Ugrás a tartalomhoz

Geometriai példatár 3., Projektív geometria

Baboss Csaba (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

3. fejezet - Projektív geometria

3. fejezet - Projektív geometria

3.1 Bevezetés

A Projektív geometria olyan teljesen új szemléletű geometriai ismereteket tartalmaz, melyek az euklideszi geometriától eltérő sajátosságokra vezetnek. Ebből fakadóan a projektív geometriai feladatokat csak úgy lehet eredményesen megoldani, ha az alapvető fogalmakat ismerjük, és biztonságosan kezeljük.

Ennek elősegítése céljából elméleti összefoglalást adunk az alapvető fogalmakról, összefüggésekről, tételekről. Az elméleti összefoglalással az a célunk, hogy a feladatok megoldása során esetlegesen felmerülő, az elméleti ismeretek hiányából fakadó problémákat gyorsan kezelni tudja az olvasó.

Természetesen ez a kivonatolt elméleti anyag nem helyettesíti, és nem pótolja a Geometria I. jegyzetben megtalálható átfogó ismereteket.

3.1.1 Alapvető fogalmak, ismeretek, tételek

  • Vetítésre nem változó (projektív) tulajdonságok: - Pont vetülete (képe, megfelelője) pont. - Egyenes vetülete általában egyenes, vagy annak valamilyen részhalmaza (pont). - Illeszkedéstartó (Ha egy pont illeszkedik egy egyenesre, akkor a képe is illeszkedik az egyenes képére.)

  • Végtelen távoli pont: Minden egyeneshez hozzárendelünk egy „ideális pontot” (nem valós), melyre úgy gondolunk, hogy az egyenes bármely valós pontjától végtelen távol van, és illeszkedik az egyenesre. Az egyenes egy valós pontjából bármelyik irányba indulva ugyanahhoz a végtelen távoli ponthoz jutunk.

  • Elsőfajú alapalakzatok: - pontsor: adott e tartóegyenesre illeszkedő pontok összessége, jele: (e), vagy e(P1, P2, ...), ahol P1, P2, ... a pontsort meghatározó pontok, - sugársor: adott P tartópontra illeszkedő egyenesek összessége, jele: P, vagy P|a1;b1;c1..|, ahol a1, b1, c1.... A sugársort meghatározó egyenesek, - síksor: adott t egyenesre illeszkedő síkok összessége, jele:[t].

  • A perspektivitás kölcsönösen egyértelmű leképezés két elsőfajú alapalakzat között.

  • Egy elsőfajú alapalakzat egy másik típusú elsőfajú alapalakzattal akkor van perspektív helyzetben, ha a megfelelő elemek kölcsönösen illeszkednek egymásra.

  • Két pontsor akkor van perspektív helyzetben, ha a megfelelő pontok egy sugársor ugyanazon egyenesére illeszkednek.

  • Két sugársor akkor van perspektív helyzetben, ha a megfelelő egyenesek egy pontsor ugyanazon pontjára illeszkednek.

  • Két síksor akkor van perspektív helyzetben, ha a megfelelő síkok egy sugársor ugyanazon egyenesére illeszkednek.

  • Desargues tétele: Ha két háromszög olyan helyzetű, hogy a megfelelő csúcsokat összekötő egyenesek egy ponton mennek át, akkor a megfelelő oldalak egyenesinek metszéspontjai egy egyenesre illeszkednek.

  • Desargues tételének megfordítása: Ha két háromszög olyan helyzetű, hogy a megfelelő oldalak egyenesinek metszéspontjai egy egyenesre illeszkednek, akkor a megfelelő csúcsokat összekötő egyenesek egy ponton mennek át.

  • Osztóviszony: Az egy egyenesre illeszkedő A, B és C pontok osztóviszonyán az alábbi kifejezést értjük: , ahol AC és CB előjeles szakaszhosszakat jelentenek. (Megjegyzés: A szakirodalomban használatos az definíció is. Feladatgyűjteményünkben csak az első definíciót alkalmazzuk, igazodva a Geometria I. jegyzetben megtalálható definícióhoz.)

  • Az osztóviszony tulajdonságai: - Az osztóviszony értéke független az egyenes irányításától. - Az osztóviszony értéke egy dimenzió nélküli valós szám. - Az osztóviszony értéke párhuzamos vetítésre nem változik (invariáns). - Az osztóviszony értéke bármilyen aránytartó geometriai transzformációra nézve invariáns.

  • Sugársor osztóviszonya: A Psugársor a, b és c egyenesére vonatkozó osztóviszony általános esetben: , ahol a trigonometrikus értékek az egyes egyenesek által bezárt szögek szinuszai. (Megjegyzés: A szakirodalomban használatos az definíció is. Feladatgyűjteményünkben csak az első definíciót alkalmazzuk, igazodva a Geometria I. jegyzetben megtalálható definícióhoz.)

  • Párhuzamos egyenesek esetében (azaz közös végtelen távoli pontra illeszkedő sugársor esetén) az osztóviszony: , ahol Δ a számlálóban is és a nevezőben is az egyes egyenesek távolságát jelenti.

  • Síksor osztóviszonya: A [t] síksor A, B és C síkjaira vonatkozó osztóviszony általános esetben: , ahol a trigonometrikus értékek az egyes síkok által bezárt szögek szinuszai. (Megjegyzés: A szakirodalomban használatos az definíció is. Feladatgyűjteményünkben csak az első definíciót alkalmazzuk, igazodva a Geometria I. jegyzetben megtalálható definícióhoz.)

  • Párhuzamos síkok esetében (azaz közös végtelen távoli egyenesre illeszkedő síksor esetén) az osztóviszony: , ahol Δ a számlálóban is és a nevezőben is az egyes síkok távolságát jelenti.

  • Pontsor kettősviszonya: Egy egyenesre illeszkedő négy pont A, B, C és D esetén, a pontok kettősviszonyán az alábbi kifejezést értjük: .

  • A kettősviszony dimenzió nélküli szám.

  • Projektív koordináták: Ha egy tetszőleges pontsor három pontját (A, B és C) rögzítjük (fix pontok), akkor az egyenes tetszőleges D pontjához kölcsönösen egyértelmű módon hozzárendelhető az (ABCD) kettősviszony értéke. Ezt nevezzük a D pont projektív koordinátájának.

  • A kettősviszony tulajdonságai: , , , , .

  • Sugársor kettősviszonya: Egy tartópontra illeszkedő négy egyenes a, b, c és d esetén, a pontok kettősviszonyán az alábbi kifejezést értjük: .

  • Síksor kettősviszonya: Egy tartóegyenesre illeszkedő négy sík A, B, C és D esetén, a síkok kettősviszonyán az alábbi kifejezést értjük: .

  • Papposz tétele: Perspektív helyzetben lévő elsőfajú alapalakzatok megfelelő négy-négy elemének kettősviszonya egyenlő.

  • A kettősviszony bármely vetítésre nézve invariáns.

  • Két elsőfajú alapalakzat projektivitásának három egyenértékű definíciója: I. def.: Ha két elsőfajú alapalakzat elemeit kölcsönösen egyértelmű módon úgy rendeljük egymáshoz, hogy bármely négy elem kettősviszonya egyenlő a megfelelő négy elem kettősviszonyával, akkor ezt a hozzárendelést projektív transzformációnak nevezzük. II. def.: Két elsőfajú alapalakzat akkor projektív, ha egybevágósági (vagy affin) transzformávióval perspektív helyzetbe hozhatók. III. def.: A projektív transzformáció perspektivitások egymásutánjaként (szorzataként) áll elő.

  • Perspektív helyzetű síkrendszerek: Két különböző síkrendszer perspektív helyzetű, ha a megfelelő elemeiket egy O pontból való vetítéssel nyerjük (O lehet ideális pont is). Az O a perspektivitás centruma.

  • Perspektív helyzetű síkrendszerek tulajdonságai: - A megfelelő pontokat összekötő egyenesek egy ponton mennek át. - A megfelelő egyenesek metszéspontjai egy egyenesre illeszkednek.

  • Két síkrendszer affin perspektív helyzetű, ha a vetítés O centruma egyik síkra sem illeszkedő végtelen távoli pont. Ekkor azt mondjuk, hogy az egyik sík a másikba térbeli axiális affin transzformációval vihető.

  • Az térbeli axiális affinitás tulajdonságai: - A megfelelő pontokat összekötő egyenesek egy ponton mennek át. - A megfelelő egyenesek metszéspontjai egy egyenesre illeszkednek. - kölcsönösen egyértelmű - illeszkedéstartó - kettősviszonytartó - térelemtartó - párhuzamosságtartó - osztóviszonytartó

  • Két síkrendszer hasonlóan perspektív helyzetű, ha a két tartósík párhuzamos, és a vetítés O centruma a végesben van. Ekkor azt mondjuk, hogy az egyik síkot a másikba térbeli középpontos hasonlóság viszi.

  • A térbeli középpontos hasonlóság tulajdonságai: - egyenes és képe párhuzamos - pont és képének egyenese illeszkedik az O cenrumra - kölcsönösen egyértelmű - illeszkedéstartó - kettősviszonytartó - térelemtartó - párhuzamosságtartó - osztóviszonytartó - szögtartó - aránytartó

  • Két sík egyenlően perspektív helyzetű, ha a két tartósík párhuzamos, és a vetítés O centruma a végtelenben van. Ekkor azt mondjuk, hogy az egyik síkot a másikba eltolás viszi.

  • Az eltolás tulajdonságai: - kölcsönösen egyértelmű - illeszkedéstartó - kettősviszonytartó - térelemtartó - párhuzamosságtartó - osztóviszonytartó - szögtartó - aránytartó - távolságtartó

  • Projektív síkrendszerek: Két síkrendszer akkor projektív vonatkozású (a két síkot projektív transzformáció viszi egymásba), ha megfelelő elemeit úgy rendeljük egymáshoz, hogy a megfeleltetés: - kölcsönösen egyértelmű - illeszkedéstartó - kettősviszonytartó legyen.

  • Projektív transzformációk két nagy csoportja: - Korreláció (egyeneshez pontot, ponthoz egyenest rendelünk) - Kollineáció (pont képe pont, egyenes képe egyenes)

  • A kollineáció tulajdonságai: - kölcsönösen egyértelmű - illeszkedéstartó - kettősviszonytartó - térelemtartó

  • Ha két sík kollineár vonatkozású (egyik síkot a másikba kollineáció viszi), akkor perspektív helyzetbe hozhatók.

  • A kollineáció alaptétele: Ha az S síkban lévő A, B, C, D és az S’ síkban lévő A’, B’, C’, D’ pontnégyesek általános helyzetűek (négyszöget alkotnak), akkor mindig van az S síknak az S’ síkra, egy és csakis egy olyan kollineár leképezése, amelynél az A, B, C, D, pontoknak rendre az A’, B’, C’, D’ pontok felelnek meg (és viszont).

  • Az alaptételből következik, hogy a két sík közötti kollineációt egyértelműen meghatározza a síkokban felvett általános helyzetű, egymásnak megfelelő négy-négy pont, illetve négy-négy egyenes.

3.1.2 Alapszerkesztések

  • Egy pontsor rögzített A és B alappontpárja és adott (ABC) osztóviszony esetén, az osztóviszonyhoz tartozó C pont megszerkesztése. (Geometria I. 87. oldal)

  • Egy pontsor rögzített A, B és C alappontjai és adott (ABCD) kettősviszony esetén, a kettősviszonyhoz tartozó D pont megszerkesztése. (Geometria I. 90. oldal)

  • Két projektív pontsor negyedik megfelelőjének szerkesztése perspektív helyzetbe hozással. (Geometria I. 97. oldal)

  • Két projektív pontsor negyedik megfelelőjének szerkesztése perspektív tengellyel. (Geometria I. 98. oldal)

  • Két projektív pontsor negyedik megfelelőjének szerkesztése perspektív főtengellyel. (Geometria I. 99. oldal)

  • Két projektív sugársor negyedik megfelelőjének szerkesztése perspektív helyzetbe hozással. (Geometria I. 102. oldal)

  • Két projektív sugársor negyedik megfelelőjének szerkesztése perspektív centrummal. (Geometria I. 103. oldal)

  • Két projektív sugársor negyedik megfelelőjének szerkesztése perspektív főcentrummal. (Geometria I. 104. oldal)

  • Két projektív sugársor negyedik megfelelőjének szerkesztése papírcsíkos eljárással. (Geometria I. 105. oldal)

  • Steiner-féle szerkesztés.

  • Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer 4-4 megfelelő pontpárjával. Szerkesztendő az egyik sík tetszőleges (ötödik) pontjának a másik síkon lévő képe. (Geometria I. 119. oldal)

  • Adott két affin vonatkozású síkrendszer 3-3 megfelelő pontpárjával. Szerkesztendő az egyik sík tetszőleges (negyedik) pontjának a másik síkon lévő képe. (Geometria I. 120. oldal)

  • Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer 4-4 megfelelő pontpárjával. Szerkesztendők az ellentengelyek és képeik. (Geometria I. 121-122. oldal)

Irodalomjegyzék

Baboss Csaba: Geometria I., Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar, Székesfehérvár, 2007.

Coxeter H. S. M.: A geometriák alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973.

Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966.

Kárteszi Ferenc: Bevezetés a véges geometriákba, Akadémia Kiadó, Budapest, 1972.

Kárteszi Ferenc: Lineáris transzformációk, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974.

Reiman István: A geometria és határterületei, Gondolat Könyvkiadó, 1986.

Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974.

Szász Gábor: Projektív geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 1977.

Szőkefalvi Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete, Akadémia Kiadó, Budapest, 1968.