Ugrás a tartalomhoz

Matematika III. 4., A valószínűségi változó és jellemzői

Prof. Dr. Závoti József (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

4.5 Szórás

4.5 Szórás

4.5.1 A szórás fogalma

Ha egy valószínűségi változóra vonatkozóan független kísérleteket végzünk, a kísérleti eredmények a várható érték körül ingadoznak.

Kérdés: Mennyire ingadoznak?

Ha egy évfolyam jegyeinek várható értéke közepes, ez előfordulhat úgy, hogy mindenkinek közepes jegye van (ilyenkor a jegyek egyáltalán nem szórnak), vagy úgy, hogy fele elégtelen és fele jeles (ebben az esetben már szóródnak a jegyek), általános esetben egytől ötig mindenféle jegy előfordulhat (ekkor még jobban szóródhatnak a jegyek).

Probléma: Hogyan lehetne mérni ezt a szóródást?

Definíció:

A értéket a η valószínűségi változó szórásnégyzetének vagy varianciájának nevezzük.

.

Jelölés:

A az η szórása.

4.5.2 A szórás meghatározása

  1. Diszkrét valószínűségi változók szórása:

Legyen

Ha n véges:

, innen

Ha n megszámlálhatóan végtelen, akkor a fenti képletekben az összegzés a végtelenig végzendő.

  1. Folytonos valószínűségi változó esetén:

, innen

Tétel:

Ha -nek létezik várható értéke, akkor

Bizonyítás:

Következmény:

, és

Példa:

Kockadobás szórása:

Példa:

Célbalövés szórása: