Ugrás a tartalomhoz

Matematika III. 4., A valószínűségi változó és jellemzői

Prof. Dr. Závoti József (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

4.3 A valószínűségi változó eloszlás- és sűrűség-függvénye.

4.3 A valószínűségi változó eloszlás- és sűrűség-függvénye.

A diszkrét valószínűségi változó eloszlását a lehetséges értékeivel és ezek bekövetkezési valószínűségeivel adjuk meg.

Legyenek lehetséges értékei x1,x2, ...,xn ... és ezek bekövetkezési valószínűségei p1, p2, ..., pn,...

Az 1 = x1, 2 = x2,..., n = xn,... események teljes eseményrendszert alkotnak, mert bármely két különböző esemény kizárja egymást, és az valamelyik lehetséges értékét biztosan felveszi.

A folytonos valószínűségi változó eloszlását a valószínűségi változó eloszlásfüggvényével vagy sűrűségfüggvényével adjuk meg.

A valószínűségszámítás axiómáival és a valószínűségek közötti összefüggések felhasználásával az -val kapcsolatos események valószínűsége meghatározható.

A valószínűségeloszlás a mechanikai rendszerek tömegeloszlásával hasonlatos fogalom. Diszkrét valószínűségi eloszlás mechanikai megfeleltetésében a számegyenes diszkrét pontjaiba összesen egységnyi tömeget osztunk el. Folytonos eloszlás esetén az egységnyi tömeget a számegyenes mentén folytonosan osztjuk el.

Definíció:

Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük azt a F(x) függvényt, amely minden valós x értékhez hozzárendeli annak valószínűségét, hogy az valószínűségi változó milyen valószínűséggel vesz fel x-nél kisebb értékeket:

Az valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek x1,x2,....,xn,...., és legyenek ezek bekövetkezési valószínűségei p1,p2,...,pn ,...

Ekkor

Mechanikai analógia:

F(x) az x-től balra levő tömeg mérőszámát adja meg az valószínűség-eloszlásának megfelelő tömegeloszlás esetén.

Példa 1:

A kockadobás valószínűségi változójának eloszlásfüggvénye.

Példa 2:

R sugarú céltáblára lövéseket adunk le.

Legyen valószínűségi változó a találati pont és a céltábla középpontja közötti távolság mérőszáma.

Határozzuk meg F(x)-et!

Tétel:

Bizonyítás:

Tétel:

Ha F az η valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, akkor

Bizonyítás:

Tekintsük az alábbi eseményeket

Tétel:

Ha F(x) eloszlásfüggvény, akkor

  1. F(x) monoton növő függvény, azaz esetén

  2. ,

  1. balról folytonos

Példa 3:

Definíció:

Legyen η folytonos valószínűségi változó és az F eloszlásfüggvénye legyen mindenütt − esetleg véges sok pont kivételével mindenütt definiálható, akkor a

függvényt sűrűségfüggvénynek nevezzük.

Példa 4:

Az előző példa sűrűségfüggvényét deriválással nyerjük:

Tétel:

Ha az η folytonos valószínűségi változónak f(x) a sűrűségfüggvénye, akkor

  1. Df, mert F(x) monoton

  2. , mert

  1. , mert

  1. (Newton-Leibniz)

A b) tulajdonság geometriailag azt jelenti, hogy az f(x) függvény alatti síkidom területe egységnyi.

A sűrűségfüggvény felhasználható valószínűségek kiszámítására:

Az integrál geometriai jelentése alapján az f(x) sűrűségfüggvény az a,b intervallum görbéje alatti síkidom területének mérőszáma annak valószínűségét adja meg, hogy a valószínűségi változó értéke az a,b intervallumba esik.

Legyen , igen kis érték. Ekkor

,

azaz

Tehát f(x) közelítőleg a x hosszúságú intervallumba esés és az intervallum hosszának hányadosa, így sűrűség jellegű mennyiség.

Példa 5:

A céltáblás kísérletnél határozzuk meg a körgyűrűbe esés valószínűségét!

Tétel:

Ha f(x) legfeljebb véges számú hely kivételével folytonos függvény,és

akkor létezik η valószínűségi változó, amelynek f(x) a sűrűségfüggvénye.

Példa 6:

Adott sűrűségfüggvényből határozzuk meg az eloszlásfüggvényt!

Példa 7:

A céltáblára lövés F(x) eloszlásfüggvénye alapján: