Matematika III. 4., A valószínűségi változó és jellemzői
Prof. Dr. Závoti József (2010)
Nyugat-magyarországi Egyetem
A diszkrét 
valószínűségi változó eloszlását a lehetséges értékeivel és ezek bekövetkezési valószínűségeivel adjuk meg.
Legyenek 
lehetséges értékei x1,x2, ...,xn ... és ezek bekövetkezési valószínűségei p1, p2, ..., pn,...
Az 
1 = x1,
2 = x2,...,
n = xn,... események teljes eseményrendszert alkotnak, mert bármely két különböző esemény kizárja egymást, és az valamelyik lehetséges értékét biztosan felveszi.
A folytonos valószínűségi változó eloszlását a valószínűségi változó eloszlásfüggvényével vagy sűrűségfüggvényével adjuk meg.
A valószínűségszámítás axiómáival és a valószínűségek közötti összefüggések felhasználásával az 
-val kapcsolatos események valószínűsége meghatározható.
A valószínűségeloszlás a mechanikai rendszerek tömegeloszlásával hasonlatos fogalom. Diszkrét valószínűségi eloszlás mechanikai megfeleltetésében a számegyenes diszkrét pontjaiba összesen egységnyi tömeget osztunk el. Folytonos eloszlás esetén az egységnyi tömeget a számegyenes mentén folytonosan osztjuk el.
Definíció:
Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük azt a F(x) függvényt, amely minden valós x értékhez hozzárendeli annak valószínűségét, hogy az
valószínűségi változó milyen valószínűséggel vesz fel x-nél kisebb értékeket:
Az 
valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek x1,x2,....,xn,...., és legyenek ezek bekövetkezési valószínűségei p1,p2,...,pn ,...
Ekkor
Mechanikai analógia:
F(x) az x-től balra levő tömeg mérőszámát adja meg az 
valószínűség-eloszlásának megfelelő tömegeloszlás esetén.
Példa 1:
A kockadobás valószínűségi változójának eloszlásfüggvénye.
Példa 2:
R sugarú céltáblára lövéseket adunk le.
Legyen
valószínűségi változó a találati pont és a céltábla középpontja közötti távolság mérőszáma.
Határozzuk meg F(x)-et!
Tétel:
Bizonyítás:
Tétel:
Ha F az η valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, akkor
Bizonyítás:
Tekintsük az alábbi eseményeket
Tétel:
Ha F(x) eloszlásfüggvény, akkor
F(x) monoton növő függvény, azaz
esetén 
, 
balról folytonos
Példa 3:
Definíció:
Legyen η folytonos valószínűségi változó és az F eloszlásfüggvénye legyen mindenütt − esetleg véges sok pont kivételével mindenütt definiálható, akkor a
függvényt sűrűségfüggvénynek nevezzük.
Példa 4:
Az előző példa sűrűségfüggvényét deriválással nyerjük:
Tétel:
Ha az η folytonos valószínűségi változónak f(x) a sűrűségfüggvénye, akkor
Df, mert F(x) monoton
, mert 
, mert
(Newton-Leibniz)
A b) tulajdonság geometriailag azt jelenti, hogy az f(x) függvény alatti síkidom területe egységnyi.
A sűrűségfüggvény felhasználható valószínűségek kiszámítására:
Az integrál geometriai jelentése alapján az f(x) sűrűségfüggvény az a,b intervallum görbéje alatti síkidom területének mérőszáma annak valószínűségét adja meg, hogy a valószínűségi változó értéke az a,b intervallumba esik.
Legyen 
, igen kis érték. Ekkor
,
azaz
Tehát f(x) közelítőleg a x hosszúságú intervallumba esés és az intervallum hosszának hányadosa, így sűrűség jellegű mennyiség.
Példa 5:
A céltáblás kísérletnél határozzuk meg a 
körgyűrűbe esés valószínűségét!
Tétel:
Ha f(x) legfeljebb véges számú hely kivételével folytonos függvény,és
akkor létezik η valószínűségi változó, amelynek f(x) a sűrűségfüggvénye.
Példa 6:
Adott sűrűségfüggvényből határozzuk meg az eloszlásfüggvényt!
Példa 7:
A céltáblára lövés F(x) eloszlásfüggvénye alapján:
