Ugrás a tartalomhoz

Geodézia 12., A mérési hibák

Tarsoly Péter (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

12.5 A kiegyenlítő számítás alapelve és a legkisebb négyzetek módszere

12.5 A kiegyenlítő számítás alapelve és a legkisebb négyzetek módszere

Az előzőekben már láttuk, hogy a mérési eredmények mindig terheltek hibákkal. A mérési hibák következtében, ha ugyanazt a mennyiséget úgy határozzuk meg, hogy a mérések száma több mint a meghatározáshoz szükséges mérések száma (tehát fölös méréseket is végzünk), akkor különböző mérésekből számítva a meghatározandó értéket, különböző eredményeket kapunk. A fölös mérések végzésére a gyakorlatban mindig szükség van azért, hogy az ismeretlenek meghatározására ellenőrzésünk legyen. Így a meghatározott mennyiségekre mindig többféle értéket számíthatunk. Másrészt alapvető követelmény, hogy a meghatározásokat egyértelműen hajtsuk végre.

Például tekintsünk egy iránymérésekkel meghatározott alappontot, amelyet négy különböző külső pontból határoztunk meg. Két-két irányt kiválasztva, elvégezhetjük a pont koordinátáinak számítását előmetszéssel. Két különböző háromszögből számítva, két különböző koordináta értéket kapunk ugyanarra a pontra. Ezek az értékek nem térnek el ugyan lényegesen, de feltétlenül szükséges – a pont felhasználhatósága érdekében, - hogy a koordináta értéke egyértelmű legyen. Ilyen ellentmondással egyszerűbb esetekben is találkozhatunk. Pl. egy szakasz többszöri megmérése után az egymásnak ellentmondó mérési eredmények alapján egyértelműen kell megadnunk a szakasz hosszát. Az ilyen jellegű feladatokkal a kiegyenlítő számítás foglalkozik.

A kiegyenlítő számítás feladata egyértelmű. Olyan módon kell megváltoztatnunk, megjavítanunk az egyes mérési eredményeket, hogy azok ellentmondás nélkül kielégítsék a köztük fennálló matematikai feltételeket.

Ez az egyetlen kikötés azonban még végtelen sok lehetőséget hagy az ellentmondások megszüntetésére. Ezért még további feltétel szükséges a javítások végrehajtására.

Ilyen feltétel többféle módon felvehető; ezek a feltételek olyanok, hogy a javítások valamilyen függvényét minimalizálják.

Ennek a feltételnek a felvétele minden esetben önkényes. Ezt a feltételt Karl Friedrich Gauss elgondolása alapján a következő formában szokás felvenni.

12.27. egyenlet

→ min

Tehát a javítások súlyozott négyzetösszege minimum legyen. (Ezt nevezzük a legkisebb négyzetek módszerének)

A feltétel felvehető más formában is. Csebisev az abszolút értékben legnagyobb javítás minimalizálását kötötte ki.

12.28. egyenlet

A (12.27) és (12.28) feltételeken kívül más feltételeket is felvehetünk és azok mindegyike más-más javítási értékrendet (javítások sorozatát) jelenti. A (12.27) feltétel alapján meghatározott értékrendszert legvalószínűbb javítási értékrendszernek nevezzük. Az így meghatározott érték a legvalószínűbb, vagy a legmegbízhatóbb érték. A (12.28) feltétel alapján meghatározott értékeket legkedvezőbb értékeknek nevezzük. A geodéziai gyakorlatban majdnem kizárólag a legkisebb négyzet-(összeg)-ek módszerét alkalmazzuk. A legkisebb négyzetek módszerének leírását először Legendre francia matematikus közölte 1806-ban. Gauss első közlése 1809-ben jelent meg erről a témáról. Kb. ugyanebben az időben az amerikai Adrain is közli tőlük függetlenül a legkisebb négyzetek módszerét (1808).A legkisebb négyzetek módszere nem nyugszik feltétlenül vitathatatlan alapokon, de a gyakorlat mint egy hasznos elvet, eljárást általánosan alkalmazza.

12.5.1 A Gauss-féle hibatörvény

A méréseket terhelő hibákra Gauss a következő hibatörvényt állította fel:

  1. Egyenlő nagyságú pozitív és negatív hibák előfordulásának valószínűsége egyenlő.

12.29. egyenlet

  1. A hibák előfordulásának valószínűsége a hibák nagyságának növekedésével csökken. Nagy hibák ritkábban, kis hibák gyakrabban fordulnak elő.

12.30. egyenlet

ahol Δφ a Δ véletlen hiba kis mértékű változását jelenti.

  1. A második pont alatti kifejezés szélső értékekre értelmezve:

a/ Végtelen nagyságú hiba előfordulási valószínűsége 0

V ( ∞ ) = 0

12.31. egyenlet

b/ Legnagyobb valószínűsége a 0 nagyságú hiba elkövetésének van.

V ( 0 ) = max

12.32. egyenlet

12.5.2 Egy ismeretlenre végzett közvetlen mérések kiegyenlítése

A kiegyenlítés végrehajtása egyenlő megbízhatóságú mérési eredményekkel

Közvetlennek nevezzük a mérést, ha magát a meghatározandó mennyiséget mérjük meg: pl. ha két pont távolságát kívánjuk ismerni, és ezért megmérjük a két pontot összekötő legrövidebb vonaldarab (síkon egyenes darab) hosszát. Ha a mérést megismételjük, vagyis többször mérjük meg a meghatározandó mennyiséget, akkor a mérés elkerülhetetlen véletlen vagy szabályos hibái miatt általában egymástól eltérő mérési eredményeket kapunk.

Ha valamennyi mérés egyenlő megbízhatóságú, akkor a meghatározni kívánt mennyiség legvalószínűbb értéke (x) a mérési eredmények számtani közepe. Ez a legkisebb négyzetek módszerének alaptétele. A most következő levezetés ezért inkább csak példája kíván lenni annak, miként lehet általános esetben is a legvalószínűbb értéket meghatározni; egyúttal pedig arra is szolgálhat, hogy mintegy ellenőrzése legyen annak, hogy a kiindulásul felvett számtani középérték tényleg (megfelel a vv → min. feltételnek.

(A vv kifejezés a pvv általános kifejezésből úgy származik, hogy az egyenlő megbízhatóságú mérési eredmények közös súlyértékét vesszük fel súlyegységnek, tehát valamennyi mérésre vonatkozóan p = 1).

Legyenek az egyenlő megbízhatóságú mérési eredmények: (ahol a mérési eredmények száma: n). Az ide sorolható feladatok megoldásakor a következő lépésekben kell a kiegyenlítést elvégezni:

1. A mérési eredmények felírása

12.33. egyenlet

2. A legvalószínűbb érték képzése

12.34. egyenlet

3. A javítások számítása

12.35. egyenlet

4. Ellenőrzés

12.36. egyenlet

5. A javítások négyzetösszegének számítása

12.37. egyenlet

6. A súlyegység középhibája (dimenzió nélkül)

12.38. egyenlet

egy mérési eredmény középhibája (dimenziós mennyiség)

12.39. egyenlet

7. A legvalószínűbb érték súlya (dimenziós mennyiség)

12.40. egyenlet

8. A legvalószínűbb érték középhibája

12.41. egyenlet

9. Az egyes (egységsúlyú) mérési eredmények középhibája

12.42. egyenlet

Vigyázat! Csak számszerűleg egyenlő, hiszen a μi-nek van dimenziója.

A kiegyenlítés végrehajtása különböző megbízhatóságú mérési eredményekkel

Ha valamely mennyiség meghatározására különböző megbízhatóságú méréseket végeztünk, akkor a függvény minimumát kell keresnünk.

Legyenek a keresett mennyiség meghatározására közvetlenül végzett mérések eredményei:

12.43. egyenlet

A mérések súlya:

12.44. egyenlet

A kiegyenlítés lépései:

1. A mérési eredmények felírása

12.45. egyenlet

2. A súlyok felírása

12.46. egyenlet

3. A legvalószínűbb érték számítása

12.47. egyenlet

4. A javítások számítása

12.48. egyenlet

5. Ellenőrzés

12.49. egyenlet

6. A négyzetösszeg számítása

12.50. egyenlet

7. A súlyegység középhibája

12.51. egyenlet

8. A legvalószínűbb érték súlya

12.52. egyenlet

9. A legvalószínűbb érték középhibája

12.53. egyenlet

10. Az egyes mérési eredmények középhibája

12.54. egyenlet

A 10. lépésben meghatározott értékek, a még ki nem egyenlített mérési eredmények középhibái. Mivel a kiegyenlített mérési eredmények, az mennyiségek mind egyenlők a megmért mennyiség legvalószínűbb értékével, ezért a mérési eredmények kiegyenlített értékének középhibája megegyezik a legvalószínűbb érték középhibájával, -el.

12.5.3 Oda-vissza mérések kiegyenlítése

Egy mennyiség meghatározására két egyenlő megbízhatóságú mérést végeztünk (pl. egy távolságot megmértünk oda-vissza irányban). A mérési eredmények: L1, L2.

  • A kiegyenlítés lépései:

  1. Az észlelési differencia számítása

12.54. egyenlet

  1. A legvalószínűbb érték

12.55. egyenlet

  1. A mérési eredmény középhibája

12.56. egyenlet

  1. A legvalószínűbb érték középhibája

12.57. egyenlet