Ugrás a tartalomhoz

Geodéziai hálózatok 4., A GNSS alapjai

Dr. Busics György (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

4.2 A térbeli (3D) pontmeghatározás alapfogalmai

4.2 A térbeli (3D) pontmeghatározás alapfogalmai

4.2.1 A GNSS rendszer fogalma

A Geodézia tantárgyban már szó volt a műholdas helymeghatározás alapjairól. A navigációs célú mesterséges holdakat geometriai értelemben alappontként használják fel; ezek a műholdak egy adott időpillanatban ismert pontoknak tekinthetők egy definiált vonatkoztatási rendszerben. A műholdak pályaadatait ugyanis ismert helyzetű földi pontokon észlelő pályakövető állomások meghatározzák és ezeket az ún. navigációs adatokat a mesterséges holdak saját maguk sugározzák. A felhasználó (a GNSS vevő) közvetett módon távolságot határoz meg a vevő és néhány, egyidőben észlelt műhold között, majd ezen távolságok és a műhold-pozíciók ismeretében a vevő helyzete egy megadott vonatkoztatási rendszerben kiszámítható. A vevő sebessége is számítható, mivel ismert azon időtartam, ami a vevő két helyzet-meghatározása között eltelik. Az észlelő személy különösebb beavatkozására nincs is szükség, mert az egész mérési folyamat automatizált.

A globális navigációs műholdrendszer (Global Navigational Satellite System – GNSS) a helymeghatározás, a navigáció és az időmeghatározás feladatainak megoldását hivatott szolgálni mesterséges holdak segítségével. A GNSS rendszer szolgáltatásait jelölik PNT jelzővel is (Positioning, Navigation, Timing Services), mert azok helyzetmeghatározásra, navigációra és időmeghatározásra irányulnak. A GNSS, mint rendszer, több részre tagolható; értelmezésünk szerint a három részre tagolás a legkifejezőbb.

4-1. ábra. A GNSS rendszer elemei példákkal

A GNSS rendszer egyik elemét az alaprendszerek jelentik. Az alaprendszerekhez sorolhatók a rendszerhez tartozó navigációs célú mesterséges holdak (az ún. műholdas alrendszer), valamint a navigációs holdakat alapadatokkal ellátó és üzemeltető ún. vezérlő alrendszer, ami ismert helyzetű földi követőállomásokat, adattovábbító állomásokat és vezérlő központot foglal magában.

Teljes kiépítettséget elérő alaprendszert e sorok írásáig csak két nagyhatalom, az Amerikai Egyesült Államok és Oroszország (az egykori Szovjetunió) tudott létrehozni. Az amerikai alaprendszer a GPS (angol megfelelője: Global Positioning System), az orosz fenntartású alaprendszer a GLONASSZ (jelentése: Globalnaja Navigacionnaja Szputnyikovaja Szisztyema). Az Európai Unió által kezdeményezett harmadik alaprendszer (Galileo) a jelen állás szerint 2014-től lehet működőképes. Kína elkezdte egy negyedik navigációs alaprendszer megvalósítását Compass (Beidou) néven. Mivel a jelenlegi gyakorlatban döntő részben az amerikai GPS alaprendszert használjuk, lényegében minden, a következőkben közölt ismeret erre a rendszerre vonatkozik. Az egyértelműség miatt azonban tudnunk kell, hogy a GPS csak egyik eleme, egyik alaprendszere a GNSS rendszernek.

A GNSS rendszer másik elemét kiegészítő rendszernek nevezzük. A kiegészítő rendszerek lehetnek földi alapúak (Ground Based Augmentation System – GBAS), vagy műholdas alapúak (Satellite Based Augmentation System – SBAS), az adatkomunikáció helyétől függően. Kiegészítő rendszereket kezdetben a rendszer-fenntartótól független pályakövető állomások miatt hoztak létre, továbbá a helymeghatározás pontosságának növeléséért. Mára a kiegészítő rendszerek a pontosság, az integritás és a gazdaságosság növelésének egyre nagyobb szerepet betöltő eszközeivé váltak és egyre több újabb alkalmazási területet nyitnak meg. (Integritás alatt a rendszer önellenőrző képességét értjük).

A GNSS rendszer különálló elemének tekintjük az ún. felhasználói oldalt. Ez alatt értjük a felhasználóknál lévő GNSS vevőkészülékeket, a vevőkészülékben vagy külső számítógépeken üzemelő szoftvereket (beleértve a kiegészítő rendszert üzemeltető szoftvereket), az alkalmazott technológiákat, az igénybevett szolgáltatásokat. A szoftverfejlesztés jelentősége egyre nagyobb egyrészt a GNSS technológia gazdaságosságának növelésében, másrészt a GNSS alkalmazási területek bővítésében. A globális helymeghatározás alkalmazási területe igen széleskörű, a felhasználók köre igen tág. A felhasználók között a földmérők (geodéták, térképészek, térinformatikusok...) csak egy szűk réteget képviselnek, viszont ők igénylik a legnagyobb pontosságot.

4.2.2 A műholdas helymeghatározás vonatkoztatási rendszere

A földi vonatkoztatási rendszer „az egész Föld felszínén minél egyenletesebb eloszlásban kijelölt anyagi pontok, geodéziai főalappontok együttese és a hozzájuk kapcsolt, így a Földhöz lehetőségekig kötött, vele együttforgó geocentrikus koordináta-rendszer, a földi térbeli derékszögű koordináta-rendszer” (Biró, 2005). A tényleges megvalósítást ebben az esetben is az egész földkerekségen létesített alappontok (alapponthálózatok) és az alappontok között, illetve ezen pontokról végzett mérések biztosítják; e meghatározó mérések és a belőlük levezetett paraméterek szerint különböztetjük meg az egyes térbeli vonatkoztatási rendszereket. A műholdas helymeghatározás szempontjából két ilyen rendszert emelünk ki, amelyek jelölése: ITRSyy illetve WGS84.

A földi vonatkoztatási rendszerek egyik jelenlegi megvalósulása a Nemzetközi Földi Vonatkoztatási Rendszer (International Terrestrial Reference System – ITRS). Az ITRS fenntartója a Nemzetközi Földforgás és Referenciarendszerek Szolgálat (International Earth Rotation and Reference Systems Service – IERS), amely szervezet a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió (International Union of Geodesy and Geophysics – IUGG) keretén belül, több más szolgálattal együtt fejti ki alaptevékenységét, elnevezése többször változott a múltban. Az IERS illetve IUGG 1991-ben definiálta a földtesthez kötött, a Földdel együttforgó jobbsodrású térbeli derékszögű koordináta-rendszer alapirányát (Z tengelyét) és alapsíkját (X-Z síkját). Az ITRS rendszert az IUGG illetve annak tagszervezete, a Nemzetközi Geodéziai Szövetség (International Assotiation of Geodesy – IAG) a következőképpen határozta meg:

  • középpontja a Föld tömegközéppontja (geocentrum);

  • Z tengelye a földi IERS Vonatkoztatási Pólus iránya (IERS Reference Pole – IRP);

  • X-Z síkja a földi IERS Vonatkoztatási Meridián (IERS Reference Meridian – IRM),

  • Y tengelye a +X és +Z tengellyel jobbsodrású rendszert alkot.

Az ITRS rendszert az egész Föld felszínén elhelyezkedő pontok (obszervatóriumok, megfigyelő állomások) koordinátái valósítják meg, ezek alkotják a Nemzetközi Földi Vonatkoztatási Keretpontok (International Terrestrial Reference Frame – ITRF) hálózatát. Az ITRF-pontok alkotta hálózat működtetője az IGS (International Global Navigational Satellite System [GNSSS] Service), amely hálózatról az 5. modul 4. fejezetben esik bővebben szó.

Az ITRF-pontok koordinátáinak meghatározásakor hosszabb időszak méréseit veszik figyelembe. Ezeket a megoldásokat (elterjedt kifejezéssel: realizációkat) az ITRF rövidítést követő publikálási évszám jelöli, ezért az általános jelölés ITRFyy. Az évszám megadásának jelentősége van, hiszen egy meghatározott időszak méréseit és az adott időszakban bevont állomásokat (pontokat) jelölnek ezzel, tehát egy másik kerethálózatot, lényegében egy másik földi vonatkoztatási rendszert. Az IERS 1988-ban hozta létre az első ITRS realizációt, amelyben mindössze 13 állomás vett részt (4-2. ábra), jelenleg pedig már több mint 350 állomás, több mint 500 pontja, tekintettel arra, hogy egy-egy obszervatóriumban gyakran többféle műholdas technika van jelen, ami több alappontot is jelent. Az ITRS rendszer eddigi kerethálózatainak jelölése: ITRF88, ITRF89, ITRF90, ITRF91, ITRF92, ITRF93, ITRF94, ITRF96, ITRF97, ITRF2000, ITRF2005. Az ITRF2005 földi vonatkoztatási rendszer használata 2007. október 24-től érvényes Magyarországon.

4-2. ábra. Az első ITRS rendszer (ITRF88) megvalósításában részt vevő 13 állomás

Egy másik, példaként felhozott, és a GPS-korszakban leggyakrabban emlegetett földi vonatkoztatási rendszer a Geodéziai Világrendszer WGS84 (World Geodetic System – WGS84).

4-3. ábra A WGS84 tengelyei és vonatkoztatási ellipszoidja

A WGS84 az amerikai GPS alaprendszer fenntartójának földi vonatkoztatási rendszere, amelyet az amerikai GPS követőállomások koordinátái valósítanak meg. A rendszerfenntartó politikai szempontból az Egyesült Államok Nemzetvédelmi Minisztériuma (Department of Defense – DoD), szakmai szempontból az amerikai katonai térképész szolgálat (régebbi neve: Defense Mapping Agency –DMA; 1996-tól: National Imagery and Mapping Agency – NIMA; 2004-től: National Geospatial-Intelligence Agency – NGA). A WGS84 rendszer kezdeti, 1984. évi meghatározása doppleres műholdmegfigyeléseken alapszik, ahol a koordináták megbízhatósága 1-2 méteres középhibával jellemezhető. A pályameghatározásban résztvevő követőállomások száma változott: kezdetben 5 volt, ami később 15-re bővült (4-4. ábra).

1994-től kezdődően a WGS84 rendszert továbbfejlesztették, ami azt jelenti, hogy a GPS követőállomások koordinátáit pontosították. Erre eddig háromszor került sor: 1994. január 2-án (a 730. GPS-héten), 1997. január 29-én (a 873. GPS-héten) és 2001-ben (az 1150. GPS-héten). A precíz elnevezés ezért a következő lenne: WGS84 (G730), WGS84 (G873), WGS84 (G1150). A követőállomások koordinátáinak megváltoztatását az is indokolta, hogy minél jobb összhang, azonosság legyen a polgári követő-szolgálat előzőekben tárgyalt ITRS rendszere és a katonai szolgálat WGS rendszere között. A két rendszer közötti kezdeti 1-2 méteres eltérést 2001-től már csak 1-2 centiméteresre becsülik, ami a gyakorlati felhasználás szempontjából elhanyagolható.

4-4. ábra. A WGS84 (G873) rendszert megvalósító GPS követőállomások

A WGS84 nemcsak geometriai értelemben vett földi vonatkoztatási rendszert jelöl, hanem geodéziai vonatkoztatási rendszert, ún. földmodellt is. Így a WGS84 egy vonatkoztatási ellipszoidot, ún. szintellipszoidot is jelent, aminek megadták a normál nehézségi erőtérre vonatkozó paramétereit. A földi vonatkoztatási rendszereket részletesen összefoglaló cikk található a Geodézia és Kartográfia 2008/9. számában (Ádám, 2008).

Geocentrikus térbeli derékszögű koordináták

A térbeli derékszögű koordináta-rendszer origója a forgási ellipszoid (Föld) középpontja, Z tengelye az ellipszoid kistengelye (a Föld forgástengelye), X tengelye a greenwich-i meridián síkjában van, az Y pedig X-re merőleges úgy, hogy a rendszer jobbsodrású (4-5. ábra). A térbeli koordináta-rendszerben egy P pont helyzetét leggyakrabban ortogonális koordinátákkal adjuk meg (angol elnevezésük: Cartesian coordinates). A geocentrikus derékszögű koordinátákat ECEF koordinátáknak is nevezik (Earth-Centered-Earth-Fixed=ECEF). Mivel a GPS-vektorok feldolgozása és a térbeli hálózatkiegyenlítés ilyen (geocentrikus) derékszögű rendszerben történik, a számításoknál ennek a koordináta-rendszernek a használata a leggyakoribb. A koordinátákat méter egységben, milliméter, esetleg 0,1 mm élességgel adják meg.

