Ugrás a tartalomhoz

Matematika III. 7., Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek

Prof. Dr. Závoti József (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

7.3 Számtani közép (átlag)

7.3 Számtani közép (átlag)

Definíció:

Adott: n db alapsokaság metrikus skálán. Ekkor az xi ismérvértékek számtani átlaga:

Példa:

Petiék biciklitáborban vesznek részt. Minden nap mérik a megtett távolságot, ami hétfőn 10 km, kedden 12, majd szerdán 16, csütörtökön 12, míg pénteken 17 km. Otthon kiszámolják, hogy ezen értékek számtani átlaga: .

Azaz naponta átlag 13,4 kilométert tettek meg.

Megjegyzés:

Mivel ez az átlagfajta a legközismertebb, a mindennapokban gyakran elhagyják előle a számtani jelzőt.

Definíció:

Számtani átlagot nemcsak az egyenként ismert xi adatokból, hanem gyakorisági sorból is számíthatunk. Ekkor:

ahol fi az i-edik osztály gyakorisága, xi az i-edik osztályhoz tartozó egyetlen ismérvérték.

Osztályozott gyakorisági eloszlások esetén:

Ekkor az i-edik osztály közepe.

A számtani átlag számításához relatív gyakoriságok is használhatók:

: abszolút gyakoriság

: relatív gyakoriság

Ekkor a számtani átlag:

Példa:

Egy vállalatnál felmérték az alkalmazottak, összesen 250 ember éves keresetét.

Ezen ismérv alapján 10 osztályt alkottak, így számolták ki az átlagkeresetet.

      

Vagyis az egy dolgozóra jutó éves átlagkereset 2064,4 ezer Ft.

Definíció:

Súlyozott számtani középérték:

ahol: -k az értékekhez tartozó súlyszámok. