ’szög koszinusza viszont a

növekményeként kapott függvényérték, így alkalmazhatjuk az analízisből jól ismert differenciális összefüggést:

10.11. egyenlet

azaz:

10.12. egyenlet

Viszont:

10.13. egyenlet

-t mindkét oldalból kivonjuk:

10.14. egyenlet

Egyszerűsítve

-val, végeredményben:

10.15. egyenlet

Vagy

10.16. egyenlet

A (10.16.)-os összefüggés alapján látható, hogy az állótengely ferdeségi hibájának a hatása maximális, ha

amikor a mért irány éppen a dőlés síkjába esik. Ezt az esetet szemlélteti valójában a 10.10-dik ábra is. A dőlés hatása nulla, ha

vagy

, amikor a térbeli irány függőleges síkja a dőlés síkjára merőleges. Az is látható, hogy a dőlés hatása független a zenitszög értékétől.

Az állótengely ferdeségi hibájának a hatása mérési módszerrel nem küszöbölhető ki. Hatása csökkenthető az állótengely gondos függőlegessé tételével, valamint valós idejű számítással figyelembe vehető, miután a kompenzátor meghatározta a dőlés nagyságát és irányát.

10.5.5 A magassági refrakció

A levegő súlyos és összenyomható közeg, alsó rétegei nyugvó állapotban súlyosabbak, mint a felső rétegei. A Földet lényegében szintfelületekkel határolt, különböző sűrűségű levegőrétegek veszik körül. A különböző sűrűségű rétegek törésmutatói különbözőek, vagyis a levegő törésmutatója inhomogén volta miatt nem állandó, hanem értékét állandó jelleggel változtatja. A törésmutató változás hozza magával, hogy a fény útja a levegőben nem egyenes, hanem görbe, mégpedig általános esetben felülről nézve domború görbe. A fénytörés miatt a tárgyakat magasabban látjuk, mint ahol azok a valóságban vannak, azaz a látszólagos zenitszög, és a látszólagos magassági szög nem egyezik meg a tényleges zenitszöggel és magassági szöggel, hanem azoktól kis mértékben eltér. A refrakció a magassági szöget nagyobbítja, a zenitszöget pedig kisebbíti.

10.17. egyenlet

A légkör fizikai állapotának és annak változásának következtében a refrakció zenitszögmérésre gyakorolt hatása számottevőbb, mint a vízszintes szögmérésre vonatkozóan. Zenitszögméréskor a refrakció következtében a refrakciógörbe térbeli irány függőleges síkjába eső érintőjét mérjük (10-11. ábra). A valódi és a mért térbeli irány által bezárt szög a refrakciószög, vagy más néven refrakciós szög, amelyet δ-val jelöltünk. A refrakciószög függ a levegő hőmérsékletétől, a légnyomástól, a levegő páratartalmától, valamint helyi, időben gyorsan változó körülményektől, például a szél erősségétől. A refrakciós szög és a meteorológiai változók közötti kapcsolatot közvetett úton, a levegő törésmutatójának ismeretében lehet megadni.

10-11. ábra. A magassági refrakció szemléltetése

A fizikából jól ismert a Fermat-elv, amely kimondja, hogy az elektromágneses hullámok, így köztük a fény is, terjedésük során a legrövidebb utat teszik meg. Mivel a közeg sűrűsége nem homogén, ezért a fénytörés törvényének megfelelően a törésszög pontról pontra változik, de a törésmutató és a beesési szög - amely esetünkben nem más, mint a zenitszög – szinuszának a szorzata a görbe mentén állandó. Két különböző, n1 és n2 törésmutatójú közeg esetén tehát:

10.18. egyenlet

Vagy általánosabb formábban

10.19. egyenlet

Ez pedig lehetőséget ad arra, hogy megvizsgáljuk a zenitszög változása és a törésmutató közötti összefüggést, amely pedig már a meteorológiai jellemzők függvénye. Képezzük (10.19.) teljes differenciálját. Mivel a jobb oldalon konstans szerepel, így annak deriváltja nulla, azaz:

10.20. egyenlet

10-12. ábra. A légköri sugártörés két különböző törésmutatójú közeg határán

Tételezzük fel, hogy ismerjük az n törésmutató térbeli változását leíró vektort, a törésmutató gradiens vektorát, amely merőleges egy adott réteg elemi felületére. Jelöljük ezt a gradiens vektort

-vel (olvasva: nabla n). Hasonlóan a potenciálkülönbség meghatározásánál leírtak szerint, ha a térben egy elemi ds vektor mentén elmozdulunk a gradiens vektorral ζ szöget bezáró irányban, akkor a törésmutató dn változása a ds vektor mentén a gradiensvektor és az elmozdulásvektor skalár szorzataként határozható meg (10-13. ábra):

10-13. ábra. A törésmutató változásának meghatározása tetszőleges irányban

10.21. egyenlet

A (10.21)-et (10.20)-ba helyettesítve, és az egyszerűbb olvashatóság érdekében az abszolút értékek jeleit elhagyva:

10.22. egyenlet

Amiből:

10.23. egyenlet

A (10.23) által adott differenciálhányados megadja a zenitszög út szerinti változását a törésmutató, a törésmutató változása és a zenitszög függvényében, amely a differenciálgeometriában tanultak szerint nem más, mint az r sugarú refrakciógörbe görbülete:

10.24. egyenlet

A refrakciógörbe alakját a vizsgálatok során körnek tételezik fel (10-14. ábra). A refrakciógörbe érintőjének az eltérése az irányzott P pontnál megegyezik a PP’ szakasz hosszával, amely, tekintettel arra, hogy a δ refrakciószög kicsi, közelítőleg egyenlő a Δ=PP’’ szakasz hosszával. Jelöljük t-vel a térbeli távolságot a fekvőtengely H pontja és az irányzott P pont között. Szintén közelítésekkel élve, a HP’’ szakasz hossza azonosnak tekinthető a t térbeli távolsággal, így alkalmazva Pitagorász tételét:

10.25. egyenlet

10-14. ábra. A refrakciószög meghatározása adott térbeli irány és távolság alapján

Kifejtve:

10.26. egyenlet

Mivel Δ kis érték, ezért négyzete másodrendűen kicsiny mennyiség, így (10.26)-ból rendezés után írhatjuk, hogy:

10.27. egyenlet

Viszont Δ kifejezhető a refrakciószög függvényében, mivel

10.28. egyenlet

Így (10.27) és (10.28) alapján:

10.29. egyenlet

Behelyettesítve a g refrakciógörbe által adott összefüggését, (10.24)-et (10.29)-be, kapjuk, hogy:

10.30. egyenlet

A (10.29)-es összefüggés jelentősége abban van, hogy az eredeti célkitűzésünknek megfelelően a refrakciószöget kifejeztük a törésmutató és annak változása függvényében adott zenitszögű és térbeli távolságú irány esetén. Ezáltal kapcsolat állítható fel a geodéziai szempontból fontos geometriai mennyiségek és a fizikai jellemzők között.

A legtöbb gyakorlati alkalmazásban a törésmutatót elegendő a szárazlevegő paraméterei alapján meghatározni. A λ = 590 nm hullámhosszúságú látható fényre az n törésmutatót a T hőmérséklet és a p légnyomás ismeretében a következőképpen számíthatjuk (Gottwald, 1985):

10.31. egyenlet

ahol

.

Az (10.31)-es összefüggésben a hőmérsékletet Kelvinben, a légnyomást hektopascalban kell behelyettesíteni. A

törésmutató változását elsősorban a törésmutató H magasság szerinti változása határozza meg. Ennek értéke:

10.32. egyenlet

Az (10.32)-ben szereplő

a hőmérséklet magasság szerinti változását, a hőmérsékleti gradienst jelöli. A hőmérsékleti gradiens értékét ˚C/m vagy K/m dimenzióban szokás megadni. Átlagos értékét -0.006...-0.001 K/m-nek szokás felvenni. Geodéziai alkalmazás szempontjából a törésmutató talajközeli változása a mértékadó. A homogén, egyenletesen napsütött talaj felett a hőmérsékleti gradiens elérheti a 0.25 K/m értéket is (Flach, 2000). A refrakciógörbe, valamint a refrakciószög vizsgálatára vonatkozóan számos tanulmány látott napvilágot. Magyarországon kiemelkedő Horváth Kálmán több tanulmánya, a külföldiek közül pedig Kukkamäki és Brocks munkássága. A refrakciógörbe alakját az egyes rétegek sűrűsége (törésmutatója) határozza meg. A gyakorlatban legtöbbször előforduló esetben mind a műszerállás, mind az irányzott pont a labilis alsó rétegben található, azaz amikor a melegebb levegő helyezkedik el alul, és a hőmérséklet a talajfelszíntől távolodva csökken. Ennek a rétegvastagságnak a középértéke 20...25 méter körüli, de elérheti a 30...35 métert is. A refrakciógörbe ebben a rétegben felülről nézve homorú görbe, mivel a hidegebb és sűrűbb rétegek felül helyezkednek el (10-15. ábra).

10-15. ábra. A refrakciógörbe alakja a labilis alsó rétegben

A talaj közelségére való tekintettel, a hőmérsékleti gradiens értéke a refrakciószöget jelentősen befolyásolja. A hőmérséklet napi alakulásának a következményeként általában a 10...15 óra között végzett mérések a legalkalmasabbak magassági szögmérésre, ugyanis a refrakció időbeli változása ekkor a legkisebb. A légköri tényezők változását teljesen ismerni és megállapítani nem tudjuk, ezért a refrakció értékének meghatározása csak közelítően lehetséges. A geodéziában az álláspont és az irányzott pont magasságkülönbsége rendesen kicsi érték a két pont távolságához képest, vagy a magassági szög csak csekély mértékben tér el a 0 foktól, vagy másképpen a zenitszög csak kis mértékben tér el a 90 foktól. A refrakciógörbe ilyen esetekben jó közelítéssel egy körnek tekinthető, a refrakció számértéke pedig azonosnak vehető légköri viszonyok mellett arányos a két pont függőlegesei közötti Ω szög felével (10.14 ábra és 10.17 képlet):

10.33. egyenlet

A k arányossági tényezőt refrakcióegyütthatónak vagy másnéven refrakciókoefficiensnek szoktuk nevezni. A k koefficiens átlagos értéke Gauss szerint +0.1306, tehát a refrakciógörbe valóban egy erősen lapult görbe.