Földrajzi ellipszoidi koordináták

A térbeli koordináta-rendszer tengelyei egy adott paraméterű forgási ellipszoiddal kapcsolatban ugyanazok, mint a geocentrikus koordináta-rendszernél. A P terepi pont helyzetét úgy rögzítjük, hogy két szögértékkel megadjuk a P ponton átmenő ellipszoidi normális irányát, továbbá a pontnak az ellipszoidi normálison az ellipszoid felszínétől mért távolságát. A földrajzi ellipszoidi koordináták (angolul: geodetic coordinates) a következők (4-5. ábra)

ϕ ellipszoidi földrajzi szélesség (a P ponton átmenő ellipszoidi normálisnak az XY egyenlítői síkkal bezárt szöge);

λ ellipszoidi földrajzi hosszúság (a P ponton átmenő ellipszoidi meridiánsíknak a greenwich-i kezdő meridiánsíkkal bezárt szöge);

h ellipszoidi magasság (a P pont és az ellipszoid-felszín legrövidebb távolsága, vagyis a P ponton átmenő normálisnak a P pont és a P1 pont közötti szakasza).

4-5. ábra. A P pont térbeli derékszögű és földrajzi ellipszoidi koordinátái

Fontos belátnunk, hogy a forgási ellipszoid normálisa metszi a kistengelyt, de általában nem megy át az ellipszoid középpontján. A GPS-vevők kijelzőjén a földrajzi koordinátákat láthatjuk, mert az ember számára ezek szemléletesebbek, mint a derékszögű koordináták.

4-6. ábra. A P pont meridiánbeli metszete, valamint felülnézete az Egyenlítő síkjában

A geocentrikus derékszögű és a földrajzi koordináták közötti átszámítás igen gyakori; a legtöbb utófeldolgozó szoftver mindkét rendszerben megadja a koordinátákat. A térbeli derékszögű koordináták számítása a földrajzi koordinátákból a 4-6. ábra alapján követhető.

4.1. egyenlet

4.2. egyenlet

4.3. egyenlet

4.4. egyenlet

A képletekben szereplő a az ellipszoid fél nagytengelyének hossza, b pedig a fél kistengely hossza. Az N harántgörbületi sugár és az e második numerikus excentricitás négyzetének számítását a következő összefüggésekkel végezzük:

4.5. egyenlet

4.6. egyenlet

A földrajzi ellipszoidi koordináták számítása térbeli derékszögű koordinátákból iterációs eljárással oldható meg. Az ellipszoidi földrajzi hosszúság közvetlenül képezhető az Y és X térbeli derékszögű koordináták ismeretében (4-7. ábra bal oldala):

4.7. egyenlet

Képezzük most a P pont egyenlítősíkbeli vetületének távolságát az ellipszoid középpontjától:

4.8. egyenlet

majd a földrajzi szélesség tangensét felírhatjuk, de maga a számítandó ϕ érték az egyenlőségjel jobb oldalán is szerepel, így a keresett ϕ érték csak iterációval kapható meg:

4.9. egyenlet

4-7. ábra. Az Egyenlítő síkjában és a meridiánsíkban készült rajz

Az ellipszoid feletti magasság számítása:

4.10. egyenlet

Topocentrikus koordináták

A topocentrikus koordináta-rendszer a vonatkoztatási ellipszoiddal kapcsolatban felvett olyan térbeli derékszögű koordináta-rendszer, amelynek origója egy földfelszíni O pont, z tengelyét pedig az O pontban az ellipszoid normálisa jelöli ki. Az x-y sík a z-tengelyre merőleges, amely síkban az x-tengely meridián-irányú, az y-tengely pedig z-re merőleges úgy, hogy a koordináta-rendszer balsodrású. Egy térbeli pont helyzete ebben a koordináta-rendszerben megadható ortogonális vagy poláris koordinátákkal. A P pont x, y, z derékszögű topocentrikus koordinátái alatt a P pont előzőekben leírt koordináta-tengelyekre vonatkozó merőleges vetületeinek az O ponttól mért távolságát értjük.

A P pont poláris topocentrikus koordinátái:

α azimut (az O és P pontok ellipszoidi normálisain átmenő síknak az O pont meridiánsíkjával bezárt lapszöge);

ζ zenitszög (amelyet a z tengely az OP egyenessel zár be);

t távolság (az OP szakasz hossza).

4-8. ábra. A P pont topocentrikus koordinátái az O pont ellipszoidi normálisához kapcsolódóan

A GPS mérések feldolgozásakor gyakran van szükség a topocentrikus és a geocentrikus derékszögű koordináták közötti átszámításra is. Tekintsük alapesetnek azt a helyzetet, amikor a vektor-feldolgozásból ismerjük a P pontnak az O ponthoz viszonyított ΔX, ΔY, ΔZ koordináta-különbségeit a geocentrikus rendszerben. A topocentrum X0, Y0, Z0 térbeli derékszögű koordinátáiból számítsuk ki először a megfelelő ϕ0, λ0, h0 ellipszoidi földrajzi koordinátákat, majd a topocentrikus koordináták számítása a geocentrikus koordináta-különbségekből mátrixos alakban a következő (itt a 3×3-as mátrix neve forgatási mátrix):

4.11. egyenlet

A geocentrikus koordináták a topocentrikus koordinátákból a forgatási mátrix transzponáltja segítségével írhatók fel:

4.12. egyenlet

Gyakran van szükség arra, hogy az ellipszoidi földrajzi koordinátákkal adott kismértékű (differenciális) dϕ, dλ, dh koordináta-különbségeket a szemléletünknek jobban megfelelő dx, dy, dz topocentrikus koordináta-különbségekkel adjunk meg:

4.13. egyenlet

Égi egyenlítői koordináta-rendszer

Az égi egyenlítői koordináta-rendszer olyan gömbi koordináta-rendszer, amelynek alapköre az égi egyenlítő (a földi egyenlítő végtelen távoli kiterjesztése), pólusát a Föld forgástengelye jelöli ki (északi világpólus). A koordináta-rendszer kezdőpontja (X tengelyének iránya) a Tavaszpont. A Tavaszpont az égi egyenlítő és az ekliptika metszéspontja. (Az ekliptika vonalát az éggömbön a Föld Nap körüli keringésének síkja jelöli ki). Egy pont helyzetét ebben a koordináta-rendszerben a rektaszcenzió és a deklináció jellemzi. A rektaszcenzió a ponton átmenő vertikális sík szögtávolsága (hosszúsága) a Tavaszponttól az egyenlítő síkjában mérve. A deklináció a pont szélessége az Egyenlítő síkjától mérve. A pont koordinátái nem függnek az időtől és a földrajzi helytől.

4-9. ábra. Az S műhold Kepler-féle pályaadatai az égi egyenlítői koordináta-rendszerben

A Föld körül keringő műholdak ún. Kepler-féle pályaadatait égi egyenlítői koordináta-rendszerben adják meg. A pályaadatok a következők:

a az ellipszisnek képzelt műholdpálya fél nagytengelyének hossza;

e az ellipszispálya numerikus excentricitása;

i a pályahajlás (a pályasíknak az égi egyenlítő síkjával bezárt szöge);

Ω a felszálló csomó rektaszcenziója (vagyis a műholdpálya és az égi egyenlítő metszéspontjának és a Tavaszpontnak a szögtávolsága);

ω a perigeum szögtávolsága a pályasíkban mérve (vagyis az a szög, ami a műholdpálya Földhöz legközelebbi pontja és a felszálló csomó között van);

T0 a perigeumon való áthaladás időpontja.

Időrendszerek

Az idő mérésére egészen az 1960-as évekig a Föld tengelykörüli forgása szolgált, mint periodikus jelenség. Eszerint egy nap az az időtartam, ami a Nap két delelése között eltelik; ennek 24-gyed része az óra, aminek 3600-ad része a másodperc. A nap kezdete a greenwich-i delelés előtt 12 órával van. Természetesen nem ilyen egyszerű a definíció, hiszen a Föld tengelykörüli forgása nem egyenletes, ami miatt bevezették a középnap és a középidő fogalmát. A greenwich-i középidőhöz (Greenwich Mean Time=GMT) viszonyítva időzónákat alakítottak ki. A középnaphoz kötődő időrendszer jele: UT (Universal Time).

Az 1960-as évek elejétől létezik a nemzetközi atomidő rendszer (International Atomic Time=IAT), amelynek alapegysége az atom másodperc. Ezt nagypontosságú atomórák (frekvencia oszcillátorok) atomjainak rezgésszámával definiálják.

4-10. ábra. Az UTC idő, a GPS idő és a világidő szemléltetése

Az atomidő és a középidő eltérését nem célszerű nagynak megengedni, hanem a Föld természetes forgásához érdemes igazítani a használatos idő-fogalmat. Az atomidőt ezért 1-1 másodperces csúsztatással (mesterséges léptetéssel) igazítják a középidőhöz. Ennek – a mindennapi szóhasználatban pontos időnek nevezett – időrendszernek a neve: koordinált világidő (Universal Time Coordinated=UTC).

A napnak, mint időegységnek a rendszerbe foglalása a naptár, a nagyobb időegységek rendszere. Így a köznapi életben használjuk a hét, a hónap, az év fogalmát. Tudjuk azonban, hogy ezek nem szabályos rendszert alkotnak, ezért a csillagászatban bevezették a Julián dátum vagy Julián idő fogalmát. A Julián dátum a napok sorszámozását jelenti, azaz egy lineáris, egyenletes, sorszámozott napokban kifejezett időskálát. A Julián dátum kezdete (kezdő epochája) a ma használatos polgári időszámítás előtt (rövid jelöléssel: i.e. vagy Kr.e. – Krisztus előtt) 4713. január elsején 12 órakor volt. A GPS idő kezdete a Julián dátum szerint így a 2444244.5 Julián nap.

A GPS-nek saját időrendszere van, ez a GPS idő, vagy GPS időskála. A GPS idő is atomidő, és a bevezetésekor, 1980. január 6-án, nulla órakor, megegyezett az UTC idővel. A GPS időskála azonban – a zavarok elkerülése érdekében – egyenletes, azaz mentes a léptetéstől. 2010 januárjában a GPS idő 15 másodpercet „sietett” az UTC idő előtt. A GPS műholdak ezt a kerek másodperces korrekciót "ismerik", közvetítik felénk.

A GPS időrendszerben a továbbiakban a GPS hétnek, mint azonosítónak van jelentősége. A GPS heteket a GPS idő kezdete (tehát 1980. január 6.) óta 1-től kezdve sorszámozták. A héten belül a napokat is sorszámozzák úgy, hogy a vasárnap a 0. nap, hétfő az 1. nap, ... szombat a 6. nap. A hetek jelölésére a NAVSTAR GPS rendszerben azonban csak 1023-ig volt lehetőség, ezért ott 1999. augusztus 21-ről 22-re bekövetkezett egy átfordulás, innentől, nullával indulva, a hetek újraszámozódnak. Ez a GPS week rollover probléma, amire a vevőket fel kellett készíteni (hasonlóan a Y2K számítógépes dátum-problémához). A GPS héten belül a másfél-másodperceket is sorszámozzák, ezek angol elnevezése: Time of Week, rövidítve: TOW.

Szokásos a polgári év napjait is, minden év január elsejétől indulva, 1-től kezdődően sorszámozni; ezeket is Julián-napoknak nevezik. Közzétesznek olyan GPS-naptárakat, amelyekben a napok azonosítása a szokásos polgári naptár (év, hó, nap valamint Julián nap), a GPS hét sorszám és nap sorszám, továbbá a Julián dátum szerint is lehetséges. Ez az archiválást, az utólag közzétett pontos pályaadatok és más GPS adatok azonosítását könnyíti meg.

4.2.3 A műholdas helymeghatározás elve

A műholdas helymeghatározás elve eddigi tanulmányainkból ismert. Feltételezzük, hogy az ismert térbeli helyzetű S műholdon és az ismeretlen helyzetű P jelű vevőben is egy-egy tökéletesen szinkronizált és pontos óra van elhelyezve. A műhold által a GPS-időskálán t0 időpontban kibocsátott kódolt jel a vevőhöz Δt idő múlva érkezik. Ha ezt a futási időt sikerül megmérni, akkor a futási időből, a c fénysebesség ismeretében, a mesterséges hold és a vevő közötti ρ geometriai távolság meghatározható (4-11. ábra bal oldala):

4.14. egyenlet

4-11. ábra. A műholdas helymeghatározás geometriai elve

Ha a t0 időpontban az ismert térbeli koordinátájú S2 és S3 műholdakra is végzünk hasonló „távolságmérést” és a holdak geometriai szempontból megfelelő elhelyezkedésűek, akkor a vevő helyzete térbeli ívmetszéssel meghatározható. Ha három távolságot mértünk, akkor három egyenlet írható fel a három ismeretlen összetevő kiszámítására.

Mivel a gyakorlatban a vevőkben egy kevésbé „pontos” óra van elhelyezve, amelynek egy δ-val jelölt órahibája van a mesterséges holdak óráihoz képest (time offset), a futási idő mérésének ezen δ hibája következtében a mért távolság is egy c·δ=Δρ értékkel hibás lesz. A vevő órahibája miatt mért közelítő távolságot pszeudótávolságnak vagy áltávolságnak nevezzük (angolul: pseudorange, jelölése egyes szakkönyvekben, így jelen jegyzetben is: R):

4.15. egyenlet

A vevő órahibájával gyakorlatilag mindig számolni kell, ezért a vevő három ismeretlen térbeli koordinátája mellett van egy negyedik meghatározandó paraméter is (δ). A négy ismeretlen meghatározásához négy darab mért távolságra, azaz négy műholdra van szükség. Feltételezve, hogy négy darab ismert térbeli koordinátájú mesterséges holdra mérünk egyidejűleg pszeudotávolságot – jelöljük ezeket rendre R1, R2, R3, R4 -gyel – a következő egyenlet-rendszer írható fel:

4.16. egyenlet

Itt az Xi, Yi, Zi koordináták az i=1,2,3,4 mesterséges holdak ismert térbeli derékszögű koordinátái a kérdéses időpontban (epochában). A négy egyenlet négy ismeretlent tartalmaz: a vevőantenna X, Y, Z koordinátáit és a δ órahibát. Mivel ez egy nemlineáris egyenletrendszer, először linearizálni kell, majd ezután iterációval oldható meg. A linearizálás egy

4.17. egyenlet

alakú egyenletrendszerhez vezet, ahol:

4.18. egyenlet

4.19. egyenlet

4.20. egyenlet

Az álláspont koordinátáiként az X0, Y0, Z0 előzetes értékeket vesszük fel és az egyenletrendszer megoldásával ennek dX, dY, dZ változásait keressük. Az A mátrix és az l tisztatag-vektor együtthatói az álláspont X0, Y0, Z0 előzetes koordinátái, valamint az ismert koordinátájú műholdakra vonatkozó ρ1,0, ρ2,0, ρ3,0, ρ4,0 előzetes távolságok alapján számíthatók ki. Az x megoldásvektor az előzetes koordináták változásait (dX, dY, dZ) és a vevő óraállását (δ) tartalmazza. Az iterációt addig kell folytatni, amíg a koordináta-változások egy kívánt érték (pl. 1 cm) alatt maradnak. Négynél több mesterséges hold követése esetén túlhatározott egyenlet-rendszert kell megoldani a legkisebb négyzetek módszere szerint.

Magát az eljárást a GPS-szel történő abszolút helymeghatározás modelljének nevezzük. A fenti számítás algoritmusa a vevő-berendezések számítóegységébe be van programozva, rendszerint másodpercenkénti kiértékeléssel (frissítéssel) kapunk egy-egy új eredményt. Az X, Y, Z koordinátákból transzformált ϕ, λ, h földrajzi koordináták a kijelzőn folyamatosan követhetők.