Ugrás a tartalomhoz

Geometriai példatár 3., Projektív geometria

Baboss Csaba (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

3.3 Projektív geometria MEGOLDÁSOK

3.3 Projektív geometria MEGOLDÁSOK

3.3.1 Elsőfajú alapalakzatok perspektív helyzete (Megoldások)

  1. Ha a vetület pontsort (e’)-vel jelöljük, akkor (e) pespektív (e’)-vel.

  2. (e) pespektív (e’)-vel.

  3. Ha a sugársor vetületét |P’|-vel jelöljük, akkor |P| perspektív |P’|-vel.

  4. Ha az elmetszett sugársort |P|-vel jelöljük, a sugársorból a sík által kimetszett pontsort (m)-mel jelöljük, akkor (m) perspektív |P|-vel.

  5. Ha a [t] síksorból kimetszett sugársort |P|-vel jelöljük, akkor |P| perspektív [t]-vel.

  6. Ha egy tetszőleges elsőfajú alapalakzatot metszünk vagy vetítünk, eredményül mindig az eredetivel perspektív helyzetű alapalakzatot nyerünk.

  7. Ha a két egyenes metsző, akkor egy P külső pontból való vetítéssel perspektív helyzetet hozhatunk létre. Ha a P pont a végtelenben van, akkor hasonlóan perspektív helyzet jön létre. Az önmaguknak megfelelő pontpárok (fixpontok) a két egyenes közös pontjai (metszéspontjai) lesznek. Ha a két egyenes párhuzamos, akkor egy külső P pontból való vetítéssel létesített perspektivitás hasonlóan perspektív helyzet lesz. Ha a két egyenes párhuzamos, és egy végtelen távoli P pontból vetítünk, akkor a két pontsor perspektivitása (a legspeciálisabb) egyenlően perspektív helyzetet eredményez.

A 8-13. feladatok alapszerkesztések, melyeket a jegyzetben található szerkesztési leírás alapján hajthatunk végre.

3.3.2 Osztóviszony, kettősviszony (Megoldások)

  1. .

  2. A feladat alapszerkesztés, melyet a jegyzetben található szerkesztési leírás alapján hajthatunk végre.

  3. Az (A’B’C’)=3, mert a párhuzamos vetítés osztóviszonytartó geometriai transzformáció.

  4. a) (A’B’C’)=7. b) Az osztóviszony centrális vetítés esetén megváltozik! Tehát az (A’B’C’) ismeretlen!

  5. A feladat megoldásai: a) (8,4,12)=1 g) (8,4,6)=1 b) (8,4,1)= h) (8,4,7)= c) (8,4,2)=0 i) (8,4,8)=0 d) (8,4,3)=-1 j) (8,4,9)=-1 e) (8,4,4)=∞ k (8,4,10)=∞ f) (8,4,5)=2 l (8,4,11)=2. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy az a)-f) feladatok osztóviszonyainak számértéke páronként megegyezik a g)-l) feladatok eredményeivel. Ez csupán látszat ellentmondás, mert – pl. az a) és g) feladatoknál a 12-es illetve 6-os mutatóállás (mint óramutató) különbözik, de mint sugársor elem, ugyanazt az egyenest jelenti!

  6. .

  7. A feladat alapszerkesztés, melyet a jegyzetben található szerkesztési leírás alapján hajthatunk végre.

  8. a) (A’B’C’D’)=2, de itt a megfelelő szakaszok is egyenlők (A’C’=AC, C’B’=CB, A’D’=AD és D’B’=DB). b) (A’B’C’D’)=2, de itt (A’B’C’)=(ABC) és (A’B’D’)=(ABD) is fennáll.

  9. a) (A’B’C’D’)=5, de itt (A’B’C’)=(ABC) és (A’B’D’)=(ABD) is fennáll. b) (A’B’C’D’)=5.

  10. A feladat megoldásai: a) (8,4,5,1)=4 e) (8,4,5,5)=1 i) (8,4,5,9)=-2 b) (8,4,5,2)=∞ f) (8,4,5,6)=2 j) (8,4,5,10)=0 c) (8,4,5,3)=-2 g) (8,4,5,7)=4 k) (8,4,5,11)=1 d) (8,4,5,4)=0 h)(8,4,5,8)=∞ l) (8,4,5,12)=2. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy az a)-f) feladatok kettősviszonyainak számértéke páronként megegyezik a g)-l) feladatok eredményeivel. Ez csupán látszat ellentmondás, mert – pl. az a) és g) feladatoknál az 1-es illetve 7-es mutatóállás (mint óramutató) különbözik, de mint sugársor elem, ugyanazt az egyenest jelenti!

  11. Megoldások: a) (BADC)=k j) (CADB)=1-k b) (CDAB)=k k) (DBCA)=1-k c) (DACB)= l) (ADCB)= d) (DCBA)=k m) (BCDA)= e) (CBDA)= n) (CDBA)= f) (ACBD)=1-k o) (DABC)= g) (ADBC)= p) (DBAC)=k h) (BDAC)=1-k r) (ACDB)= i) (BCAD)= s) (CBAD)= .

  12. Csak olyan pontnégyesekre értelmeztük a kettősviszonyt, amelyek egy pontsor pontjai (azaz egy egyenesre esnek). Ez a feltétel az a); b); c) részek egyikében sem teljesül, tehát nem értelmezhető a kettősviszony, a feladatban szereplő pontnégyesekre.

  13. (ABCD)=-4, mert (e) és |P| perspektív helyzetű, és ezért teljesül a Papposz tétele.

  14. (abcd)=2, mert [t] és |P| perspektív helyzetű, és ezért teljesül a Papposz tétele.

  15. (ABCD)=-5, mert [t] és (e) perspektív helyzetű, és ezért teljesül a Papposz tétele.

3.3.3 Elsőfajú alapalakzatok projektív vonatkozása (Megoldások)

  1. Alapszerkesztés, lásd jegyzet.

  2. Alapszerkesztés, lásd jegyzet.

  3. Alapszerkesztés, lásd jegyzet.

  4. Alapszerkesztés, lásd jegyzet.

  5. Alapszerkesztés, lásd jegyzet.

  6. Alapszerkesztés, lásd jegyzet.

  7. A feladat a) része alapszerkesztés. A feladat b) része: A papírszalagos eljárást (lásd jegyzet) projektív sugársorokkal kapcsolatban alkalmaztuk. Projektív pontsorok esetén akkor használhatjuk, ha előbb felveszünk tetszőlegesen egy-egy sugársort úgy, hogy azok perspektív helyzetűek legyenek a feladatban szereplő egy-egy pontsorral.

  8. A feladat a) része: alapszerkesztés (lásd jegyzet). A feladat b) része: A 7. feladat b) részével azonos eljárás.

  9. A feladat a) része: alapszerkesztés (lásd jegyzet). A feladat b) része: A 7. feladat b) részével azonos eljárás.

  10. A feladat a); b); c) része: alapszerkesztés (lásd jegyzet). A feladat d) része: A 7. feladat b) részével azonos eljárás.

  11. Alapszerkesztés, lásd jegyzet.

  12. Alapszerkesztés, lásd jegyzet.

  13. Alapszerkesztés, lásd jegyzet.

  14. Alapszerkesztés, lásd jegyzet.

  15. Alapszerkesztés, lásd jegyzet.

  16. Alapszerkesztés, lásd jegyzet.

  17. A feladat a) része: A pontsorok projektivitása akkor áll fenn, ha tudjuk bizonyítani, hogy (A1B1C1D1)=(A2B2C2D2). Az egyes pontok egybeesései miatt (A1B1C1D1)=(C2D2A2B2). A kettősviszonyra vonatkozó tulajdonságokat (lásd jegyzet) alkalmazva: (C2D2A2B2)=(B2A2D2C2)=(A2B2C2D2). A feladat b) részének megoldása során az előbbihez hasonlóan kell eljárni.

  18. Lásd a Geometria I jegyzet 84. oldal 50. ábráit.

  19. A térkép és a légifelvétel között projektív vonatkozás áll fenn. Feladat a negyedik megfelelő pontpár szerkesztése.

3.3.4 Másodfajú alapalakzatok (Megoldások)

  1. A feladatot az alapszerkesztések bármelyikével el lehet végezni, tehát: Perspektív centrum felhasználásával, Perspektív főcentrum felhasználásával, Perspektív helyzetbe hozással, Papírszalagos eljárással. Megjegyzés: A feladat számítással is megoldható, így a kapott eredmény alapján a keresett képpontok kijelölhetők. Ez természetesen nem szerkesztés.

  2. Alapszerkesztés. (Lásd pl. a papírcsíkos eljárást.)

  3. Alapszerkesztés.

  4. Alapszerkesztés.

  5. A légi fénykép és a térkép két kollineár vonatkozású síkrendszer, tehát a keresett pont az alapszerkesztések egyikével megszerkeszthető.

  6. A két légi fénykép (F1 és F2) kollineár vonatkozású síkrendszert alkot, tehát a keresett pont az alapszerkesztések egyikével megszerkeszthető.

  7. Alapszerkesztés.

  8. Alapfeladat.

  9. Alapfeladat.

  10. Alapfeladat.

  11. Alapszerkesztés.

3.3.5 Axiális (tengelyes) affinitás (Megoldások)

  1. Alapszerkesztés a négyzet csúcsaira alkalmazva, az illeszkedéstartás és azon tulajdonság felhasználásával, hogy egyenes és képe a tengelyen metszik egymást.

  2. Alapszerkesztés. (Lásd az előző feladatot.)

  3. A szerkesztés menete: a) A paralelogramma átlóit hosszabítsuk meg a tengelyig. b) A tengelyen lévő metszéspontok szakaszára Thalesz kört emelünk. c) A paralelogramma átlóinak metszéspontjából húzzunk párhuzamost az adott affinitás irányával. d) Az előbbi egyenes a Thalesz körből kimetszi a rombusz átlóinak metszéspontját. Ezzel megfelelő pontpárhoz jutottunk (meghatároztuk az axiális affinitást), a szerkesztés innen már illeszkedéssel végrehajtható.

  4. Mivel a téglalapnak nem az átlói (mint az előbbi feladatban), hanem a szomszédos oldalai merőlegesek egymásra, ezért itt a paralelogramma két szomszédos oldalának egyenesét kell a tengelyig meghosszabbítani. A b), c), d) szerkesztési lépések azonosak az előbbivel.

  5. A pont képének szerkesztését alkalmazzuk az egyenes két pontjára, melyek közül egyik a tengellyel való metszéspont legyen, hiszen ennek képe önmaga.

  6. A megfelelő egyenesek tengelypontjait egy olyan kör metszi ki az adott tengelyből, amelynek a középpontja illeszkedik a tengelyre. Ezen kör (Thalesz kör) középpontját a PP’ szakaszt merőlegesen felező egyenese metszi ki az affinitás tengelyéből.

  7. Legyen A’B’=A’C’, ekkor a B’C’ oldal az egyenlőszárú háromszög alapja. Legyen F az ABC háromszög BC oldalának felezőpontja. Az affinitást meghatározó F’ pontot az affinitás irányával párhuzamos, az F pontra illeszkedő egyenes metszi ki az A’B’ szakaszra emelt Thalesz körből. Az A’B’=B’C’ eset a feladat másik megoldását adja.

  8. Az A’ pontot az AB és AC egyenesek tengelypontjai által meghatározott szakaszra emelt Thalesz körből metszi ki az A csúcsra illeszkedő, tengelyre merőleges egyenes.

  9. Alapszerkesztés. (Az illeszkedés megtartásával.)

  10. Legyen a paralelogramma átlóinak metszéspontja M. Az M pont M’ megfelelőjét két Thalesz kör metszéspontjaként nyerjük. Az egyik kör átmérővégpontjait a paralelogramma átlóinak tengelypontjai adják, a másik kör átmérővégpontjait pedig paralelogramma középvonalainak tengelypontjai adják.

  11. A szerkesztésben felhasználjuk a következő tételt: Minden ellipszis ortogonális axiális affin képe a nagytengelye – mint átmérő – köré rajzolt körnek. Ennek az affinitásnak a tengelye a nagytengely egyenese. A kistengely egyik végpontjának a „kör rendszerében” lévő megfelelőjét (képét) a kistengely egyenesének a körrel való metszéspontjában nyerjük.

  12. Előbb megszerkesztjük az egyenesnek a kör rendszerében lévő képét, majd meghatározzuk ennek a körrel vett metszéspontjait, végül e pontoknak megszerkesztjük az ellipszis rendszerében lévő megfelelőit.

  13. A szerkesztés menete: a) Meghatározzuk a P pontnak a („körrendszerbeli”) P’ megfelelőjét. b) Megszerkesztjük a körnek a P’ pontra illeszkedő érintőit. c) Az előbb nyert érintőknek megadjuk az affin képét, amelyek a keresett ellipszis érintők lesznek.

  14. A szerkesztés menete: a) Az ellipszissel kapcsolatos problémát áttranszformáljuk a kör rendszerébe. b) A kör rendszerében elvégezzük a szerkesztést. c) Az eredményt visszatranszformáljuk az ellipszis rendszerébe.

  15. A megoldás menete megegyezik az előző feladat megoldási tervével.

  16. A szerkesztés menete: a) Az ellipszissel kapcsolatos problémát áttranszformáljuk a kör rendszerébe. b) A kör rendszerében elvégezzük a szerkesztést. c) Az eredményt visszatranszformáljuk az ellipszis rendszerébe.

  17. Előbb az E ismeretlen érintési pont E’ („körrendszerbeli”) képét határozzuk meg. Mivel a kör érintője merőleges az érintési pontban a kör sugarára, ezért E’ rajta van az érintő tengelypontja és az ellipszis középpontja által meghatározott szakasz Thalesz körén. Az E’ tehát az előbbi Thalesz körnek és a nagytengelyre emelt körnek a metszéspontjában lesz. A keresett E érintési pontot az E’ merőleges vetületeként nyerjük az adott érintőn. Ezzel az adott E és E’ megfelelő pontpárral meghatároztuk az affinitást, így a kistengely végpontjai már rekonstruálhatók.

  18. A P pont körrendszerbeli képét (P’ pontot) az adott nagytengelyre emelt körön – merőleges affinitásról lévén szó – közvetlenül kijelölhetjük. Ezzel megfelelő pontpárhoz jutottunk, azaz meghatároztuk az affinitást. Innentől a szerkesztés már egyszerűen befejezhető.

  19. Az adott E pont körrendszerbeli E’ képe rajta van azon a Thalesz körön, amelyik átmérőjének egyik végpontját az adott érintő tengelypontja, másik végpontját pedig az ellipszis középpontja (itt az adott tengelyek egyeneseinek O metszéspontja) adja. Továbbá az E’ illeszkedik arra az egyenesre is, amelyik átmegy az E ponton és merőleges a nagytengely egyenesére (a merőleges affinitás miatt). Ezek alapján E’ szerkeszthető. A nagytengely végpontjait az OE’ sugarú kör a nagytengely egyeneséből metszi ki. A kistengely végpontjait affinitással nyerjük.

  20. Jelöljük az AB szakasz felezési pontját F-fel. Az F pont körrendszerbeli F’ képe rajta van az adott pontok egyenesének tengelypontja és az ellipszis középpontja által meghatározott szakasz Thalesz körén, mert a kör bármely húrjának felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján. Továbbá az F’ illeszkedik arra az egyenesre is, amelyik átmegy az F ponton és merőleges a nagytengely egyenesére (a merőleges affinitás miatt). Innen F’ szerkeszthető, és ennek ismeretében, a tengelypontot ezzel összekötve az AB egyenes körrendszerbeli képét kapjuk, majd ezen az A’ és B’ pontokat kijelölhetjük. A nagytengely végpontjait az OA’ sugarú kör metszi ki a nagytengely egyeneséből. A kistengely végpontjait affinitással nyerjük.

3.3.6 Centrális kollineáció (Megoldások)

  1. Alapszerkesztés.

  2. Alapszerkesztés.

  3. Ha egy centrális kollineációt felhasználó feladatban a megfelelő pontpár helyett ellentengely van megadva, akkor előbb megfelelő pontpárt keresünk. Mivel az ellentengely egy végtelen távoli egyenes megfelelője (képe), ezért bármely pontjának képét úgy nyerjük, hogy vesszük az említett pontot a centrummal összekötő egyenesnek a végtelen távoli pontját.

  4. Lásd az előző feladat megoldását.

  5. Lásd a 3. feladat megoldását.

  6. Lásd a 3. feladat megoldását.

  7. Az M’ lényegében a két adott párhuzamos egyenes közös végtelen távoli pontjának a képe. Ezért erre illeszkedve, a t tengellyel párhuzamosan megadhatnánk a q’ ellentengelyt.

  8. A C centrumból a párhuzamosok közös M végtelen távoli pontját a q’ ellentengelyre vetítve kapjuk annak M’ képét. Az M’ pontot az adott egyenesek tengelypontjaival összekötve kapjuk a keresett a’ és b’ képeket.

  9. Az a) rész megoldása: Az adott egyenesek az r ellentengelyt az A illetve B pontokban metszik (mivel az ellentengellyel azonos síkrendszerben vannak). Ezen A illetve B pontoknak a (jelzett) másik síkrendszerben lévő képeik a végtelenben vannak. Az A’ és B’ pontokat a CA illetve CB egyenesek végtelen távoli pontjával adjuk meg. Megoldások: a’ (Az a egyenes tengelypontjából párhuzamost húzunk a CA iránnyal.) b’ (A b egyenes tengelypontjából párhuzamost húzunk a CB iránnyal.) A b) rész megoldása: Az a’ és b’ egyenesek M’ metszéspontján át, a t tengellyel párhuzamosan felvehető a q’ ellentengely.

  10. Lásd az előző feladat b) részének megoldását.

  11. Az r ellentengely a „vesszős” síkrendszer végtelen távoli pontjainak (amelyek egy végtelen távoli egyenesen helyezkednek el) a képe. Ezt figyelembe véve a megoldás lépései a következők: a) Felveszünk egy végtelen távoli pontot a „vesszős” rendszerben (P’) b) Megszerkesztjük ennek a másik rendszerben lévő képét (P) c) A P ponton át a t tengellyel párhuzamosan felvesszük a keresett r ellentengelyt.

  12. Lásd az előző feladat megoldását.

  13. Lásd a 11. feladat megoldását.

  14. A feladat megoldása lényegében megegyezik a 9. feladat a) részével. A két feladatban az a közös, hogy a két párhuzamos egyenes az ellentengellyel azonos síkrendszerben van.

  15. A feladat megoldása lényegében megegyezik a 8. feladat megoldásával. A két feladatban az a közös, hogy a két párhuzamos egyenes az ellentengellyel nincs azonos síkrendszerben.

  16. Az e egyenest egyetlen tetszőleges pontjával transzformálhatjuk (a tengelypont a végtelenben van, azaz e’ párhuzamos t tengellyel.

  17. Lásd az előző feladat megoldását.

  18. A megoldás lépései: a) Transzformáljuk az egyik csúcsot (pl. A-t). b) Felvesszük az AB és AC egyenesek képét (az A’ pontot összekötjük a az említett egyenesek tengelypontjával). c) Az előbb nyert kép-egyenesekre a C centrumból (úgynevezett centrális rendezőkkel) rávetítjük a hiányzó B’ illetve C’ képeket.

  19. A szerkesztés elve azonos az előbbi feladat megoldásával, a lépéseket itt a paralelogramma csúcsaira hajtjuk végre.

  20. A szerkesztés elve azonos a 18. feladat megoldásával.

  21. Az a) és a b) részben is csupán egy-egy pont transzformációjáról van szó.

  22. A szerkesztés menete: a) Az adott egyenesek tengelypontjai által meghatározott szakaszra Thalesz kört emelünk. Ezen a körön tetszőlegesen kijelölhető (végtelen sok megoldás!) az a’ és b’ egyenesek M’ metszéspontja. b) Meghatározzuk az adott a és b egyeneseknek az ellentengellyel alkotott A és B metszéspontjait, majd az AB szakaszra Thalesz kört emelünk. c) Ez utóbbi Thalesz körből az MM’ centrális rendező kimetszi a keresett C centrumot.

