Ugrás a tartalomhoz

Geodézia 12., A mérési hibák

Tarsoly Péter (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

12.4 A hibaterjedés fogalma

12.4 A hibaterjedés fogalma

A hibaelmélet kimondja, ha hibával terhelt mennyiségekből valamilyen ismert függvény vagy függvények segítségével újabb mennyiségeket határozunk meg, akkor azok is hibával terheltek. A hibaterjedés törvénye azt fejezi ki, hogy a meghatározó adatok megbízhatósági mérőszámainak ismeretében hogyan határozhatjuk meg a meghatározott mennyiségek megbízhatósági mérőszámait. Ha a geodéziai mérési eredmények független valószínűségi változónak, akkor a mérési eredmények függvényei is független valószínűségi változók. A hibaterjedés törvénye lehetőséget ad, hogy a függvények megbízhatósági mérőszámait meghatározzuk.

A mért mennyiségek jellemzésére geodéziában a középhiba értékét használjuk, így hibaterjedés esetén is a meghatározott mennyiség középhibáját határozzuk meg.

12.4.1 Hibaterjedés lineáris függvények esetén

Tétel: Egy állandó számmal való szorzás esetén a szorzat középhibáját úgy kapjuk, hogy a mért mennyiség középhibáját megszorozzuk a megadott állandó számmal.

A függvénykapcsolat: U=a*x

A függvény középhibája:

12.22. egyenlet

Tétel: összeg vagy különbség középhibájának négyzete egyenlő az egyes tagok középhibájának négyzetösszegével.

A függvénykapcsolat: U=x+y vagy U=x-y

12.23.egyenlet

A függvény középhibája:

Azaz tetszőleges lineáris függvény középhibája, ha a függvény alakja U=±ax±by ±cz ±... ±const:

12.24. egyenlet

12.4.2 Hibaterjedés nem lineáris függvények esetén

Nem lineáris függvények középhibája: a legegyszerűbben valamilyen lineáris függvényre vezetjük vissza Taylor-sorba fejtéssel; csak a lineáris tagokat tartjuk meg, és ezekre alkalmazzuk a fent megismert törvényszerűségeket. A hibaterjedés tehát alkalmazható minden olyan függvényre, amely folytonos, differenciálható és Taylor-sorba fejthető. A csak lineáris tagok megtartása és az összes többi felsőrendű tag elhanyagolása megengedhető közelítést jelent.

Legyen U ismeretlen mennyiség a megmért x, y, z... mennyiségek tetszőleges f függvénye, azaz a függvénykapcsolat: U=f(x, y, z...).

Nem lineáris függvény középhibája:

12.25.egyenlet

Ha a súlyokat ismerjük, akkor a számított érték súlya:

12.26.egyenlet

alakban adható meg.

Valamely függvény megfelelő középhibáját a következő lépésekben határozhatjuk meg:

  1. Képezzük a meghatározandó mennyiség parciális differenciálhányadosait sorba minden mérési eredmény szerint és kiszámítjuk ezek értékét a mérési eredmények behelyettesítésével.

  2. Szorozzuk a parciális differenciál hányadosok értékét a megfelelő középhibával és négyzetre emeljük őket.

  3. A szorzatokat összegezzük és négyzetgyököt vonunk, így kapjuk a meghatározott mennyiség középhibáját. A számítás során vigyázni kell, hogy a hosszméréseket és a hossz-középhibákat ugyanabban a mértékegységben helyettesítsük be (pl. mindent cm-ben). A szög-egységeket és szög-középhibákat radiánban kell behelyettesíteni.

A hibaterjedés törvényének felhasználása a geodéziai gyakorlatban, két esetben válhat szükségessé.

  • Az első eset, mikor meglévő mérési eredmények és ismert középhibák alapján becsülni kívánjuk a számított érték középhibáját.

  • Második esetben, ha egy meghatározott középhibájú meghatározás érdekében meg kívánjuk tervezni, hogy milyen módon és milyen megbízhatósággal végezzük el a méréseket.