Ugrás a tartalomhoz

Geometriai példatár 3., Projektív geometria

Baboss Csaba (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

3.2 Projektív geometria FELADATOK

3.2 Projektív geometria FELADATOK

3.2.1 Elsőfajú alapalakzatok perspektív helyzete

  1. Ha egy (e) pontsort egy külső pontból egy síkra vetítünk, milyen alapalakzatot nyerünk?

  2. Ha egy (e) pontsort egy külső pontból egy a egyenesre vetítünk, milyen alapalakzatot nyerünk? (a illeszkedik e és P síkjára)

  3. Ha egy |P| sugársort egy külső C pontból egy síkra vetítünk, milyen alapalakzatot nyerünk?

  4. Ha egy sugársort egy, a tartósíkjára illeszkedő, de a tartópontján nem áthaladó egyenessel elmetszünk, akkor milyen alapalakzatot nyerünk?

  5. Ha egy síksort egy tetszőleges - de a t tartójára nem illeszkedő – síkkal elmetszünk, akkor milyen alapalakzatot nyerünk?

  6. Ha egy tetszőleges elsőfajú alapalakzatot metszünk vagy vetítünk, akkor milyen alapalakzatot nyerünk?

  7. Adott két egyenes. Milyen kölcsönös helyzet esetén létesíthető perspektív helyzet a két egyenes pontjai között, és hogyan? Perspektív helyzet esetén melyek lesznek az önmaguknak megfelelő pontpárok?

  8. Adott az e1(A1;B1;C1) és az e2(A2;B2;C2) pontsor három-három megfelelő elemével. Hozzuk a két pontsort perspektív helyzetbe, majd szerkesszük meg az ellenpontokat!

  9. Adott az e1(A1;B1;C1) és az e2(A2;B2;C2) pontsor három-három megfelelő elemével. Hozzuk a két pontsort perspektív helyzetbe, majd szerkesszünk negyedik és ötödik megfelelő elempárt!

  10. Adott a P1|a1;b1;c1| és a P2|a2;b2;c2| sugársor három-három megfelelő elemével. Hozzuk a két sugársort perspektív helyzetbe, majd szerkesszünk negyedik és ötödik megfelelő sugárpárt!

  11. Adott a P1|a1;b1;c1| és a P2|a2;b2;c2| sugársor három-három megfelelő elemével. Szerkesszük meg a közös n1=m2|P1P2| sugarak n2 , illetve m1 megfelelőit, perspektív helyzetbe hozással!

  12. Adott az e(A; B; C) pontsor és a P|a;b;c| sugársor három-három megfelelő elemével. Szerkesszük meg (perspektív helyzetbe hozással): a) az AB szakasz F felezőpontjának megfelelő f sugarat, b) a BC szakasz H harmadoló pontjának megfelelő h sugarat, c) az a és b sugarak által bezárt szög s szögfelezőjének megfelelő S pontot, d) a b és c sugarak által bezárt szög t szögfelezőjének megfelelő T pontot!

  13. Adott az e1(A1;B1;C1) és az e2(A2;B2;C2) pontsor három-három megfelelő elemével. Hozzuk a két pontsort perspektív helyzetbe, majd szerkesszük meg: a) az (e1) pontsoron az A1 ponttól 2 cm-re lévő pontoknak az (e2) pontsoron lévő megfelelőit, b) a B1C1 szakasz F1 felezőpontjának az (e2) pontsoron lévő megfelelőjét, c) az A2B2 szakasz egyik H2 harmadoló pontjának H1 megfelelőjét, d) az (e2) pontsoron a C2 ponttól 1 cm-re pontoknak az (e1) pontsoron lévő megfelelőit!

3.2.2 Osztóviszony, kettősviszony

  1. Számítsuk ki az alábbi ábrán adott (e) pontsor Pi (i=1, 2, 3, ...,17) pontjaihoz tartozó osztóviszony értékét az A, B alappontokra vonatkoztatva:

  2. Adott az (e) pontsor és azon a rögzített A, B alappontok. Szerkesszük meg a pontsor azon C, D, E, ...., N pontjait, amelyeknek az A, B alappontokhoz tartozó osztóviszonyaik: a) f) b) g) c) h) d) i) e) j) k)

  3. Adott egy e egyenes és azon az A, B és C pontok úgy, hogy (ABC)=3. Az egyenest egy tetszőleges irányból – párhuzamos vetítést alkalmazva – egy S síkra vetítjük. Az egyenes képe e’, a pontoké A’, B’, C’. Határozzuk meg az (A’ B’ C’) osztóviszony értékét!

  4. Adott egy e egyenes és azon az A, B és C pontok úgy, hogy (ABC)=7. Az e egyenest egy tetszőleges P pontból egy S síkra vetítjük. Az egyenes képe e’, a pontoké A’, B’, C’. Határozzuk meg az (A’ B’ C’) osztóviszony értékét az alábbi esetekben: a) e párhuzamos S-sel, b) e metszi az S síkot!

  5. Tekintsük azt a sugársort, amelyiknek P tartópontja egybeesik egy óra számlapjának középpontjával, a sugársor azon elemeit pedig, amelyek egész számmal jelzett pontot kötnek össze, a megfelelő számmal jelöljük. (Például (1,3,8) azon sugarakhoz tartozó osztóviszonyt jelenti, amelyek a középpontot az 1-es, 3-as és 8-as számmal jelzett pontot kötik össze az óra számlapján.) Határozzuk meg az alábbi sugárhármasokhoz tartozó osztóviszonyok értékét: a) (8,4,12)= g) (8,4,6)= b) (8,4,1)= h) (8,4,7)= c) (8,4,2)= i) (8,4,8)= d) (8,4,3)= j) (8,4,9)= e) (8,4,4)= k) (8,4,10)= f) (8,4,5)= l) (8,4,11)=

  6. Számítsuk ki az alábbi ábrán adott (e) pontsor Pi (i=1, 2, 3,...,19) pontjaihoz tartozó kettősviszony értékét! (Az A, B és C pontok a pontsor rögzített pontjai)

  7. Adott az (e) pontsor és azon a rögzített A, B és C pontok. Az alábbi szakaszok előjeles hossza: AB=10 cm, BC=-2 cm. Szerkesszük meg a pontsor azon D, E, .... pontjait, amelyeknek az A, B, C adott pontokkal alkotott kettősviszonyaik: a) i) b) j) c) k) d) l) e) m) f) n) g) o) h) p)

  8. Adott egy e egyenes és azon az A, B, C és D pontok úgy, hogy (ABCD)=2. Az egyenest egy tetszőleges irányból – párhuzamos vetítést alkalmazva – egy S síkra vetítjük. Az egyenes képe e’, a pontoké A’, B’, C’, D’. Határozzuk meg az (A’ B’ C’ D’) kettősviszony értékét az alábbi esetekben: a) e párhuzamos S-sel, b) e metszi az S síkot!

  9. Adott egy e egyenes és azon az A, B, C és D pontok úgy, hogy (ABCD)=5. Az egyenest egy tetszőleges P pontból egy S síkra vetítjük. Az egyenes képe e’, a pontoké A’, B’, C’, D’. Határozzuk meg az (A’ B’ C’ D’) kettősviszony értékét az alábbi esetekben: a) e párhuzamos S-sel, b) e metszi az S síkot!

  10. Tekintsük azt a sugársort, amelyiknek P tartópontja egybeesik egy óra számlapjának középpontjával, a sugársor azon elemeit pedig, amelyek egész számmal jelzett pontot kötnek össze, a megfelelő számmal jelöljük. (Például (1,7,5,2) azon sugarakhoz tartozó kettősviszonyt jelenti, amelyek a középpontot az 1-es, 7-es, 5-ös és 2-es számmal jelzett pontot kötik össze az óra számlapján.) Határozzuk meg az alábbi sugárnégyesekhez tartozó kettősviszonyok értéket: a) (8,4,5,1)= e) (8,4,5,5)= i) (8,4,5,9)= b) (8,4,5,2)= f) (8,4,5,6)= j) (8,4,5,10)= c) (8,4,5,3)= g) (8,4,5,7)= k) (8,4,5,11)= d) (8,4,5,4)= h) (8,4,5,8)= l) (8,4,5,12)=

  11. Legyen az, egy egyenesre illeszkedő A, B, C és D pontnégyes kettősviszonyának értéke egy k szám. A kettősviszony tulajdonságait felhasználva, határozzuk meg ugyanazon négy pont alábbi elrendezéseihez tartozó kettősviszonyok értékét: a) (BADC)= j) (CADB)= b) (CDAB)= k) (DBCA)= c) (DACB)= l) (ADCB)= d) (DCBA)= m) (BCDA)= e) (CBDA)= n) (CDBA)= f) (ACBD)= o) (DABC)= g) (ADBC)= p) (DBAC)= h) (BDAC)= r) (ACDB)= i) (BCAD)= s) (CBAD)=

  12. Jelöljük egy téglalap csúcsait A, B, C, D betűkkel, a szimmetria-középpontját pedig O-val. A téglalap rövidebbik oldala 3 cm, hosszabbik oldala 4 cm. Határozzuk meg az alábbi pontnégyesekhez tartozó kettősviszony értékét: a) (ABOC)= b) (BOCD)= c) (DABO)=

  13. Egy sugársor sorozópontja P, sorozósíkja S. E sugársor azon a, b, c, d elemnégyesét, amelyre (abcd)=-4 fennáll, elmetsszük egy tetszőleges P-re nem illeszkedő – de az S síkban lévő – e egyenessel. A megfelelő sugarakkal alkotott metszéspontokat jelöljük rendre: A, B, C, D betűvel. Határozzuk meg az (ABCD) kettősviszony értékét!

  14. Egy síksor tetszőleges A, B, C és D elemnégyeséhez tartozó kettősviszony értéke (ABCD)=2. Messük el a síksor elemeit egy tetszőleges – de a t tartóegyenesre nem illeszkedő – S síkkal. Az S sík a síksor elemeit, a sugársort alkotó a, b, c és d sugárnégyesben metszi. Határozzuk meg az (abcd) kettősviszony értékét!

  15. Egy síksor tetszőleges A, B, C és D elemnégyeséhez tartozó kettősviszony értéke (ABCD)=-5. Messük el a síksor elemeit egy tetszőleges – de a t tartóegyenesre nem illeszkedő – e egyenessel. Az e egyenes a síksor elemeit, a pontsort alkotó A, B, C és D pontnégyesben metszi. Határozzuk meg az (ABCD) kettősviszony értékét!

3.2.3 Elsőfajú alapalakzatok projektív vonatkozása (jele: )

  1. Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2) és az (e1) pontsor adott A1, B1 pontjai által meghatározott szakasz F1 felezőpontja, továbbá az (e2) pontsor C2 pontjától 2 cm-re lévő G2 és H2 pontok. Szerkesszük meg az adott pontok megfelelőit (F2, G1 és H1 pontokat) perspektív tengely segítségével!

  2. Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2). Szerkesszük meg az ellenpontokat perspektív tengely segítségével!

  3. Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2). Szerkesszük meg a tartóegyenesek közös M1=N2 pontjának M2, N1 megfelelőit perspektív tengely közbeiktatásával!

  4. Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2) és az (e1) pontsor B1C1 szakaszának H1, K1 harmadoló pontjai. Szerkesszük meg az adott pontok H2, K2 megfelelőit perspektív főtengely közbeiktatásával!

  5. Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2). Szerkesszük meg az ellenpontokat perspektív főtengely segítségével!

  6. Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2). Szerkesszük meg a tartóegyenesek közös pontjának megfelelőit perspektív főtengely közbeiktatásával!

  7. Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2). Szerkesszünk tetszőleges negyedik megfelelő elempárt: a) perspektív helyzetbe hozással, b) papírszalagos eljárás alkalmazásával!

  8. Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2). Szerkesszük meg az ellenpontokat: a) perspektív helyzetbe hozással, b) papírszalagos eljárás alkalmazásával!

  9. Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2). Szerkesszük meg a tartóegyenesek közös pontjának megfelelőit: a) perspektív helyzetbe hozással, b) papírszalagos eljárás alkalmazásával!

  10. Adott az e1(A1;B1;Q∞1) e2(A2;B2; Q∞2). Szerkesszük meg az A1B1 szakasz harmadoló pontjainak megfelelőit: a) perspektív tengellyel, b) perspektív főtengellyel, c) perspektív helyzetbe hozással, d) papírszalagos eljárás alkalmazásával!

  11. Adott a P1|a1;b1;c1| P2|a2;b2;c2|. Szerkesszük meg az (a1;b1)∠ f1 szögfelezőjének és a (b2;c2)∠ h2 szögfelezőjének f2 illetve h1 megfelelőit: a) perspektív centrummal b) perspektív főcentrummal c) perspektív helyzetbe hozással, d) papírszalagos eljárással!

  12. Adott a P1|a1;b1;c1| P2|a2;b2;c2|. Szerkesszük meg a tartópontok közös m1=n2 egyenesének m2, n1 megfelelőit: a) perspektív centrummal b) perspektív főcentrummal c) perspektív helyzetbe hozással, d) papírszalagos eljárással!

  13. Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2), ahol e1e2 (tehát két, közös tartóegyenesen lévő projektív pontsor). Steiner féle kör közbeiktatásával szerkesszünk: a) tetszőleges negyedik megfelelő elempárt, b) ellenpontokat, c) kettős pontokat, majd határozzuk meg, hogy milyen a pontsorok projektivitása!

  14. Adott két, közös tartón lévő projektív pontsor, három-három megfelelő elemével. Szerkesszünk tetszőleges negyedik megfelelő elempárt: a) perspektív helyzetbe hozással, b) papírszalagos eljárás alkalmazásával.

  15. Adott két, közös tartón lévő projektív pontsor, három-három megfelelő elemével. Szerkesszük meg az ellenpontokat: a) perspektív helyzetbe hozással, b) papírszalagos eljárás alkalmazásával, c) kettőspontokat, majd határozzuk meg, hogy milyen a pontsorok projektivitása!

  16. Adott két, közös tartón lévő projektív sugársor, három-három megfelelő elemével. Steiner féle kör közbeiktatásával szerkesszünk: a) tetszőleges negyedik megfelelő elempárt, b) kettős sugarakat!

  17. Az alábbi ábrákon két, közös tartón lévő pontsort vettünk fel – a korábbi esetektől eltérően – négy-négy megfelelő elemével. Bizonyítsuk be, hogy a két pontsor (e1 és e2) projektív kapcsolatban áll egymással!

  18. Adott két kongruens (egybevágó) pontsor, négy-négy megfelelő elemével. Szerkesszük meg: a) ellenpontokat, b) tetszőleges ötödik megfelelő elempárt!

  19. Egy autópálya egyenes szakaszán az alábbi objektumok vannak: vasúti aluljáró (A), közúti felüljáró (F), alagút bejárata (B). Az A, F és B objektumok térképünkön fel vannak tüntetve. Az említett autópályán egy parkolót (P) létesítenek. Hogyan tudjuk ezt feltérképezni, egyetlen légi fénykép alapján? (Állapítsuk előbb meg, hogy a térkép és a légi fénykép között milyen projektív geometriai kapcsolat van, majd végezzük el a szerkesztést!)

3.2.4 Másodfajú alapalakzatok

  1. Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer, négy-négy megfelelő pontjával, továbbá az S2 síkrendszernek egy tetszőleges P2 pontja. Szerkesszük meg a P2 pont S1 síkrendszerbeli megfelelőjét. A szerkesztést hányféleképpen lehet elvégezni?

  2. Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer, négy-négy megfelelő pontjával, továbbá az S1 síkrendszernek egy tetszőleges e1 egyenese. Szerkesszük meg az egyenesnek a másik síkrendszerben lévő megfelelőjét!

  3. Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer, négy-négy megfelelő egyenesével, továbbá az S1 síkrendszernek egy tetszőleges X1 pontja. Szerkesszük meg az adott pont X2 megfelelőjét!

  4. Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer, négy-négy megfelelő egyenesével, továbbá az S2 síkrendszernek egy olyan e2 egyenese, amely illeszkedik az a2, b2 egyenesek A2 metszéspontjára. Szerkesszük meg az e2 egyenes e1 megfelelőjét!

  5. Egy sík terepen az alábbi objektumok úgy helyezkednek el, hogy kettőnél több nem esik egy egyenesre: templom (T), toronyház (A), szálloda (H), emlékmű (E). Térképünkön az említett objektumok szerepelnek (A’; T’, H’, E’). Az említett terepen egy új objektumot (U) létesítenek. Hogyan tudjuk ezt feltérképezni egyetlen légi fénykép alapján? (Állapítsuk előbb meg, hogy a térkép és a légi fénykép között milyen projektív geometriai kapcsolat van!)

  6. Egy S sík terepen az A, B, C és D objektumok úgy helyezkednek el, hogy kettőnél több nem illeszkedik egy egyenesre, erről egy F1 filmfelvételünk van. A terepen egy újabb (E) objektum létesült. Ezután a terepről egy újabb F2 filmfelvételt készítünk. Ennek segítségével szerkesszük meg az F1 légi fénykép felvételén az E objektum F1 képét. (Állapítsuk előbb meg, hogy az F1 és F2 felvételek síkrendszerei között milyen projektív geometriai kapcsolat van!)

  7. Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer, négy-négy megfelelő egyenesével. Szerkesszük meg az ellentengelyeket!

  8. A középiskolában megismert középpontos hasonlóság milyen projektív geometriai fogalommal hozható kapcsolatba?

  9. A középiskolában megismert hasonlóság milyen projektív geometriai fogalommal hozható kapcsolatba?

  10. A középiskolában megismert egybevágósági transzformációk (tengelyes tükrözés, pontra való tükrözés, forgatás, eltolás) milyen projektív geometriai fogalommal hozható kapcsolatba?

  11. Adott az e egyenes és az arra illeszkedő A, B, C és D pontok. Az ugyancsak adott e* egyenesen három pont - A*, B* és C* - adott. Szerkesszük meg az e* egyenes azon D* pontját, amelyre (ABCD)=(A*B*C*D*) teljesül!

3.2.5 Axiális (tengelyes) affinitás

  1. Adott az ortogonális affinitás tengelyével, és megfelelő pontpárjával, továbbá egy négyzet egyik rendszerbeli képe. Szerkesszük meg a négyzet másik rendszerbeli megfelelőjét!

  2. Adott a klinogonális affinitás tengelyével, és megfelelő pontpárjával, továbbá egy téglalap. Szerkesszük meg a téglalap másik rendszerbeli megfelelőjét!

  3. Adott egy affinitás tengelye és iránya. Határozzuk meg megfelelő pontpárját úgy, hogy egy adott paralelogramma megfelelője rombusz legyen!

  4. Adott egy affinitás tengelye és iránya. Határozzuk meg megfelelő pontpárját úgy, hogy egy adott paralelogramma megfelelője téglalap legyen!

  5. Adott az ortogonális affinitás tengelyével, és P, P’ megfelelő pontpárjával, továbbá egy egyenes egyik (például a „vesszős”) rendszerbeli képe. Szerkesszük meg az egyenes másik rendszerbeli megfelelőjét!

  6. Adott az affinitás tengelyével és P, P’ megfelelő pontpárjával. Határozzuk meg a P-re illeszkedő a, b egyeneseket és a P’-re illeszkedő a’, b’ képeiket úgy, hogy ab és az a’b’ teljesüljön!

  7. Adott az affinitás tengelye és iránya, továbbá az ABC háromszög, melynek A és B csúcsai a tengelyre illeszkednek. Határozzuk meg az affinitást úgy, hogy az ABC háromszög A’B’C’ képe egyenlőszárú háromszög legyen!

  8. Adott az ortogonális affinitás tengelye és egy ABC háromszög. Határozzuk meg az ortogonális affinitást úgy, hogy az ABC háromszög A’B’C’ képe derékszögű háromszög legyen, és a derékszög az A’ csúcsnál legyen!

  9. Adott a klinogonális affinitás tengelyével, és egy megfelelő pontpárjával, továbbá egy trapéz egyik rendszerbeli képe úgy, hogy párhuzamos oldalai párhuzamosak a tengellyel. Szerkesszük meg a trapéz másik rendszerbeli megfelelőjét!

  10. Adott az affinitás tengelye és egy paralelogramma. Határozzuk meg az affinitást úgy, hogy a paralelogramma megfelelője négyzet legyen.

  11. Kis- és nagytengelyével adott egy ellipszis. Az affinitás alkalmazásával szerkesszünk további ellipszis pontokat, majd görbe vonalzó segítségével rajzoljuk meg a görbét!

  12. Tengelypárjával adott egy ellipszis, továbbá egy olyan egyenes, amelyik illeszkedik a kistengely egyik végpontjára, s a nagytengellyel 60o-os szöget zár be. Szerkesszük meg az egyenesnek az ellipszissel alkotott metszéspontjait!

  13. Tengelypárjával adott egy ellipszis, továbbá egy olyan P pont, amelyik két szomszédos tengelyvégponttól 8-8 cm-re van. Szerkesszünk e külső pontból az ellipszishez érintőket!

  14. Adott egy ellipszis kis- és nagytengelyével. Szerkesztendő az ellipszisnek egy tetszőleges pontja, továbbá a görbének e pontbeli érintője.

  15. Adott egy ellipszis kis- és nagytengelyével. Szerkesztendők az alábbi egyeneseknek az ellipszissel alkotott metszéspontjai: a) az e egyenes merőleges a kistengelyre, b) az f egyenes merőleges a nagytengelyre.

  16. Adott egy ellipszis kis- és nagytengelyével, továbbá egy egyenes. Szerkesztendők az ellipszis azon érintői, amelyek az adott egyenessel párhuzamosak.

  17. Adott az ellipszis nagytengelye és egy érintője. Szerkesztendő az E érintési pont és az ellipszis kistengelye.

  18. Adott az ellipszis nagytengelye és egy P pontja. Szerkesztendő a kistengely.

  19. Adott az ellipszis két tengelyének egyenese és egy érintője az E érintési ponttal. Szerkesztendők az ellipszis tengelyei.

  20. Adott az ellipszis két tengelyének egyenese és két pontja A, B. Szerkesztendők az ellipszis tengelyei.

3.2.6 Centrális kollineáció

  1. Adott a centrális kollineáció t tengelye és két megfelelő pontpárja. Szerkesztendő a kollineáció centruma.

  2. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma, és P, P’ megfelelő pontpárja, továbbá egy a’ egyenes, amely nem illeszkedik a P’ pontra. Szerkesztendő az a’ egyenes másik rendszerbeli megfelelője.

  3. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye, továbbá egy A pont. Szerkesztendő az adott pont másik rendszerbeli megfelelője.

  4. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye, továbbá egy A’ pont. Szerkesztendő az adott pont másik rendszerbeli megfelelője.

  5. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és q’ ellentengelye, továbbá egy A pont. Szerkesztendő az adott pont másik rendszerbeli megfelelője.

  6. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és q’ ellentengelye, továbbá egy A’ pont. Szerkesztendő az adott pont másik rendszerbeli megfelelője.

  7. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és P, P’ megfelelő pontpárja, továbbá az a és b párhuzamos egyenespár. Szerkesztendők az adott egyenesek másik rendszerbeli megfelelői. Az a’ és b’ egyenesek M’ metszéspontjáról mit állíthatunk?

  8. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és q’ ellentengelye, továbbá az a és b párhuzamos egyenespár. Szerkesztendők az adott egyenesek másik rendszerbeli megfelelői.

  9. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye, továbbá az a és b párhuzamos egyenespár. a) Szerkesztendők az adott egyenesek másik rendszerbeli megfelelői. b) Az a’ és b’ egyenesek M’ metszéspontjáról mit állíthatunk?

  10. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye. Szerkesztendő a q’ ellentengely.

  11. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és q’ ellentengelye. Szerkesztendő az r ellentengely.

  12. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és P, P’ megfelelő pontpárja. Szerkesztendő az r ellentengely.

  13. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és P, P’ megfelelő pontpárja. Szerkesztendő az q’ ellentengely.

  14. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és q’ ellentengelye, továbbá az a’ és b’ párhuzamos egyenespár. Szerkesztendők az adott egyenesek másik rendszerbeli megfelelői.

  15. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye, továbbá az a’ és b’ párhuzamos egyenespár. Szerkesztendők az adott egyenesek másik rendszerbeli megfelelői.

  16. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és q’ ellentengelye, továbbá egy tengellyel párhuzamos e egyenes. Szerkesztendő az adott egyenes másik rendszerbeli e’megfelelője.

  17. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye, továbbá egy tengellyel párhuzamos e egyenes. Szerkesztendő az adott egyenes másik rendszerbeli e’ megfelelője.

  18. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és q’ ellentengelye, továbbá egy A’B’C’ háromszög. Szerkesztendő a síkidom másik rendszerbeli megfelelője.

  19. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye, továbbá egy A’B’C’D’ paralelogramma. Szerkesztendő a síkidom másik rendszerbeli megfelelője.

  20. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye, továbbá egy ABCD trapéz. Szerkesztendő a síkidom másik rendszerbeli megfelelője.

  21. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és P, P’ megfelelő pontpárja. Szerkesszük meg a P, P’ pontokon átmenő a) e egyenes végtelen távoli pontjának a másik rendszerben lévő megfelelőjét, b) e’ egyenes végtelen távoli pontjának a másik rendszerben lévő megfelelőjét.

  22. Adott a centrális kollineáció t tengelye és r ellentengelye, továbbá egy a, b metsző egyenespár. Szerkesztendő a C centrum úgy, hogy az egyenesek a’, b’ megfelelői merőlegesek legyenek egymásra.

  23. Adott a centrális kollineáció t tengelye és q’ ellentengelye, továbbá egy a’, b’ metsző egyenespár. Szerkesztendő a C centrum úgy, hogy az egyenesek a, b megfelelői adott szöget zárjanak be.

  24. Adott az ABCD általános négyszög, az A pontnak megfelelő A’ pont, továbbá a centrális kollineáció t tengelyének egy T pontja. Határozzuk meg a centrális kollineációt úgy, hogy az általános négyszög másik rendszerbeli megfelelője téglalap legyen!

  25. Adott az ABCD általános négyszög, az A pontnak megfelelő A’ pont, továbbá a centrális kollineáció t tengelyének egy T pontja. Határozzuk meg a centrális kollineációt úgy, hogy az általános négyszög másik rendszerben lévő megfelelője rombusz legyen!

  26. Adott egy általános négyszög, továbbá a centrális kollineáció t tengelyének egy T pontja. Határozzuk meg a centrális kollineációt úgy, hogy az általános négyszög másik rendszerben lévő megfelelője négyzet legyen!

  27. Adott a centrális kollineáció C centrumával és három megfelelő pontpárjával. Szerkesszük meg a kollineáció tengelyét!