Ugrás a tartalomhoz

Geometriai példatár 5., Kótás projekció

Baboss Csaba (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

5.3 Kótás projekció MEGOLDÁSOK

5.3 Kótás projekció MEGOLDÁSOK

5.3.1 Alapfeladatok (Megoldások)

  1. a) d=8 m. b) d=10 m.

  2. d=20 cm.

  3. k=mm.

  4. k=mm.

  5. k=8 mm.

  6. M=1:200.

  7. , .

  8. Alapfeladat, lásd jegyzet.

  9. Alapfeladat, lásd jegyzet.

  10. Alapfeladat, lásd jegyzet.

  11. Alapfeladat, lásd jegyzet.

  12. Alapfeladat, lásd jegyzet.

  13. Alapfeladat, lásd jegyzet.

  14. Alapfeladat, lásd jegyzet.

  15. A feladatnak két megoldása van. a) a képsík alatt, b) a képsík felett.

  16. Alapfeladat, lásd jegyzet.

  17. Alapfeladat, lásd jegyzet.

  18. Alapfeladat, lásd jegyzet.

  19. Alapfeladat, lásd jegyzet.

5.3.2 Vetítősík szintsíkba forgatásával megoldható feladatok (Megoldások)

  1. Az adott egyenesre egy vetítősíkot illesztünk. A vetítősíkot (s benne az egyenest) valamelyik szintsíkba forgatjuk. A keresett szög nagyságát a leforgatottban nyerjük.

  2. A megoldás lépései: a) Az egyenesre vetítősíkot illesztünk. b) A vetítősíkot szintsíkba forgatjuk. c) A forgatottban megállapítható az egyenes α képsíkszögének valódi nagysága. d) , .

  3. Megoldási lépések: a) Az egyenes képére egy V vetítősíkot illesztünk. b) Az A pontja segítségével a vetítősíkot szintsíkba forgatjuk. c) A forgatottban felvesszük az (A) pontra illeszkedő, 30o-os képsíkszögű egyenes forgatottját. d) Meghatározzuk a B pont forgatottját, amely illeszkedik az egyenes forgatottjára. e) Lépték segítségével meghatározzuk a (B) leforgatottnak a tengelytől való távolságát, végül ennek segítségével megállapítjuk a B kótáját.

  4. Az a), b), c), d), e), f) pontok mindegyikének azonos az elve: Az adott pontok egyenesére vetítősíkot illesztve, azt szintsíkba forgatva a kérdéses szakaszhossz – a méretarányt figyelembe véve – valódi méretében látszik.

  5. A megoldás lépései: a) Az egyenesre vetítősíkot illesztünk. b) A vetítősíkot szintsíkba forgatjuk. c) A forgatottban felvesszük a keresett pontok forgatottjait. d) Végül ezeket visszaforgatjuk.

  6. A feladat vetítősík szintsíkba forgatása nélkül is megoldható: a) A lejtő ismeretében megszerkesztjük az osztóközt, majd ezekkel graduálunk. (Két megoldás lesz különböző lejtiránnyal.) b) A lejtő ismeretében kiszámítjuk az osztóközt, majd ezzel graduálunk.

  7. Lásd az előbbi feladatot.

  8. Megoldási lépések: a) A vetítősíkot (pontjaival) valamely szintsíkba forgatjuk. b) Forgatottban megszerkesztjük a háromszög súlypontját. c) A kapott eredményt visszaforgatjuk. Emlékeztető: A háromszög súlypontja a súlyvonalak metszéspontja. A háromszög súlyvonala pedig az az egyenes (illetve szakasz), amely a háromszög adott csúcsát köti össze a szemközti oldal felezési pontjával.

  9. Megoldási lépések: a) A vetítősíkot (pontjaival) valamely szintsíkba forgatjuk. b) Forgatottban megszerkesztjük a háromszög magasságpontját. c) A kapott eredményt visszaforgatjuk. Emlékeztető: A háromszög magasságpontja a magasságvonalak metszéspontja. A háromszög magasságvonala az az egyenes, melyet a háromszög adott csúcsából a szemközti oldal egyenesére állítunk.

  10. Megoldási lépések: a) A vetítősíkot (pontjaival) valamely szintsíkba forgatjuk. b) Forgatottban megszerkesztjük a háromszög köré írható körének K középpontját! c) A kapott eredményt visszaforgatjuk. Emlékeztető: A háromszög köré írható körének középpontját az oldalfelező merőlegesek metszéspontja adja.

  11. Megoldási lépések: a) A vetítősíkot (pontjaival) valamely szintsíkba forgatjuk. b) Forgatottban megszerkesztjük a háromszögbe írható körnek a középpontját! c) A kapott eredményt visszaforgatjuk. Emlékeztető: A háromszögbe írható kör középpontját a szögfelezők metszéspontja adja.

  12. A megoldás lépései: a) A két pont egyenesére vetítősíkot illesztünk. b) A vetítősíkot szintsíkba forgatjuk. c) Forgatottban megszerkesztjük az AB oldalú négyzetet. d) A kapott négyzetet visszaforgatjuk.

  13. A megoldás lépései: a) A két pont egyenesére vetítősíkot illesztünk. b) A vetítősíkot szintsíkba forgatjuk. c) Forgatottban megszerkesztjük az ABC szabályos háromszöget. d) A kapott szabályos háromszöget visszaforgatjuk.

  14. A megoldás lépései: a) Az adott vetítősíkot szintsíkba forgatjuk. b) Forgatottban megoldjuk a feladatot. c) Visszaforgatunk.

  15. Lásd az előző feladatot.

  16. Lásd a 14. feladatot.

  17. Lásd a 14. feladatot.

  18. Lásd a 14. feladatot.

  19. Lásd a 14. feladatot.

  20. Lásd a 14. feladatot.

  21. Lásd a 14. feladatot.

5.3.3 Helyzetgeometriai feladatok (Megoldások)

  1. Alapszerkesztés, lásd jegyzet.

  2. Alapszerkesztés.

  3. Alapszerkesztés.

  4. Alapszerkesztés.

  5. Alapszerkesztés.

  6. Alapszerkesztés.

  7. Alapszerkesztés.

  8. Alapszerkesztés.

  9. Alapszerkesztés.

  10. Alapszerkesztés.

  11. Alapszerkesztés.

  12. Alapszerkesztés.

  13. Alapszerkesztés.

  14. Alapszerkesztés.

  15. Alapszerkesztés.

  16. Megszerkesztjük ABC háromszög síkjának graduált esésvonalát, majd ezzel párhuzamos esésvonalat szerkesztünk az adott P ponton át. Ezzel meghatároztuk a keresett síkot.

  17. Az az egyenes, amelyik két (általános helyzetű) adott síkkal párhuzamos, az párhuzamos a két sík metszésvonalával is. Tehát a P pontra illeszkedő, a metszésvonallal párhuzamos egyenest kell szerkeszteni.

  18. Egy sík akkor párhuzamos egy egyenessel, ha a síknak van az egyenessel párhuzamos egyenese. Ezt figyelembe véve, a szerkesztés menete a következő: a) Ábrázolunk egy P pontra illeszkedő, az adott e egyenessel párhuzamos a egyenest. b) Felveszünk egy P pontra illeszkedő, f egyenessel párhuzamos b egyenest. Meghatározzuk az [a,b]=S sík graduált esésvonalát (ez lesz a megoldás).

  19. Megoldási lépések: a) Felveszünk egy P pontra illeszkedő, S síkkal párhuzamos R síkot. (Ennek minden egyenese párhuzamos az S síkkal, tehát e síkban van az f egyenes. b) Meghatározzuk az e egyenesnek az R síkkal alkotott D döféspontját c) A PD egyenes lesz a mindhárom feltételt kielégítő f egyenes.

  20. Mivel a keresett t egyenes mind a két egyenest metszi, ezért mindkettővel – külön-külön – közös síkot alkot, azaz e két sík közös egyenese lesz. Ezért a t egyenes az említett síkok metszésvonala. Mivel [e,t]=[e,P] és [f,t]=[f,P], ezért a megoldás a következő: a) Az [e,P] síknak felvesszük két szintvonalát. b) Az [f,P] síknak meghatározzuk az előbbi szintvonalakkal azonos szintsíkban lévő szintvonalait. c) Az azonos kótájú szintvonalak metszéspontjait összekötve nyerjük a keresett t transzverzálist.

  21. A három – páronként kitérő helyzetű – egyenes transzverzálisának szerkesztését visszavezetjük az előbbi feladatra oly módon, hogy mondjuk a g egyenesen kitűzünk egy P pontot, majd megszerkesztjük a P pontra illeszkedő, e és f kitérő egyeneseket egyaránt metsző transzverzálist (lásd az előbbi feladat megoldását). Ez már a feladatnak egy megoldása lesz, hiszen az így nyert t egyenes a g-t is metszi a P pontban. Mivel a P pont a g egyenesen tetszőlegesen vehető fel, ezért a feladatnak végtelen sok megoldása van.

  22. A megoldás lépései: a) A keresett paralelogramma P síkját az A pont és az e egyenes határozza meg. Vegyük fel ezen síknak legalább két szintvonalát. b) Határozzuk meg a P és S síkok m metszésvonalát. Ennek segítségével megkapjuk az e egyenesnek az S síkkal alkotott D döféspontját, amely a paralelogramma második csúcsa lesz. c) Vegyünk fel az m egyenessel párhuzamos, A pontra illeszkedő f egyenest. Ez az e egyenesből kimetszi a paralelogramma harmadik (B) csúcsát. d) A hiányzó C csúcsot az m metszésvonalon AD-vel párhuzamos egyenes segítségével nyerjük.

5.3.4 Metrikus feladatok (Megoldások)

  1. Alapszerkesztés, lásd jegyzet.

  2. Alapszerkesztés.

  3. Alapszerkesztés.

  4. Alapszerkesztés.

  5. Alapszerkesztés.

  6. Alapszerkesztés.

  7. Alapszerkesztés.

  8. Alapszerkesztés.

  9. Alapszerkesztés.

  10. Alapszerkesztés.

  11. Ez a feladat és a következő hét ugyanannak a feladattípusnak a tagjai. Ezen feladattípus az általános helyzetű síkban megoldandó metrikus feladatok csoportja. Megoldási tervük tehát azonos. A megoldás lépései: a) Az adott általános helyzetű síkot szintsíkba forgatjuk. A forgatottban nincs „vetítési torzulás”, de van méretarány szerinti kicsinyítés. b) A forgatottban megoldjuk a feladatot (jelen esetben az a; b; c; d részeket), majd c) a kapott eredményt visszaforgatjuk. Megjegyzés: A kótás projekcióban is teljesül, hogy a leforgatott sík pontjai és a képpontok között ortogonális, axiális affinitás áll fenn. Ezért a visszaforgatás során ennek tulajdonságait (például illeszkedés-tartás, egyenes és képe a tengelyen metszi egymást, stb..) használhatjuk.

  12. A két párhuzamos egyenes síkjára végrehajtjuk az előző feladat szerkesztési lépéseit.

  13. Lásd a 11. feladat megoldását.

  14. Lásd a 11. feladat megoldását.

  15. Lásd a 11. feladat megoldását.

  16. Lásd a 11. feladat megoldását.

  17. Lásd a 11. feladat megoldását.

  18. Lásd a 11. feladat megoldását.

  19. Megoldási lépések: a) Az A pontból normálist állítunk az S síkra (alapszerkesztés). b) Meghatározzuk a normálisnak az S síkkal alkotott M metszéspontját. c) Az S síkban az M ponton át tetszőleges s egyenest veszünk fel. d) Az s egyenesen tetszőlegesen kijelölhetjük a B és C csúcsokat, melyeket A-val összekötve kapjuk az ABC háromszöget.

  20. A megoldás lépései: a) Az S síkban tetszőlegesen kijelöljük az A csúcsot, s ebből normálist állítunk az R síkra. b) Megszerkesztjük a normálisnak az R síkkal alkotott D döféspontját (Ez lesz a négyzet második csúcsa). c) Meghatározzuk az AD távolságot (amely a két sík távolsága és egyben a négyzet oldalának hossza). d) Felveszünk az S síkban egy A pontra illeszkedő, lejtőjű f egyenest. e) Felveszünk az R síkban egy D pontra illeszkedő, lejtőjű, az f egyenessel párhuzamos g egyenest. f) az f illetve a g egyenesekre az A illetve a D pontokból felmérjük a c) pontban meghatározott távolságot. Így kapjuk a négyzet hiányzó B és C csúcsát.

  21. Megoldási lépések: a) Felvesszük az O pontra illeszkedő, t egyenesre merőleges H síkot. b) A H síkot ( az O pontjával) szintsíkba forgatjuk. A forgatottban felvesszük az adott méretű hatszög forgatottját. c) A kapott hatszöget visszaforgatjuk.

  22. A megoldás lépései: a) Felvesszük az S pontra illeszkedő f egyenesre merőleges H síkot (Ez lesz a keresett háromszög síkja.) b) Meghatározzuk az e egyenesnek a H síkkal alkotott döféspontját. Ez lesz a háromszög A csúcsa. c) A H síkot (S és A pontjait) szintsíkba forgatjuk, majd a forgatottban megszerkesztjük azt az ABC szabályos háromszöget, amelyiknek (S) a súlypontja. d) A B és C csúcsokat visszaforgatjuk.

  23. Szerkesztési lépések: a) Az e egyenes tetszőleges M pontjából normálist (f) állítunk az S síkra. b) Meghatározzuk az [e,f]=R sík graduált esésvonalát.

  24. Megoldási lépések: a) Megszerkesztjük az adott síkok m metszésvonalát. Ezzel kell az e egyenesnek párhuzamosnak lennie (ekkor lesz párhuzamos mind a két síkkal). b) Az e egyenesen tetszőlegesen kijelöljük a paralelogramma A csúcsát. c) Felvesszük az A pontra illeszkedő, e és m egyenesekre merőleges P síkot. Ez lesz a paralelogramma P síkja. d) Meghatározzuk az m egyenesnek a P síkkal alkotott döféspontját. Ez lesz a paralelogramma C csúcsa, amely mind a két síkra illeszkedik. e) Meghatározzuk a P síknak az A illetve a B síkokkal alkotott a és b metszésvonalait. Ezeknek szakaszai a paralelogramma C csúcsra illeszkedő oldalai. f) Az előbb nyert egyeneseken, párhuzamosok felvételével nyerjük a hiányzó B és D csúcsokat.

  25. A megoldás lépései: a) Az AC szakaszra az O felezőpontjában merőleges M síkot veszünk fel. b) Meghatározzuk az M síknak az adott S síkkal alkotott m metszésvonalát. c) Az m metszésvonalon tetszőlegesen kijelöljük a B csúcsot (végtelen sok megoldás). d) A B csúcsot az O pontra tükrözve nyerjük a hiányzó D csúcsot.

  26. Meghatározzuk mind a három csúcsnak az S síktól való távolságát. A legkisebb távolság lesz az ABC síkidomnak az S síktól való távolsága.

  27. Szerkesztési lépések: a) A P pontból az S síkra n merőleges egyenest állítunk. b) Meghatározzuk az n normálisnak az S síkkal alkotott F metszéspontját. c) A P pont képét tükrözve az F pont képére nyerjük a keresett P* pont képét. A tükrözést azért végezhetjük el a képen, mert a valóságban egyenlő (PF= P*F) szakaszok azonos mértékben rövidülnek a képen a közös képsíkszög miatt. d) A P* kótájának meghatározásánál felhasználhatjuk azt az analitikus geometriából ismert tételt, hogy szakasz felezőpontjának koordinátáit a végpontok koordinátáinak számtani közepeként nyerjük (mivel a kóta „amolyan” harmadik koordinátának is tekinthető).

  28. Megoldási lépések: a) Meghatározzuk a [P,e] síknak egy szintvonalát. b) Az előbbi szintvonal (mint tengely) körül a síkot szintsíkba forgatjuk. c) Forgatottban elvégezzük a tükrözést. d) A forgatottban nyert megoldást visszaforgatjuk.

  29. Az egyenest két tetszőleges pontjával tükrözzük (lásd a 27. feladatot). Egyszerűbben elvégezhető a szerkesztés, ha az egyik pontként az e egyenesnek az S síkkal alkotott M metszéspontját választjuk, mivel ennek a tükörképe önmaga.

  30. A megoldás lépései: a) Az S síkra – tetszőleges P pontjában – n normálist állítunk. b) Ábrázoljuk az n egyenes P pontjától 2 m-re levő A és B pontjait. c) Az előbb nyert A és B pontokra illesztünk egy-egy olyan AA és BB síkot, amelyek párhuzamosak az adott S síkkal. d) Meghatározzuk az e egyenesnek az előbbi síkokkal alkotott metszéspontjait – M és N -, amelyek a feladat megoldásai.

  31. Az a) és c) eset szerkesztésének menete a jegyzetben megtalálható. A b) esetben nem szükséges követni az általános szerkesztési elvet, mivel a vetítősugárra merőleges egyenes (transzverzális) szükségszerűen párhuzamos a képsíkkal, ezért a képen nincs vetítési torzulás (csak méretarány szerinti kicsinyítés). A fentieket figyelembe véve a megoldás a következő: A vetítősugár pontban látszó képéből merőlegest állítunk az e egyenes képére (ez lesz a normáltranszverzális képe, kótája megegyezik a metszéspont kótájával). A metszéspontok közé eső távolság képét a léptékre visszük, ahol a távolság valódi nagysága leolvasható.

  32. A megoldás lépései (mindhárom esetben): a) Az egyik egyenes tetszőleges pontjába a másik egyenest önmagával párhuzamosan eltoljuk. b) Az így nyert metsző egyenesek síkját szintsíkba forgatva a keresett hajlásszög valódi nagyságát kapjuk.

  33. Lásd a 31. feladat megoldásánál leírtakat.

  34. Megoldás: (1. megoldási mód) Az egyenesek síkját szintsíkba forgatjuk, a forgatottban felvesszük a t egyenest, majd visszaforgatjuk. (2. megoldási mód) A feladat forgatás nélkül is megoldható: a) A szimmetriatengely képe az egyenesek képeinek is szimmetriatengelye lesz. b) Mivel a szimmetriatengely benne van az adott egyenesek síkjában, ezért az [e,f] sík főszintvonalai graduálják a t egyenes képét.

  35. Az előbbi, feladat (34.) megoldásánál leírt, mind a két megoldás itt is alkalmazható.

  36. Szerkesztési lépések: a) Felveszünk tetszőlegesen az S síkon egy A, az R síkon egy B pontot. b) Ábrázoljuk az AB szakasz F felezőpontját. c) Megadjuk az F pontra illeszkedő, adott síkokkal párhuzamos sík graduált esésvonalát. Ez lesz a keresett T szimmetriasík. Megjegyzés: A feladat lépték (illetve méretarány) nélkül oldható meg.

  37. Megoldási lépések: a) Megszerkesztjük az adott síkok m metszésvonalát. b) Felveszünk egy olyan M síkot, amely merőleges az m egyenesre. c) Megszerkesztjük az M síknak az S síkkal alkotott s metszésvonalát. d) Meghatározzuk az M síknak az R síkkal alkotott r metszésvonalát. e) Ábrázoljuk az s és r egyenesek t szimmetriatengelyét. (A 35. feladatnál leírtak szerint.) f) Meghatározzuk a t és m metsző egyenesek közös síkjának graduált esésvonalát. Ez a sík lesz a keresett T szimmetriasík.

  38. A megoldás lépései: a) Az A pontból az S síkra n normálist állítunk. b) Meghatározzuk az n normálisnak az S síkkal alkotott M metszéspontját. c) Ábrázoljuk az S sík M pontjára illeszkedő lejtőjű a egyenesét. d) A keresett háromszög síkját – az [n,a] síkot – szintsíkba forgatjuk, a forgatottban megszerkesztjük a háromszög forgatottját, majd ezt visszaforgatjuk.

  39. Szerkesztési lépések: a) Az e egyenest úgy kell felvenni, hogy párhuzamos legyen az S síknak egy szintvonalával. b) Az e egyenes tetszőleges A pontjából n normálist állítunk az S síkra. c) Meghatározzuk az n egyenes S síkkal alkotott D döféspontját (ez lesz a négyzet egyik csúcsa). d) Meghatározzuk az A, D pontok távolságát. Ez lesz a négyzet oldalának hossza. e) Az előbb nyert távolságot felmérjük az A csúcsból az e egyenes képére, így nyerjük a B csúcsot. f) Felvesszük az S sík D pontjára illeszkedő szintvonalát, majd erre is felmérve a négyzet oldalát kapjuk a hiányzó C csúcsot. Megjegyzés: A B és C csúcsokat azért lehet a képen (és nem forgatottban) „felrakni”, mert a szóban forgó egyenesek képsíkkal párhuzamosak, ezért nincs vetítési rövidülés.

  40. Megoldási lépések: a) Vegyük fel azt a V vetítősíkot, amelyik illeszkedik a P pontra, és merőleges az S sík szintvonalaira. b) Szerkesszük meg a V és S síkok s metszésvonalát. c) Forgassuk be a V síkot valamely szintsíkba ( ábrázoljuk a (P) és (s) térelemeket). d) A forgatottban felvesszük azt az (r) egyenest, amely illeszkedik a (P) pontra és 60o-os szöget zár be az (s) egyenessel. e) Visszaforgatjuk az r egyenest. Ez lesz a keresett R síknak az egyik esésvonala. f) Megadjuk az R síkot graduált esésvonalával.

  41. Az m metszésvonal képsíkszöge lesz a legkisebb, mivel a metszésvonal mind a két síkra illeszkedik, márpedig adott síkban lévő egyenes képsíkszöge nem lehet nagyobb, mint a sík képsíkszöge! (Mikor lehet egyenlő?)

  42. Megoldások: (1. megoldás) a) Az S sík egyik szintvonalára (a léptékről) felmérünk 4 m-t, így kapjuk a paralelogramma A és B csúcsait. b) Megszerkesztjük – a képsíkszög ismeretében – a szomszédos oldalak k osztóközét, majd ennek segítségével ábrázoljuk az A és B csúcsra illeszkedő, 30o-os képsíkszögű egyenesek képét. c) Leforgatjuk az S síkot. A forgatottban felvesszük az adott magasságú paralelogrammát, majd ezt visszaforgatjuk. (2. megoldás) a)-b) Megegyezik az 1. megoldás a) és b) pontjában leírtakkal. c) Felvesszük az S sík A pontra illeszkedő esésvonalát, majd erre felmérjük (az A ponttól) az adott magasságot az esésvonalra illeszkedő vetítősík szintsíkba forgatásával. d) Az előbb nyert magasság végpontjából húzott szintvonal a b) pontban nyert 30o-os képsíkszögű egyenesekből kimetszi a hiányzó C és D csúcsokat.

  43. Az előbbi feladat első megoldását alkalmazzuk.

  44. A 42. feladatnál leírt mindkét megoldás alkalmazható.

  45. A 42. feladatnál leírt mindkét megoldás alkalmazható.

  46. a) A feladatnak végtelen sok megoldása van. b) A P pontra illeszkedő esésvonalak egy olyan forgáskúp alkotói, amelynek csúcsa az adott P pont, forgástengelye merőleges a képsíkra, félnyílásszöge 30o.

