Ugrás a tartalomhoz

Matematika III. 4., A valószínűségi változó és jellemzői

Prof. Dr. Závoti József (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

4.6 A szórás tulajdonságai

4.6 A szórás tulajdonságai

Tétel:

Ha az η valószínűségi változó egy konstans c értéket vesz fel, akkor

.

Bizonyítás:

Tétel:

Ha az η valószínűségi változó szórásnégyzete , akkor

létezik és

létezik és

Bizonyítás:

Állítás:

Legyenek η és ξ valószínűségi változók, és tegyük fel, hogy léteznek és szórásnégyzetek. Ekkor

Bizonyítás:

.

Definíció:

Ha létezik a mennyiség, akkor ezt az η és ξ valószínűségi változó kovarianciájának nevezzük.

Tétel:

Bizonyítás:

Következmény:

Ha η és ξ független valószínűségi változók, akkor

.

Tétel:

Ha két független valószínűségi változó szórása létezik, akkor az összegük szórásnégyzete az egyes valószínűségi változók szórásnégyzetének az összege:

Bizonyítás:

Az előző következmény következménye.

Következmény:

A tétel véges sok független valószínűségi változóra is igaz.

Példa 1:

Legyen

, innen

Tétel:

Legyen az η valószínűségi változó várható értéke , szórása .

Tekintsük a

u.n. standardizált valószínűségi változót.

Ekkor és .

Bizonyítás:

,