  23. A szerkesztés menete: a) Az adott a’ és b’ egyenesek tengelypontjai által meghatározott szakaszra szögű látókört emelünk. (Megjegyzés: Tudjuk, hogy azon pontok mértani helye a síkon, ahonnan egy szakasz végpontjai adott szögben láthatók, körívet (2 db egybevágó, a szakasz egyenesére tengelyesen szimmetrikusan elhelyezkedő) alkotnak. Ezt látókörívnek nevezzük.) Ezen a köríven tetszőlegesen kijelölhető az a és b egyenesek M metszéspontja. b) Meghatározzuk az adott a’, b’ egyenesek q’ ellentengellyel alkotott A’, B’ metszéspontjait, majd az A’B’ szakaszra szögű látókört emelünk. c) Ez utóbbi látókörből az MM’ centrális rendező kimetszi a keresett C centrumot.

  24. A szerkesztés menete: a) Az adott ABCD négyszög szemben lévő oldalainak metszéspontjait összekötve kapjuk az r ellentengelyt. (Megjegyzés: A keresett A’B’C’D’ négyszög téglalap, ennek a szemközti oldalai párhuzamosak, ezért közös végtelen távoli pontjaik képét, az ABCD négyszög szemben lévő oldalainak metszéspontjaként nyerjük.) b) Megrajzoljuk a t tengelyt amely átmegy a T ponton, és párhuzamos az előbb nyert ellentengellyel. c) Megszerkesztjük a D’ pontot, amely rajta van a DA és DC egyenesek tengelypontjai által meghatározott szakasz Thalesz körén (mivel a téglalap szögei derékszögek), másrészt a DA egyenes képén, amelyet tengelypontja és A’ pontja ismeretében megadhatunk. d) Végül a DD’, AA’ centrális rendezők metszéspontjában megkapjuk a kollineáció C centrumát.

  25. A szerkesztés menetének a), b) és d) lépései azonosak az előbbi feladat megoldási lépéseivel. A c) pontban nem egy csúcsnak, hanem az átlók M metszéspontjának M’ képét kell megszerkeszteni, mivel a rombusz átlói merőlegesen felezik egymást.

  26. A szerkesztés menetének elve az a) és b) szerkesztési lépések esetében, megegyezik a 24. feladat a) és b) szerkesztési lépéseivel. c) Az ABCD négyszög átlói M metszéspontjának M’ képét két Thalesz kör metszéspontjában nyerjük. Az egyik Thalesz kör az átlók tengelypontjai által meghatározott szakasz Thalesz köre (mivel négyzet lesz a négyszög képe, és a négyzet átlói átlói merőlegesek egymásra). A másik Thalesz kör pedig a középvonalak tengelypontjai által meghatározott szakasz Thalesz köre (mert a négyzet középvonalai is merőlegesek egymásra). A négyzet középvonalainak képét az ABCD általános négyszögben úgy nyerjük, hogy az M metszéspontot összekötjük a szemben lévő oldalegyenesek metszéspontjával (mert a négyzet szemben lévő oldalai a köztük lévő középvonallal párhuzamosak, ezért egyeneseiknek közös a végtelen távoli pontjuk). d) Megszerkesztjük az A csúcs képét az A’ pontot. Az A’ pontot az AD és AB egyenesek tengelypontjai által meghatározott szakasz Thalesz köréből az AM egyenes képe metszi ki, amely pedig a tengelypontja és M’ ismeretében megrajzolható. e) Végül az MM’ és AA’ centrális rendezők metszéspontjában megkapjuk a kollineáció C centrumát.

  27. Mivel a kollineáció C centruma adott, ezért a két háromszög megfelelő csúcsait összekötő egyeneseknek a centrumon kell átmenniük. Desargues tétele miatt a megfelelő oldalak egyeneseinek metszéspontjai egy egyenesre kell, hogy essenek. Ezért elegendő két-két megfelelő egyenes metszéspontját meghatározni. Ezek összekötő egyenese lesz a kollineáció tengelye.