Ugrás a tartalomhoz

Matematika III. 6., A statisztika alapfogalmai

Prof. Dr. Závoti József (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

6.6 Statisztikák

6.6 Statisztikák

Az előző fejezet jelöléseit alkalmazva:

Mintaközép

Tétel:

Ha a valószínűségi változó várható értéke μ, szórása σ, akkor a mintaközépre

Rendezett minta:

A véletlen, az észlelés sorrendjében kapott mintaelemeket rendezzük nagyság szerint. Jelölje a nagyság szerint a legkisebbet , a megmaradók közül a legkisebbet , stb.

Ekkor

A rendezett mintaelemek már nem függetlenek és nem is azonos eloszlásúak.

Mintaterjedelem:

Medián:

Ha a mintanagyság páratlan, akkor a középső mintaelem a medián - páros mintanagyság esetén a két középső átlaga.

Tapasztalati (empirikus) szórásnégyzet:

A mintaközéptől vett eltérések négyzetének átlaga:

Korrigált tapasztalati szórásnégyzet:

Variációs tényező (relatív szórás):

Gyakorisági és sűrűséghisztogram

Gyakorisági hisztogramm szerkesztése

Tegyük fel, hogy az a,b intervallum lefedi a mintaterjedelmet.

Osszuk fel az a,b intervallumot n részre:

A részintervallumok n számára nincs általános szabály, általában 6-12 részintervallumot képezzünk.

Adjuk meg az egyes di-1,di részintervallumba eső mintaelemek ki számát (i=1,2,...,n) és mindegyik részintervallumra rajzoljunk az oda eső mintaelemek gyakoriságával arányos magasságú téglalapot: az i-edik részintervallumra rajzolt téglalap magassága legyen

Ekkor a téglalapok területeinek összege n.

Sűrűséghisztogram szerkesztése

Az egyes intervallumokra rajzolt téglalapok magasságát az oda eső mintaelemek relatív gyakoriságával adjuk meg, azaz az i-edik részintervallum magassága legyen

Az így kapott lépcsős függvény a tapasztalati sűrűségfüggvény, amely közelíti az ismeretlen elméleti sűrűségfüggvényt. Ha ez a hisztogram egy haranggörbét közelít, akkor az eloszlást jó közelítésben normálisnak tekinthetjük.

Tapasztalati eloszlásfüggvény:

Az x1,x2,...,xn mintához tartozó tapasztalati eloszlásfüggvény az x-tengellyel párhuzamos szakaszokból álló lépcsős függvény, amelynek minden egyes felvett xi értékénél 1/n ugrás van, ha xi-t egyszer kaptuk a mintában; k/n ugrás van, ha k-szor fordul elő xi a mintában. A minta eloszlásfüggvénye a minta elemszámának növelésével minden x-re egyenletesen konvergál az elméleti eloszlásfüggvényhez.