Ugrás a tartalomhoz

Geodézia 2., A Föld elméleti alakja

Gyenes Róbert (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

2.4 Koordináta transzformációk

2.4 Koordináta transzformációk

Az 1. modulban láttuk a különböző helymeghatározó adatok megadási és értelmezési módját. Megismerkedtünk az egy-, a két- és a háromdimenziós helymeghatározó adatok vonatkoztatási és koordináta rendszereivel. A gyakorlati feladatok során azonban gyakran találkozunk olyan esettel, hogy egy pont adott vonatkoztatás rendszerbeli koordinátáit át kell számítanunk egy másik vonatkoztatási rendszerbe. Ezekben az esetekben ismernünk kell a két vonatkoztatási rendszer közötti kapcsolatot. Az átszámításokat összefoglaló néven koordináta transzformációknak nevezzük, amelyeket a kapcsolat típusát leíró transzformációs paraméterek felhasználásával hajtunk végre. A koordináta transzformációkat a pontok helymeghatározó adatainak dimenziója és a kapcsolat típusa alapján osztályozzuk. Ennek megfelelően beszélünk két- és háromdimenziós, más néven síkbeli és térbeli transzformációkról. A kapcsolat típusa a transzformációt leíró matematikai-geometriai modell alapján adható meg. Ilyen osztályozás alapján beszélünk egybevágósági, hasonlósági, affin, stb. transzformációkról. A koordináta transzformációknak széles körű alkalmazásával találkozunk a későbbiek során több szaktárgyban is, ezért alapvető fontosságú, hogy a koordináta transzformációk alapjait részletesen megismerjük. Ebben a fejezetben a síkbeli transzformációk közül a síkbeli egybevágósági, hasonlósági és affin-, valamint a térbeli egybevágósági- és hasonlósági transzformációk matematikai modelljeit mutatjuk be.

2.4.1 A koordináta transzformációk matematikai modelljei

Mielőtt részletesen tárgyalnánk a levezetéseket, célszerű először megismerkedni a síkbeli és térbeli transzformációk fentebb felsorolt típusainak geometriai jelentésével. Példaként tekintsünk egy N1 négyzetet, amelynek adottak a pontjai koordinátákkal egy YX geodéziai koordináta rendszerben (2-13. ábra).

2-13. ábra

Tételezzük fel, hogy ugyanebben a koordináta rendszerben adott egy N2-vel jelölt négyzet is a sarokpontjainak a koordinátáival. Az N2 négyzet azonban az N1 négyzettől eltérő méretű és elhelyezésű. A kérdés az, hogyan lehet az N1-gyel jelölt négyzetet az N2-vel megfeleltetni, azaz kapcsolatba hozni az A1-A2, B1-B2, C1-C2 és a D1-D2 pontpárok, ún. azonos pontok alapján? Mint a 2-14. ábra alapján látható, az oldalak egymással nem párhuzamosak, ezért először az N1 négyzetet elforgatjuk úgy, hogy az említett pontpárok által alkotott oldalak egymással párhuzamosak legyenek (2-14.a. ábra). Ezt a forgatást tetszőleges pont körül végezhetjük, a megoldás szempontjából közömbös.

2-14. ábra A síkbeli hasonlósági transzformáció értelmezése

Ezt követően az N1 négyzet A1 pontját eltoljuk a neki megfelelő A2 pontba (2-14.b. ábra). Ennél a lépésnél még szemléletesebben látható, hogy a két négyzet egymással nem egybevágó, ezért meg kell még változtatnunk az N1 négyzet méretarányát (2-14.c. ábra), amelynek eredményeként a két négyzet egymással már egybevágó lesz. A két négyzet közötti kapcsolatot tehát úgy valósítottuk meg, hogy az N1 négyzetet először elforgattuk, majd eltoltuk a koordinátatengelyek irányában és végül megváltoztattuk a méretarányát. Ezt a transzformációt hasonlósági transzformációnak nevezzük, amelyet ennek megfelelően négy paraméterrel tudunk tehát jellemezni:

  • két koordinátatengely irányú eltolás,

  • egy forgatás,

  • egy méretaránytényező.

Ha a transzformációt a 2-14.b. ábránál abbahagytuk volna, akkor csak eltolást és forgatást végzünk, de méretarányváltoztatást nem. Ezt nevezzük egybevágósági transzformációnak.

