Ugrás a tartalomhoz

Matematika III. 4., A valószínűségi változó és jellemzői

Prof. Dr. Závoti József (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

4.4 Várható érték

4.4 Várható érték

A valószínűségi változó eloszlását az eloszlásfüggvény adja meg. A valószínűségi változó jellemzésénél azt vizsgáljuk, hogy milyen érték körül ingadoznak a lehetséges értékek, mekkorák az ingadozások, mennyire tömörülnek. Ezek a jellemzők: a várható érték és a szórás.

Legyen diszkrét eloszlású valószínűségi változó. Lehetséges értékei legyenek x1,x2 ,...,xn; ezek bekövetkezési valószínűségei p1,p2,...,pn.

Végezzünk -ra vonatkozó N számú független kísérletet. Az lehetséges értékeinek gyakoriságai legyenek rendre k1,k2 ,...,kn (ahol ).

Az -ra kapott értékek súlyozott számtani közepe

Ha egyre több kísérletet végzünk, akkor a relatív gyakoriság az xi érték pi bekövetkezési valószínűségei körül, az számtani közép a érték körül ingadozik. Ezt a számot nevezzük várható értéknek.

Példa 1:

Az kockadobáshoz rendeljük hozzá a következő függvényt:

Kifizetés

Az a kérdés, hogy ha sokszor játszunk, nyerünk-e?

Megoldás:

A nyerés átlaga:

Tehát hosszú távon kis nyereségre számíthatunk.

Definíció:

Az alábbi számot az η valószínűségi változó várható értékének nevezzük:

amennyiben a fenti értékek léteznek.

Jelölés:

Ha az valószínűségi változó n különböző értéket vesz fel, és , akkor

,

ha végtelen sok értéket vesz fel, akkor

,

feltéve, hogy e sor konvergens.

Példa 2:

Mechanikai analógia: Az xi pontban elhelyezett pi tömeg súlypontja éppen a várható érték.

Példa 3:

Kockadobás eloszlása:

xi

1

2

3

4

5

6

pi

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

A várható érték:

Példa 4:

Legyen az η valószínűségi változó eloszlása:

A várható érték nem létezik:

Példa 5:

Folytonos valószínűségi változó várható értéke.

Legyen az η valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő:

A várható érték:

Példa 6:

Határozzuk meg a céltáblára lövés várható értékét a sűrűségfüggvény ismeretében!

Tétel:

Ha az η valószínűségi változó konstans, akkor .

Bizonyítás:

Az η valószínűségi változó eloszlása: c, P(c)=1.

A várható érték:

Tétel:

Ha az η valószínűségi változónak létezik várható értéke, akkor létezik is, és

.

Bizonyítás:

Ha triviális

Ha

  1. Diszkrét valószínűségi változó

eloszlása:

eloszlása:

  1. Folytonos valószínűségi változó

eset

eset

Tétel:

Ha és várható értékek léteznek, akkor létezik is, és

.

Tétel:

Ha létezik, akkor létezik a valószínűségi változó várható értéke is és

.

Tétel:

Ha η és ξ független valószínűségi változók, és léteznek és várható értékek, akkor létezik is, és