  47. A szerkesztésben alkalmazzuk a dőléskúpot.

  48. A megoldás lépései: a) Az AC egyenesre – dőléskúp segítségével – illesszünk egy olyan S síkot, amelyiknek a rézsűje az adott érték. Ez lesz a rombusz síkja. b) Forgassuk le az S síkot valamely szintsíkba. A két adott pont forgatottján kívül adjuk meg az S sík 5-ös főszintvonalának forgatottját is. c) Az (A)(B) szakaszfelező merőlegese az 5-ös főszintvonal forgatottjából kimetszi a (C) pontot (A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást!). d) A hiányzó D csúcsot akár a forgatottban, de a képen is megszerkeszthetjük, felhasználva az oldalak azon tulajdonságát, hogy a szemben lévők párhuzamosak.

  49. Szerkesztési lépések: a) Az AB egyenesre – dőléskúp segítségével – illesszünk egy olyan S síkot, amelyiknek a rézsűje az adott érték. Ez lesz a négyzet síkja. b) Forgassuk le az S síkot valamely szintsíkba. c) A forgatottban szerkesszük meg a négyzetet. d) Az előbb szerkesztett négyzetet visszaforgatjuk.

  50. A szerkesztés menete megegyezik az előbbi feladatnál közöltekkel.

  51. A szerkesztés menete megegyezik a 49. feladatnál közöltekkel.

  52. Megoldási lépések: a) Az A pontból az S síkra n normálist állítunk. b) Megszerkesztjük az n egyenesnek az S síkkal alkotott O döféspontját. Ez lesz a BCD alapháromszög köré írható kör középpontja. c) Meghatározzuk az AO távolságot, amely az A pontnak az S síktól való távolsága, egyben a keresett szabályos tetraéder testmagassága. d) A testmagasság ismeretében (külön ábrán) megszerkesztjük a BCD alapháromszög köré írható körének r sugarát. Ez a szerkesztés két geometriai törvényt használ fel: 1. A szabályos tetraéder testmagasságai (egyben súlyvonalai) egy pontban metszik egymást, és ez a súlypont 1:3 arányban osztja a testmagasságokat. 2. Az alapháromszög (lévén szabályos) köré írható kör sugara egyenlő a magasságvonalai (amelyek egyben súlyvonalak) részével. e) Az S síkot (O pontjával ) szintsíkba forgatjuk. f) Az (O) körül a d) pontban megszerkesztett r sugárral kört rajzolunk, majd ezen a körön felvesszük a (B)(C)(D) háromszög csúcsait úgy, hogy szabályos háromszöget alkossanak. g) Az előbbi háromszöget visszaforgatjuk, majd az A ponttal összekötve nyerjük a szabályos tetraéder hiányzó éleit.

  53. Szerkesztési lépések: a) Az S síkon tetszőlegesen kijelöljük az A csúcsot. b) Az A csúcsból az R síkra n normálist állítunk. c) Meghatározzuk az n egyenesnek az R síkkal alkotott E döféspontját. d) Meghatározzuk az A, E pontok távolságát. Ez a síkok távolsága is, és egyben a kocka élének hossza. e) Az R síkot szintsíkba forgatjuk az E pontjával. f) A forgatottban felvesszük az (E)(F)(G)(H) négyzetet úgy, hogy az élek hossza a d) pontban kapott távolság legyen. g) Az előbbi négyzetet visszaforgatjuk. h) Az E, F, G és H pontokból az n egyenessel párhuzamosokat húzunk, és ezekre felmérjük az A, E pontok képi távolságát. (Mivel a párhuzamos élek – azonos képsíkszög miatt – egyformán rövidülnek a vetítés során) i) A kapott B, C, D csúcsokat az R síkon lévőkkel összekötve nyerjük a kocka hiányzó éleit.