A 2-15. ábra egy négyzet és egy paralelogramma közötti kapcsolat leírása követhető nyomon. Először megszüntetjük az A1-nél lévő derékszöget úgy, hogy az egyezzen a paralelogramma ϕ szögével (2-15.b. ábra), majd elvégezzük az így kapott rombusz α szöggel történő forgatását a megfelelő oldalak párhuzamossá tételével. Ezt követően eltoljuk a rombusz A1 pontját a paralelogramma A2 pontjába (2-15.c. ábra) és végül megváltoztatjuk a rombusz oldalainak a hosszát (2-15.d. ábra). Nyilvánvaló, hogy ehhez két különböző méretaránytényezőt kell alkalmazni. Ezt a transzformációt affin transzformációnak nevezzük, amelyet összesen tehát 6 paraméter ír le:

  • két koordinátatengely irányú eltolás,

  • két méretaránytényező,

  • egy forgatási szög,

  • egy szögtorzulás.

A bemutatott transzformációknak van egy geomatikai szempontból rendkívül fontos és nevezetes tulajdonsága, nevezetesen a kolinearitás. A kolinearitás azt jelenti, hogy az eredetileg egy egyenesre illeszkedő pontok a transzformáció eredményeként is egy egyenesre illeszkednek (2-16. ábra).

2-15. ábra A síkbeli affin transzformáció értelmezése

2-16. ábra A kolinearitás

A síkbeli transzformációknak létezik a térbeli megfelelője is. Két különböző élhosszúságú kocka térbeli hasonlósági-, egy kocka és egy paralelepipedon között pedig térbeli affin transzformáció alapján létesíthető kapcsolat (2-17. ábra).

2-17. ábra A térbeli hasonlósági és a térbeli affin transzformáció szemléltetése

A síkbeli és térbeli transzformációk matematikai modelljének levezetésekor azonban a 2-14., 2-15. és 2-17. ábráktól eltérő utat választunk, aminek az oka abban keresendő, hogy a gyakorlatban valójában egy pont két különböző vonatkoztatás-rendszerbeli koordinátáival dolgozunk. Azaz, például nem a 2-13. ábrán látható N1 négyzetet mozgatjuk és forgatjuk, hanem a koordinátarendszert magát (2-18. ábra). Ennek megfelelően a feladatot úgy fogalmazzuk meg, hogy adottak egy pont yFxF ún. forrás rendszerbeli koordinátái, és keresendők a pont yCxC célrendszerbeli koordinátái, amelyeket a forrás koordinátarendszer eltolásával, forgatásával és egységvektorai méretarányának megváltoztatásával kapunk.

2-18. ábra A forrás és a cél koordinátarendszer értelmezése

2.4.2 A síkbeli egybevágósági transzformáció

Az összefüggések levezetésének megértéséhez tekintsük a 2-19. ábrát. Adott az YFXF forrás koordinátarendszer, amelyben ismerjük a pont yF és xF koordinátáit. Tűzzük ki célul a pont yC és xC célrendszerbeli koordinátáinak a meghatározását úgy, hogy a forrás koordinátarendszert geodéziai pozitív értelemben alfa szöggel elforgatjuk az origó körül.

2-19. ábra A síkbeli egybevágósági transzformáció közös origó esetén

Jelöljük iF, jF-fel, valamint iC és jC-vel a megfelelő egységvektorokat. A forrás koordinátarendszerben a P pontba mutató helyvektor a következő:

2.22. egyenlet

Hasonlóan a helyvektor a cél koordinátarendszerben:

2.23. egyenlet

A P pont koordinátái a cél koordinátarendszerben az rC helyvektor és a megfelelő egységvektorok skalár szorzatai:

2.24. egyenlet

Tekintettel arra, hogy a két koordinátarendszer origója közös, ezért írható, hogy

2.25. egyenlet

Ennek megfelelően a célrendszerbeli koordináták felírhatók a forrásrendszerbeli helyvektor függvényeként, ha (2.24.)-be a forrás rendszerbeli helyvektort helyettesítjük:

2.26. egyenlet

Azaz

2.27. egyenlet

Az analitikus geometriából viszont jól ismertek a következő összefüggések:

2.28. egyenlet

Végeredményben tehát (2.27.) és (2.28.) alapján írhatjuk, hogy

2.29. egyenlet

A (2.29.)-os összefüggéseket célszerűbb mátrix alakban is felírni a későbbi egyszerűbb tárgyalásmód érdekében a következő formában

2.30. egyenlet

A forgatási szög szögfüggvényeit magában foglaló 2x2-es mátrixot forgatómátrixnak nevezzük. További egyszerűsítést jelent a felírásban, ha a megfelelő koordinátarendszerbeli koordinátákat egy xF és xC vektorba foglaljuk, a forgatómátrixot pedig R-rel jelöljük. Ekkor (2.30.) röviden a következő:

2.31. egyenlet

Ha a két koordinátarendszer origója nem azonos (2-20. ábra), akkor a forrás koordinátarendszer origóját a cél koordinátarendszerbeli koordinátatengelyekkel párhuzamosan tY és tX értékekkel eltoljuk. A (2.29.) és (2.30.) egyenletek ekkor a következőképpen módosulnak:

2.32. egyenlet

Vagy

2.33. egyenlet

2-20. ábra Az eltolás figyelembevétele

A (2.32.) vagy a (2.33.)-al adott összefüggéseket a síkbeli egybevágósági transzformáció transzformációs egyenleteinek nevezzük.

2.4.3 A forgatómátrix tulajdonságai

A forgatómátrix rendelkezik néhány speciális és nevezetes tulajdonsággal, amelyeket a későbbiekben többször felhasználunk majd nemcsak a síkbeli, hanem a térbeli transzformációkhoz is. Az egyik nevezetes tulajdonsága, hogy determinánsa 1-gyel egyenlő:

2.34. egyenlet

Ha a forgató mátrix oszlopait vagy sorait úgy tekintjük, hogy annak elemei egy-egy, p1 és p2 vektor koordinátái, azaz

2.35. egyenlet

akkor képezve skalár szorzatukat, kapjuk, hogy

2.36. egyenlet

A két vektor tehát egymásra merőleges. Ebből adódik a forgatómátrix egy újabb tulajdonsága, nevezetesen az, hogy ortogonális mátrix.

A későbbiekben felhasználjuk majd a forgatómátrix inverzét, amely a tulajdonságai következtében szintén speciális felépítésű és a forgatómátrixból egyszerűen számítható. A (2.34.)-es tulajdonság alapján könnyen igazolható, hogy a forgatómátrix inverze megegyezik annak transzponáltjával, azaz

2.37. egyenlet

2.4.4 A síkbeli hasonlósági transzformáció

A síkbeli hasonlósági transzformáció esetén a levezetésekhez a síkbeli egybevágósági transzformációnál leírtakból indulunk ki, itt viszont figyelembe kell vennünk még egy méretaránytényezőt is. A méretaránytényező a modellben úgy jut kifejezésre, hogy a forrás és a cél koordinátarendszerben az egységvektorok hossza különböző, azaz

2.38. egyenlet

Ennek megfelelően definiálunk egy s méretaránytényezőt a következőképpen:

2.39. egyenlet

Figyelembe véve (2.39.)-et, (2.27.) a következőképpen írható:

2.40. egyenlet

Ismét alkalmazva a (2.28.) alatti skalár szorzatokra vonatkozó összefüggéseket, (2.40.) a következő:

2.41. egyenlet

Figyelembe véve az általános esetet, a két eltolás paraméter bevezetésével írhatjuk, hogy:

2.42. egyenlet

A (2.42.) alatt megadott összefüggéseket a síkbeli hasonlósági transzformáció transzformációs egyenleteinek nevezzük. Gyakran az eredeti paraméterek közül az s méretaránytényező és az α forgatási szög helyett új segédváltozókat vezetnek be a következő formában:

2.43. egyenlet

Így (2.42.) az új segédparaméterek bevezetésével a következő:

2.44. egyenlet

A méretaránytényező (2.39.)-el megadott formája alapján könnyű belátni, hogy az mértékegység nélküli mennyiség. Egyes alkalmazásokban viszont a méretaránytényezőt egy egységnyi hossz, például az 1 km-es távolság változásaként, additív módon adják meg. Ha például a méretaránytényező értéke , akkor az 1 km-es távolság m-re változik a hasonlósági transzformáció eredményeként, azaz 74 mm-rel hosszabb lesz. A méretaránytényezőt ezért írhatjuk úgy is, hogy s = +74 mm/km. Hasonlóan az s = -45 mm/km-es érték megfelel s=0.999 955 multiplikatív formában megadott méretaránytényezőnek.

2.4.5 Az inverz transzformáció

A síkbeli egybevágósági transzformáció (2.33.)-al megadott összefüggése egyszerű felírási módot ad a (2.4.2) fejezetben tárgyalt feladat fordítottjának a megoldására. Azaz feltételezzük, hogy rendelkezésre állnak az eltolás és forgatás paraméterek, de a pontok koordinátái a cél koordinátarendszerben adottak, így most a forrás rendszerbeli koordinátákat kell meghatároznunk. Induljunk ki ezért a (2.33.)-as egyenletből:

2.45. egyenlet

A (2.45.)-öt rendezve kapjuk az inverz transzformáció összefüggéseit:

2.46. egyenlet

Alkalmazva (2.37.)-et, írhatjuk, hogy

2.47. egyenlet

A (2.42.) alatti összefüggések alapján a hasonlósági transzformációra is megadhatjuk az inverz transzformáció egyenletét mátrixok segítségével:

2.48. egyenlet

2.4.6 A síkbeli affin transzformáció

A síkbeli affin transzformáció összefüggéseinek a megértéséhez tekintsük a 2-21. ábrát. Az egyszerűség érdekében a két koordinátarendszer origóját ugyanabban a pontban vettük fel. A szögtorzulást a koordinátatengelyek merőlegestől való eltérésével modellezzük.

2-21. ábra A síkbeli affin transzformáció

Az természetesen önkényes, hogy a szögtorzulást mely koordinátatengelyekre vonatkozóan értelmezzük. A 2-21. ábra szerint a ϕ szögtorzulás úgy lett megválasztva, hogy a forrás koordinátarendszer koordinátatengelyei nem merőlegesek egymásra. Első lépésben a szögtorzulás és a forgatás hatását vizsgáljuk meg. A (2.41.)...(2.43.) összefüggéseket ebben az esetben is közvetlenül alkalmazhatjuk:

2.49. egyenlet

2.50. egyenlet

2.51. egyenlet

2.52. egyenlet

Mivel a két koordinátarendszer origója közös, ezért (2.49.)-et behelyettesíthetjük a (2.51.) és (2.52.) egyenletekbe a cél koordinátarendszerbeli helyvektor összefüggésébe:

2.53. egyenlet

Viszont

2.54. egyenlet

Azaz

2.55. egyenlet

Az affin transzformáció két méretaránytényezőjét a megfelelő egységvektorok hányadosaként definiáljuk. Az Y koordinátatengely irányában a méretaránytényező a következő:

2.56. egyenlet

Az X koordinátatengely irányában pedig:

2.57. egyenlet

A (2.56.) és (2.57.) összefüggések felhasználásával (2.55.) most már a következőképpen írható:

2.58. egyenlet

Ha bevezetjük a két koordinátatengely irányú eltolást, akkor végeredményben a síkbeli affin transzformáció egyenletei:

2.59. egyenlet

A hasonlósági transzformációnál megismertek szerint az affin transzformáció egyenleteit is új segédváltozók bevezetésével szokás felírni. Legyenek ezek a segédváltozók a következőképpen definiálva:

2.60. egyenlet

2.61. egyenlet

2.62. egyenlet

2.63. egyenlet

Így (2.59.) az új jelölésekkel

2.64. egyenlet

A (2.44.) és a (2.64.) összefüggésekkel kapcsolatban meg kell említeni több fontos dolgot. Vegyük észre, az új segédváltozók bevezetésével a transzformációs paraméterek száma természetesen változatlan maradt. A hasonlósági transzformációnál a méretaránytényezőt és a forgatási szöget, míg az affin transzformáció esetén a szögtorzulást, a forgatási szöget és a két méretaránytényezőt használtuk fel a négy segédparaméter bevezetéséhez. Ennek oka az, hogy a gyakorlatban egyszerűbb meghatározni a bevezetett segédparamétereket, mert rájuk nézve a (2.44.) és (2.64.) egyenletek lineárisak, míg az eredeti paraméterekre nézve a (2.41.) és (2.59.) egyenletek nem lineárisak, kivéve a két eltolás paramétert. Sok szakkönyv ezért helytelenül fogalmaz, mikor azt olvassuk bennük, hogy a hasonlósági és az affin transzformáció lineáris transzformáció. Ez szabatosan fogalmazva az eredeti paraméterekre nézve nem igaz. A segédparaméterekkel felírt (2.44.) és (2.64.) összefüggésekre azonban igen.

2.4.7 A térbeli egybevágósági és hasonlósági transzformáció

A térbeli egybevágósági és hasonlósági transzformációnak többféle megoldása létezik, amelyek a forgatás értelmezésében térnek el elsősorban egymástól. Ebben a fejezetben a geomatikai gyakorlatban leggyakrabban alkalmazott ún. Euler-féle forgatásokkal történő megoldást mutatjuk be. Ennek lényege a 2-22. ábrát tekintve érthető meg.

2-22. ábra A térbeli transzformáció: forgatás és eltolás

A forrás és a cél koordinátarendszer tetszőleges helyzetet foglal el a térben egymáshoz viszonyítva. Ahhoz, hogy a forrás koordinátarendszer tengelyeit párhuzamossá tegyük a cél koordinátarendszer megfelelő tengelyeivel, a forrás koordinátarendszer tengelyei körül forgatásokat hajtunk végre egymást követő sorrendben. Miután elérjük, hogy a három egymást követő forgatással a koordinátatengelyek párhuzamosak, elvégezzük a koordinátatengely irányú eltolásokat. Ezek a műveletek a hasonlósági transzformáció esetén még kiegészülnek a forrás koordinátarendszer méretarányának a megváltoztatásával.

Tételezzük fel, hogy a forgatásokat először az X, majd az Y, végül a Z tengely körül végezzük α, β, és γ szögekkel. Az egyszerűség érdekében, hasonlóan a síkbeli transzformációknál megismert levezetésekhez, feltételezzük, hogy a két koordinátarendszer origója egybeesik. A forgatások értelmezéséhez először is el kell döntenünk, hogy mit tekintünk pozitív forgatási szögnek. Tekintsük pozitív forgatási szögnek az óramutató járásával egyező forgatási irányt, úgy, hogy az origót a forgatás során mindig a megfelelő koordinátatengely pozitív irányából szemléljük. Nézzük először az X tengely körüli forgatást. Az YZ tengelyek által kifeszített síkot a pozitív X tengely irányából látjuk a 2-23. ábrán. A forrás koordinátarendszer XF tengelye körüli forgatás csak az YF és ZF koordinátákra van hatással, hiszen ezen forgatás során a pont YFZF tengelyek által kifeszített síktól való távolsága, nevezetesen az XF koordináta nem változik. Jelöljük az α szöggel történő forgatás eredményeként kapott koordinátákat Xα, Yα és Zα betűkkel. Az Yα és Zα koordinátákra a (2.30.)-al megadott összefüggések írhatók fel:

2.65. egyenlet

Valamint

2.66. egyenlet

A (2.65.) és (2.66.) összefüggések mátrixos felírási módja a következő:

2.67. egyenlet

Röviden pedig:

2.68. egyenlet

2-23. ábra Forgatás az X tengely körül

A másodlagos forgatást az elsődleges forgatás eredményeként kapott Yα tengely körül végezzük β szöggel az óramutató járásával egyező értelemben úgy, hogy az origót az Yα tengely pozitív irányából szemléljük (2-24. ábra).

2-24. ábra Forgatás az Y tengely körül

Ez a forgatás azonban az Xα és Zα tengelyek által kifeszített síkban a koordinátákra nézve negatív előjelű forgatásként értelmezendő. Alkalmazva (2.30.)-at, az új forgatás eredményeként kapott koordináták a következők:

2.69. egyenlet

Vagy röviden:

2.70. egyenlet

A harmadlagos forgatást a Zβ tengely körül végezzük γ szögértékkel. A másodlagos forgatás eredményeként kapott Xβ és Yβ koordinátákra nézve ez a forgatás pozitív értelmű (2-25. ábra).

