Ugrás a tartalomhoz

Geodéziai hálózatok 2., A vízszintes hálózatok fogalmainak és történetének áttekintése

Dr. Busics György (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

2.2 A kétdimenziós (2D) pontmeghatározás alapfogalmai

2.2 A kétdimenziós (2D) pontmeghatározás alapfogalmai

2.2.1 A vízszintes ponthely és mérés értelmezése

Az országos vízszintes hálózatban – az elsőrendű hálózat első számítását kivéve – az alappontokat a vetületi síkon értelmezzük az ott definiált koordináta-rendszerben. A sík-koordinátákat méter egységben, két tizedes élességgel adjuk meg. Ez raszteres szemléletben azt jelenti, hogy a síkbeli ponthely egy 1×1 cm-es négyzetrács, egy négyzetcentiméteres pixel.

A vízszintes értelmű geodéziai helymeghatározás (beleértve az alappontsűrítést is) mindig relatív: ismert koordinátájú (adott) pontokra támaszkodva, elsősorban iránymérés és távolságmérés alapján határozzuk meg az új pontok koordinátáit.

Az iránymérés során egy állásponton mért iránysorozatban az irányok irányértékét határozzuk meg. A távolságmérés (közvetett módon, távmérőműszerrel végezve: távmérés) során két pont közötti ferde távolságot mérjük meg, amit (több lépcső keresztül) a vetületi síkra kell redukálni. Ebben a fejezetben olyan vízszintes pontmeghatározást tárgyalunk, amikor ezt a két fajta mérés-típust tételezzük fel. Az irányok tájékozott irányértékét közvetlenül is meg lehetne határozni giroteodolittal, de ez a méréstípus nem terjedt el, speciális alkalmazásáról a Mérnökgeodézia tárgyban lesz szó.

Az irány- és távméréseket a méréseket bemutató, áttekintő vázlatokon (a későbbiekben tárgyalandó meghatározási terveken) egységesen célszerű jelölni. A kétféle mérés-típus jele – amelyet az együttes kiegyenlítéssel számított hálózatok vázlatain is kiterjedten alkalmazunk – nagyon egyszerű.

2-1. ábra Irány- és távmérések jelölései kiegyenlítéssel számított hálózat vázlatán

Az iránymérés jele a vázlaton (2.1. ábra) egy vékony (rajzon 0,2 mm vastagságú) vonal, amely az irányzott pontnál (B) 1 cm hosszan pontozott. Ha oda-vissza mértük az irányt, akkor a vékony vonal folyamatos (mintha két, de csak egyirányban mért irány jelét egymásra rajzolnánk). A vonalat úgy rajzolják ki, hogy kezdete és vége 1 mm-re közelíti meg a végpontok körét. A távmérés jele a mért távolság közepén meghúzott vastagabb vonal (rajzi hosszúsága 5 mm, vastagsága 0,6 mm). A mért távolság végpontjait vagy szaggatott vonal köti össze, vagy a mindkét végén szaggatott, de középütt folyamatos vékony vonal. Egy pontvázlatot ilyen jelölésekkel ellátva meg tudjuk állapítani, milyen típusú mérést végeztünk mely pontok között (de azt nem, hogy a távolságokat melyik álláspontról mértük, és azokat oda-vissza vagy csak egy irányban mértük-e). Más típusú meghatározási tervek jelöléseit a 3. modul tárgyalja.

A vízszintes hálózat kerethibája úgy értelmezhető, mint az adott pontok koordinátáit terhelő hiba: a koordinátával jellemzett ponthelyről a hibátlan ponthelyre mutató vektor. A kerethibára a fölös mérések alapján és a jellemző mérési hibák ismeretében következtetünk: ha a javítások (irányeltérések, távolságeltérések) lényegesen meghaladják a jellemző mérési hibákat, akkor azt az adott pontok kerethibájának tulajdonítjuk.

2.2.2 A pontossági mérőszámok áttekintése

Az irány- és távmérések alapján kiegyenlített hálózat végeredményeként megkapjuk a kiinduló mérési eredmények javításait (az irányjavításokat irányeltérésnek, a távolságjavításokat távolságeltérésnek is nevezik), valamint az új pontok koordinátáit (jelölje ezeket X, Y), továbbá a koordináta-középhibákat (mX, mY) és a kovarianciát (cXY).

