Ugrás a tartalomhoz

Geodézia 2., A Föld elméleti alakja

Gyenes Róbert (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

2.3 A Föld nehézségi erőtere és modellezése

2.3 A Föld nehézségi erőtere és modellezése

A föld nehézségi erőtere jellemzésének megértése céljából tekintsük a 2-4. ábrát, amely a Föld egy, a forgástengelyre illeszkedő metszetét ábrázolja.

2-4. ábra A tömegvonzás hatása

Tételezzük fel, hogy egy m tömegű test a felszínen helyezkedik el, és tűzzük ki célul a testre ható erők meghatározását. Mindenekelőtt a tömegvonzás hatását tárgyaljuk. Ha a Földet végtelen sok dVi térfogatelemre bontjuk, amelyeknek a tömege dMi, akkor ezek Newton tömegvonzási törvényének megfelelően

2.1. egyenlet

erővel hatnak az m tömegű testre és viszont. A (2.1.)-es összefüggés vektor formában a következőképpen írható:

2.2. egyenlet

A fenti összefüggésekben G jelöli az egyetemes gravitációs állandót, . A Föld belső szerkezetéből következően azonban az egyes dMi tömegelemeknek más és más a sűrűségük. Következésképpen közvetlenül nem is a tömegre, hanem az egyes tömegelemek sűrűségére van szükségünk. Így a sűrűség, térfogat és a tömeg közötti

2.3. egyenlet

összefüggést figyelembe véve, valamint konstans sűrűséget feltételezve a dMi tömegelem esetén írhatjuk, hogy

2.4. egyenlet

A (2.4.)-et (2.2.)-be helyettesítve, kapjuk, hogy:

2.5. egyenlet

A nehézségi erőtér modellezésekor a tömegvonzást úgy vesszük figyelembe, hogy (2.5.)-öt kiterjesztjük a Föld egészére vonatkozóan, azaz képezzük ezen erők eredőjét. Közelítésekkel így egy olyan gravitációs erőteret kapunk eredményül, ahol a tömegvonzást egy, a Föld M tömegével egyező tömegű tömegpont hozza létre, azaz a Föld teljes tömegét ebbe az egy pontba koncentráljuk. Ha a Föld alakját egy R sugarú gömbbel helyettesítjük, akkor m=1 egységnyi tömeget feltételezve a gravitációs (tömegvonzási) erő nagysága az R sugarú Föld felszínén:

2.6. egyenlet

2-5. ábra A Föld forgásának hatása

A Föld forgásának a következtében azonban a Földfelszín egy pontjában lévő m tömegre hat a centrifugális erő is. A centrifugális erő a forgástengelyre merőleges és a forgástengelytől „kifelé” hat. Most tehát csak azt feltételezzük, hogy az m tömegre csak a forgásból származó erő, azaz a centrifugális erő hat. Alkalmazzuk Newton II. törvényét, miszerint ebben az esetben a centrifugális erő az m tömegű test aCP centripetális gyorsulásával tart egyensúlyt, azaz

2.7. egyenlet

Viszont a centripetális gyorsulás egy p sugarú körpályán v kerületi sebességgel mozgó test esetén

2.8. egyenlet

Bevezetve az ω szögsebességet a v kerületi sebesség helyett, nevezetesen , majd behelyettesítve (2.8.) és (2.7.) egyenletekbe, kapjuk, hogy

2.9. egyenlet

Szintén m=1 egységnyi tömegpont esetén (2.9.) a következő lesz

2.10. egyenlet

A centrifugális erő vektora pedig

2.11. egyenlet

Az m tömegű testre azonban nemcsak a Föld, de más égitestek is tömegvonzást gyakorolnak. A nehézségi erőtér modellezésekor általában csak a Nap és a Hold hatását veszik figyelembe (2-6. ábra). A gravitációs erő az említett két égitest esetén a (2.5.) alapján írható fel:

2.12. egyenlet

és

2.13. egyenlet

2-6. ábra A Hold és a Nap tömegvonzásának a hatása

A nehézségi erőteret tehát a Föld és más égitestek vonzása, valamint a Föld tengelykörüli forgásának a segítségével írhatjuk le. Fontos kihangsúlyozni, hogy a fenti gondolatmenetben feltételeztük, hogy a pont a terepfelszínen helyezkedik el és felette csak légüres tér található. Azonban az atmoszférának is van tömegvonzása, ami nem elhanyagolható. A gyakorlati számítások során azonban a Föld M tömegét is úgy értelmezik, hogy az magában foglalja az atmoszféra tömegét is. A nehézségi vektort tehát három vektor eredőjeként kapjuk:

2.14. egyenlet

A (2.14.)-es összefüggés gyakorlati szempontból több problémát is felvet. Az egyik a harmadik tag, nevezetesen a Nap és a Hold tömegvonzása. A Föld Nap körüli keringése, a Hold Föld körülikeringése, valamint a Föld forgása következtében a Földfelszín egy tetszőleges pontjában lévő pont Naptól és Holdtól való távolsága nem állandó, hanem időben változik. Következésképpen a g nehézségi vektor az idő függvénye, azaz nem állandó. Ezt az ún. ár-apály hatást azonban számítással figyelembe tudjuk venni, és hatását le tudjuk választani (2.14.)-ből. Ezen kívül, mint azt az már említettük, hogy a Föld tengelykörüli forgása sem egyenletes, időben változik. Ennek megfelelően a centrifugális erő is függvénye az időnek. Ez a változás azonban olyan csekély, hogy jelenlegi tárgyalásmódunkat ez nem befolyásolja.

2-7. ábra A nehézségi vektor származtatása

A nehézségi erőteret a nehézségi vektoron keresztül jellemezni körülményes, hiszen ehhez a vektor mindhárom komponensét kellene térben és időben egyaránt leírni. Ezért praktikusabb egy skalár mennyiséget bevezetni, amellyel a nehézségi erőteret egyszerűbben tudjuk jellemezni. Ez a skalármennyiség a potenciál, vagy egyszerűbben fogalmazva, a munka lesz. Ennek megértéséhez tekintsük a 2-8. ábrát.

2-8. ábra A nehézségi erőtérben végzett munka

Tételezzük fel, hogy az egységnyi m tömegű testet a Föld nehézségi erőterében a P0 pontból egy elemi ds vektor mentén a Pi pontba mozgatjuk. A P0 pontban az m tömegű testre hat a g nehézségi erő. Amíg az m tömegű pontot a P0 pontból a Pi pontba mozgatjuk, a nehézségi erő ellen munkát végzünk, amelynek értéke

2.15. egyenlet

A (2.15. )-ös összefüggésben jelöli a nehézségi vektor és az elmozdulásvektor által bezárt szöget. Ha a P0 ponthoz tartozó potenciált (helyzeti energiát) W0-val jelöljük, akkor a W0 helyzeti energiának a megváltozását fejezi ki. Azaz a pont egy W0 potenciálú helyről egy Wi potenciállal jellemezhető helyre került. Tételezzük fel, hogy az elmozdulás a P0 pontbeli nehézségi vektor irányára merőlegesen történik egy attól elemi ds távolságra (2-9. ábra). Ebben az esetben

2.16. egyenlet

azaz munkavégzés nem történik. Ha az elemi ds vektort a nehézségi vektor irányára merőlegesen körbeforgatjuk, akkor az elmozdulásvektor egy olyan elemi nagyságú felületet ír le, amelynek minden pontjára teljesül a (2.16.)-os összefüggése. Ezen elemi felület bármely pontjában a potenciál értéke W0-val egyenlő. Ha most a Föld nehézségi erőterében képezzük ezen végtelen sok elemi felület összességét, akkor eredményül egy olyan felületet kapunk, amelynek minden pontjában a potenciál értéke állandó lesz. Ezt az azonos potenciálú felületet nevezzük ekvipotenciális felületnek. A potenciál vagy potenciálkülönbség bevezetésével tehát a nehézségi vektorteret ekvipotenciális felületekkel is le tudjuk írni. Ezeket a felületeket más néven szintfelületeknek nevezzük.

2-9. ábra A szintfelület származtatása

A kérdés azonban az, hogy a Föld elméleti alakjának a tárgyalásakor mit tekintsünk a W0 értékű alapszintfelületnek. A Föld felszínét mintegy 70 százalékban óceánok és tengerek borítják. Természetesnek tűnik ez alapján, hogy válasszuk azt a szintfelületet, amely ezt a képzeletbeli, nyugalomban lévő közepes óceán- és tengerszintet a legjobban megközelíti. Ezt a szintfelületet, amely képzeletben egybeesik a nyugalomban lévő közepes óceán vagy tengerszinttel, nevezzük elméleti Földalaknak, vagy más néven geoidnak.

Utalva a 2.2. fejezetre látható, hogy a Föld elméleti alakjára vonatkozóan tisztán fizikai alapokon ugyanarra az eredményre jutottunk, mint Bouguer tisztán geometriai és csillagászati mérések alapján. Fizikai értelemben az alapelv tehát egyszerűnek tűnik, hiszen „csak” ismerni kell a nehézségi gyorsulás értékét a közepes óceán vagy tengerszint magasságában. Ez azonban több problémát vet fel. Egyrészt szükség van olyan műszerre, amellyel mérni lehet a nehézségi gyorsulás értékét. Ezeket a műszereket nevezzük gravimétereknek. A graviméterekkel azonban a tengeren sokáig nem tudtak pontos nehézségi méréseket végezni. A másik probléma a szárazföldi területekkel kapcsolatos. A méréseket a terepfelszínen vagy a felszín alatt hajtjuk végre, és nem a tengerszinten. A terepi mért gyorsulásértékeket tehát a tengerszintre kell redukálni. Ezt viszont csak akkor tudjuk megtenni, ha ismerjük a pontos sűrűségeloszlást a mérés helye és a tengerszint között. George Gabriel Stokes (1819-1903) ír fizikus 1849-ben ismertette ezzel kapcsolatos elméletét ’On the variation of gravity at the surface of the Earth’ című munkájában. Ebben ismerteti a ma Stokes képletének nevezett összefüggést, amelynek különböző módosított alakjai szolgálnak ma is alapul a geoid nehézségi méréseken alapuló meghatározásához. Elméletében feltételezte, hogy a nehézségi gyorsulás értéke a tengerszinten mindenhol ismert. Viszont a nehézségi gyorsulást nem ismerjük a hely folytonos függvényeként, hiszen nehézségi adatok csak ott állnak rendelkezésre, ahol méréseket is végeztek. Ezenkívűl a nehézségi mérések geoidra történő redukciója is számos kérdést vet fel a felszín alatti sűrűségeloszlás nem kielégítő ismerete miatt.

A geoid, mint alapszintfelület, nem írható le zárt matematikai összefüggésekkel. A felület bonyolultsága miatt nem alkalmas arra, hogy a kétdimenziós helymeghatározással kapcsolatos számításokat azon elvégezzük. Szükségünk van ezért egy közelítésre, bevezetve egy olyan matematikailag kezelhetö szabályos felületet, amely a geoidot globálisan a legjobban megközelíti. Ezt a forgási ellipszoidot azonban nem csak geometriailag, hanem fizikailag is definiáljuk, mégpedig a következőképpen:

  • a forgási ellipszoid tömege megegyezik a Föld tömegével,

  • a forgási ellipszoid szögsebessége megegyezik a Föld forgási szögsebességével,

  • a forgási ellipszoid felszíne is ekvipotenciális felület,

  • a forgási ellipszoid X és Z geocentrikus koordinátatengelyekre vonatkozó inercianyomatékainak különbsége megegyezik a geoid megfelelő koordinátatengelyekre vonatkozó inercianyomatékainak a különbségével, azaz IZZ(geoid)-IXX(geoid)=IZZ(ellipszoid)-IXX(ellipszoid)

Az X, Y és Z tengelyekre vonatkozó inercianyomatékokat merev test esetén, feltételezve, hogy a test elemi mi tömegpontokból épül fel, amelyeknek a koordinátái Xi, Yi és Zi, a következőképpen definiáljuk:

2.17. egyenlet

2.18. egyenlet

2.19. egyenlet

A definíció alapján tehát a forgási ellipszoid is rendelkezik saját nehézségi erőtérrel. Ezt a nehézségi erőteret nevezzük normál nehézségi erőtérnek, a forgási ellipszoidot pedig normál ellipszoidnak. Tekintettel arra, hogy a normál ellipszoid a geoidnak a közelítése, annak egyszerűsített modellje, ezért mindazon fizikai mennyiségek, amelyekkel a geoid leírható, alkalmazhatóak a normál ellipszoidra is. A közelítések miatt viszont ezek a mennyiségek egymással nem egyeznek meg, kis mértékben eltérnek egymástól. Mivel azt mondtuk, hogy a forgási ellipszoid is ekvipotenciális felület, ezért az is jellemezhető egy bizonyos potenciál értékkel, amelyet megkülönböztetésül a geoidra vonatkozó W0 potenciáltól U0-val fogunk jelölni és normál potenciálnak nevezzük. A geoidra vonatkozó és a normál potenciál különbségét potenciálzavarnak nevezzük, és a következőképpen definiáljuk:

2.20. egyenlet

Hasonlóan a potenciálértékekhez, a geoidra vonatkozónehézségi gyorsulás sem egyezik meg a forgási ellipszoid felszínére vonatkozó normál nehézségi gyorsulás értékével. A kettő különbségét nehézségi anomáliának nevezzük:

2.21. egyenlet

A geoid és a normál ellipszoid közötti eltérés a közelítésekből következően nemcsak potenciál-és gyorsulásegységekben fejezhetők ki, hanem hosszegységben is. Ez az úgynevezett geoid magasság vagy geoid unduláció, amely nem más, mint a geoid és a normál ellipszoid közötti távolság a ponthoz tartozó ellipszoidi normális mentén értelmezve. A geoid magasság egyszerűen számítható, ha ismerjük egy terepi P pont tengerszint feletti H-val jelölt magasságát, valamint annak ellipszoid feletti h magasságát (2-11. ábra).

2-10. ábra A nehézségi erőtér anomáliái

2-11. ábra A geoid magasság értelmezése

A normál nehézségi vektor a normál ellipszoid felszínének bármely pontjában merőleges az ellipszoid felszínére, hasonlóan, mint ahogy a nehézségi vektor is a szintfelületre. Azonban a geoid egy tetszőleges pontjában a nehézségi és a normál nehézségi vektor iránya nem egyezik meg, hanem egymással valamekkora szöget zárnak be. Ezt nevezzük függővonal-elhajlásnak (2-10. ábra). Attól függően, hogy a függővonal-elhajlást hol értelmezzük, különböző függővonal-elhajlás definíciókat vezettek be, ezek részletezésétől azonban most eltekintünk.

A fentebb tárgyalt mennyiségek, azaz a potenciálzavar, a nehézségi anomália, a geoid magasság és a függővonal-elhajlás tehát azt fejezik ki, hogy a normál ellipszoid mennyire tér el a geoidtól. Ezeket a mennyiségeket ezért összefoglaló néven a nehézségi erőtér anomáliáinak nevezzük. Megemlítjük, hogy további mennyiségek is használatosak a nehézségi erőtér anomáliáinak a jellemzésére, ezek további ismertetésétől azonban eltekintünk. Azokra további szaktárgyak keretében a későbbi tanulmányaink során még visszatérünk.

A geodéziában elsősorban a geoid magasságot és a függővonal-elhajlást használjuk a nehézségi erőtér anomáliáinak a jellemzésére. Globálisan a geoid magasság -110 m és + 88 m között változik. A potsdami Geoforschungszentrum honlapján kiváló animáció található (2-12. ábra) annak szemléltetésére, hogyan néz ki a geoid a geoid magasságok alapján. A jobb szemléletesség érdekében a megjelenítés méretaránya és a nézőpont is változtatható.

2-12. ábra A geoid (http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/ICGEM.html)