2-25. ábra Forgatás a Z tengely körül

Szintén (2.30.) alapján

2.71. egyenlet

Röviden pedig

2.72. egyenlet

A (2.68.), (2.70.) és (2.72.) alapján a három egymást követő forgatás leírható egyetlen eredő forgatómátrix segítségével. Először helyettesítsük (2.68.)-at (2.70.)-be:

2.73. egyenlet

Végül (2.73.)-at (2.72.)-be:

2.74. egyenlet

Valójában a harmadlagos forgatás eredményeként az Xγ, Yγ és Zγ koordinátatengelyek már egybeesnek a cél koordinátarendszer megfelelő tengelyeivel. Ezért az Xγ vektor helyett már a cél koordinátarendszer XC helyvektorát írhatjuk a (2.74.)-es összefüggésben:

2.75. egyenlet

Ha a két koordinátarendszer origója nem azonos, akkor a TX, TY és TZ eltolás értékeket egy

2.76. egyenlet

eltolás vektorba foglalva, írhatjuk, hogy

2.77. egyenlet

Hasonlóan a síkbeli transzformációkhoz, a térbeli egybevágósági transzformációból úgy kapunk térbeli hasonlósági transzformációt, hogy a forgatás eredményeként kapott koordinátákat megszorozzuk a méretaránytényezővel:

2.78. egyenlet

2.4.8 Az eredő forgatómátrix szerkezete és a differenciális forgatómátrix

A (2.77.) és (2.78.) egyenletek a térbeli egybevágósági és hasonlósági transzformáció egyenletei mátrix formában. Nézzük meg most a forgatómátrix felépítését. A forgatómátrix elemeinek számításához végezzük el a (2.74.)-ben lévő szorzásokat:

2.79. egyenlet

A (2.79.)-el adott forgatómátrix elemeire alkalmazott jelöléseket felhasználva a (2.78.)-as összefüggés a következő:

2.80. egyenlet

A térbeli forgatást leíró forgatómátrixra is igaz a (2.34.)-es és a (2.37.)-es összefüggés:

2.81. egyenlet

2.82. egyenlet

Ennek megfelelően az inverz transzformáció a következőképpen írható fel:

2.83. egyenlet

Abban az esetben, ha a forgatómátrix elemei az adottak, akkor (2.79.) alapján a forgatási szögeket a következőképpen számolhatjuk:

2.84. egyenlet

Bizonyos gyakorlati feladatok során a forgatási szögek kis értékűek, legfeljebb néhány 10 szögperc nagyságrendűek. A forgatómátrix speciális szerkezete ezért lehetővé tesz további egyszerűsítést. Az összefüggés alapján már tudjuk, hogy kis szögek szinusz és tangens szögfüggvénye közel egyenlő a szög radiánban kifejezett értékével, a koszinusz szögfüggvény pedig közelítően 1-gyel egyenlő. Ezeket felhasználva a (2.79.)-el adott forgatómátrix a következő formába alakítható át

2.85. egyenlet

Mindezekből látható, hogy a forgatómátrixot egy egységmátrix, valamint egy, csak a differenciális forgatási szögeket tartalmazó mátrix összegeként írtuk fel. Éppen ezért a dR-rel jelölt mátrixot differenciális forgatómátrixnak nevezik. Ha (2.85.)-öt (2.77.)-be helyettesítjük, akkor a differenciális forgatómátrix felhasználásával a síkbeli egybevágósági transzformáció a következő formában írható fel:

2.86. egyenlet

A hasonlósági transzformáció esetén a méretaránytényezőt is szokás annak egységtől való ds eltérésének függvényeként felírni:

2.87. egyenlet

Így (2.78.) a (2.86.) és (2.87.) kifejezések felhasználásával a következőképpen írható:

2.88. egyenlet

Mivel differenciális forgatásokról van szó, ezért a forgatási szögek ds méretaránytényezővel történő szorzata másodrendűen kicsi eredményt ad, ezért (2.88.) utolsó tagja közelítőleg nullával egyenlő. Így végeredményben a térbeli hasonlósági transzformáció a következőképpen írható:

2.89. egyenlet

Végül megemlítjük, hogy a forgatási sorrend megváltoztatása maga után vonja az eredő forgatómátrix szerkezetének a megváltozását is. Azaz, ha az elsődleges forgatást az Y tengely, a másodlagos forgatást az X, a harmadlagos forgatást pedig a Z tengely körül hajtjuk végre, akkor az eredő forgatómátrix a következő:

2.90. egyenlet

A mátrixszorzás tulajdonságait felhasználva könnyen igazolható, hogy az eredő forgatómátrix elemei különböznek a (2.79.)-el kapott forgatómátrix elemeitől, következésképpen, a két mátrix egymással nem egyenlő:

2.91. egyenlet