Ugrás a tartalomhoz

Matematika III. 1., Kombinatorika

Prof. Dr. Závoti József (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

1.3 Variáció

1.3 Variáció

1.3.1 Ismétlés nélküli variáció

Definíció:

Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy mindegyik elem csak egyszer szerepel, és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációját kapjuk.

Jele:

Példa 1 :

Írjuk fel az a b c d elemek másodosztályú variációit!

Megoldás:

ab ac ad bc bd cd

ba ca da cb db dc

Tétel:

Az n különböző elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak száma:

Bizonyítás:

Vagy az 1., vagy 2., ... vagy n. elemet választjuk.

1 2 2 1 3 1 n 1

1 3 2 3 3 2 n 2

1 4 2 4 3 4

...

Példa 2:

A tematikus példa variációinak száma:

Példa 3:

Egy urnában van 6 golyó az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számokkal megjelölve. Négy golyót kihúzunk. Hányféle sorrend fordulhat elő?

Megoldás:

1.3.2 Ismétléses variáció

Definíció:

Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor n elem k-ad osztályú ismétléses variációját kapjuk.

Jele:

Példa 1:

Írjuk fel az a, b, c, d elemek másodosztályú ismétléses variációit!

a b c d

aa ba ca da

ab bb cb db

ac bc cc dc

ad bd cd dd

Tétel:

Az n különböző elem k-ad osztályú ismétléses variációinak száma:

Bizonyítás:

Az 1. osztályú ismétléses variációinak száma: 1, 2, ..., n

A 2. osztályú ismétléses variációinak száma 1 1 1 2 1 n

2 1 2 2 2 n

...

n 1 n 2 n n

A k-ad osztályú ismétléses variációinak száma:

Példa 2:

A tematikus példa ismétléses variációinak száma:

Példa 3:

1, 2 elemek 4-ed osztályú ismétléses variációi:

1111

1112

1122

1222

2222

1121

1212

2122

1211

1221

2212

2111

2112

2221

2121

2211

Példa 4:

Kockával 5-ször dobunk. Hányféle dobássorozat fordulhat elő, ha a sorrend is számít?

Megoldás:

Példa 5:

Hányféle hatjegyű telefonszám létezik?

Megoldás:

Az első helyre 9 számjegy közül választhatunk.