Hibaellipszis

Ha csak a koordináta-középhibákat használnánk egy 2D pont jellemzésére, az nem fejezné ki a két koordináta kapcsolatát. További hiányosságot jelentene az a tény, hogy a koordináta középhibák nagysága függ a koordináta-rendszer felvételétől. Ezért felmerül az igény, hogy mutassuk ki minden irányban a középhibát és azt szemléletesen ábrázoljuk is. Ha ezt megtesszük, az. ún. talpponti görbe képéhez jutunk. Feltehető ezután a kérdés, hogy melyik irányban a legnagyobb és melyik irányban a legkisebb a középhiba, és mennyi annak az értéke. Ezek a számértékek kiszámíthatók (képletüket itt nem írjuk fel); jelölje a legnagyobb ill. legkisebb középhiba értékét a és b (a=mmax és b=mmin); a legnagyobb középhiba irányszöge az adott koordináta-rendszerben pedig legyen a ϕ szög. Az a, b értékek alapján ellipszis szerkeszthető, amelyet a pont hibaellipszisének neveznek. A hibaellipsziseket a hálózat meghatározási vázlatán, a rajztól eltérő, alkalmas méretarányban (M=1:1, M=1:2) szokás ábrázolni.

Ponthiba

A ponthiba bevezetését az indokolja, hogy egy vízszintes pontot egyetlen mérőszámmal jellemezzünk. A ponthiba egyaránt számítható a koordináta-középhibákból vagy a hibaellipszis méreteiből. 2D pont ponthibája: . 3D pont ponthibája:

Közepes ponthiba

Az előzőekben felírt ponthiba mindig nagyobb (legfeljebb egyenlő), mint a bármilyen irányban számított középhiba, tehát a pont jellemzésére indokolatlanul nagy érték. Ezért vezették be a közepes ponthiba fogalmát. A közepes ponthiba sugarával megrajzolt kör területe megegyezik a talpponti görbe területével. 2D pont közepes ponthibája:

Relatív hiba

Vízszintes hálózatban a relatív hiba (R) egyetlen távolságmérésre, vagy iránymérésre egyértelmű. Távolságmérés esetén a távolságeltérés (E) és mért távolság (t) hányadosa. Iránymérés esetén a lineáris eltérés (E) és az irány hossza (t) hányadosa. Ezt a hányadost olyan valódi törtként szokás megadni, amelynek a számlálója 1:

A relatív hiba megadható mm/km egységben (ppm egységben) is. Példa: ha egy t=500 méteres távolságon a távolságeltérés 2 cm, akkor annak R relatív hibája a következő.

Egy vízszintes hálózat esetén nem egyértelmű, hogy annak relatív hibáját hogyan értelmezzük. Hiszen vehetnénk az egyes távolságok, irányok relatív hibáinak átlagát, de eljárhatnánk úgy is, hogy előbb vesszük az összes javítás átlagát, majd ezt az átlagot osztjuk el a távolságok és irányok hosszának átlagértékével. Az új A5 szabályzat a hálózat relatív hibáját ez utóbbi módon értelmezi. A 2.1. táblázatban néhány jellemző értéket sorolunk fel a magyar vízszintes pontmeghatározások múltja alapján.

2-1. táblázat A relatív hiba tipikus értékei különböző rendű régebbi hálózatokban. táblázat - A relatív hiba tipikus értékei különböző rendű régebbi hálózatokban

rendűség

relatív hiba [1/...]

relatív hiba [mm/km]

átlagos ponttávolság

lineáris eltérés az átl. távolságon

elsőrendű

1 / 500 000

2 ppm

30 km

6 cm

negyedrendű

1 / 50 000

20 ppm

1 km

2 cm

felmérési

1 / 10 000

100 ppm

200 m

2 cm


Ferrero-féle szögközéphiba

Az irányméréses hálózatok pontosságának jellemzésére a Ferrero-féle középhibát használják. Ezt úgy kapják, hogy kiszámítják minden egyes háromszög szögzáróhibáját (ε), figyelembe véve a gömbi szögfölösleget is. A szögzáróhibák alapján egy középhiba jellegű mennyiséget vezetnek le, a képletben az n a háromszögek darabszámát jelöli.

2.2.3 Az országos vízszintes hálózatok kialakításának elvei

2-2. ábra A háromszögelés elve, számítási alapadatai

A háromszögelés egy nagyobb területi egység (ország) alapponthálózatának létrehozására szolgáló módszer, elsősorban az egymással csatlakozó háromszögek szögeinek megmérése által. Hosszú ideig a teodolit volt a geodéziai mérés szinte egyetlen fontos műszere, így kézenfekvő volt a módszer kialakulása. Az iránymérések elvégezhetősége, a szomszédos pontok összelátása érdekében szinte minden ponton állandó vagy ideiglenes pontjelek (gúlák, árbócok) építésére volt szükség. A terepen alkalmasan (rendszerint hegytetőkön) kiválasztott szomszédos alappontok között mért szögek szárai alkotják a háromszögeket, amelyek legalább egy oldalukkal csatlakoznak egymáshoz (2.2. ábra). Az összefüggő, a teljes területet lefedő háromszögek háromszögelési hálózatot alkotnak, a háromszögek csúcspontjai a háromszögelési pontok (rövidítve: hp, HP). A szomszédos háromszögelési pontok távolsága legfeljebb 30 km körüli érték lehet, tekintettel a látási viszonyokra, terepi fedettségre. Ha csak a háromszögek belső szögeit mérnénk, csupán a hálózat alakját ismerhetnénk meg. A hálózat méretének megadásához szükség van legalább egy oldal meghatározására.

2-3. ábra Alapvonalfejlesztő hálózatok

Nagyon hosszú, akár 30 km-es oldal közvetlen lemérésére régebben nem volt megfelelő eszköz, de ehhez megfelelő terepet sem lehetett találni. Ezért egy rövidebb, 1-3 km-es alapvonalat mértek meg közvetlenül, hosszas munkával (24 méteres invárdrótokkal), majd ezt az alapvonalat megfelelő geometriai alakzatokba foglalva, az alakzatok szögeit megmérve, „felnagyították" a szükséges oldalhosszra. Ez utóbbi alakzatot nevezzük alapvonalfejlesztő hálózatnak. Az alapvonalfejlesztő (más néven: bázisfejlesztő) hálózat lehet rácsos vagy rombuszos (diagonális) geometriai alakzatú (2.3. ábra).

Ahhoz, hogy a hálózatot a Földet helyettesítő alapfelületen (ellipszoidon, gömbön) megfelelően elhelyezhessük, legalább egy pontjának (A) földrajzi szélességét (ϕ) és hosszúságát (λ) is meg kell adni, továbbá tájolni is kell, meg kell adni legalább egy oldalának azimutját (α). Ezt a földrajzi helymeghatározás módszereivel, csillagokra végzett észleléssel érték el (szélesség-, hosszúság-, azimut-mérés). A hálózat alakját tehát a szögmérési adatok, méretarányát a hosszmérési adatok, elhelyezését a szélesség- és hosszúságmérések, tájékozását pedig az azimut-mérések határozzák meg.

Az előzőekben vázolt klasszikus háromszögelési módszert irányméréses háromszögelésnek nevezzük, tekintettel arra, hogy elsősorban iránymérésen alapul (idegen neve: trianguláció, triangulation). Elképzelhető (miután az 1960-as évektől a távmérők is megjelentek), hogy a háromszögekből álló hálózatnak csak az oldalhosszait mérik meg. Ilyenkor tisztán hosszméréses háromszögelésről beszélünk (idegen nevén: trialateráció, trilateration). A gyakorlatban vegyes (irány- és távméréses) háromszögelési hálózatok kialakítására került sor.

2-4. ábra Homogén hálózat és láncolat+kitöltő hálózat

Egy ország háromszögelési hálózata létrehozható a teljes terület lefedésével, egy ütemben, ún. homogén hálózatként, amikor a számítás is egy lépésben történik. A másik megoldás, hogy két ütemben létesítik a hálózatot: először egy láncolatot (keretet, vázat) alakítanak ki, majd egy következő lépésben a kereten belül üresen maradt részeket töltik ki ún. kitöltőhálózattal. Ez utóbbi megoldás előnye a múltban az volt, hogy az egyes ütemekben létrehozott kisebb méretű rész-hálózatok számítása egyszerűbb volt, amit a korabeli számítási eszközökkel meg tudtak oldani, míg egy nagyobb méretű homogén hálózat együttes számítására a múltban nem voltak meg a számítástechnikai feltételek. A láncolat lehet egyszerű, ha egy háromszög-sor fut végig, vagy kettős láncolat, ha két sorból áll. A láncolatok (és a hálózatok) között megkülönböztetünk centrális hálózatokat (ha egy csúcsponttal több háromszög csatlakozik), és diagonális hálózatokat (amelyek átlós négyszögekből épülnek fel). A vízszintes hálózatok felépítésének klasszikus hierarchiája szerint először egy kb. 30 km oldalhosszúságú elsőrendű hálózatot hoztak létre, ezt követte egy 15 km-es másodrendű hálózat, majd egy 7 km-es harmadrendű hálózat.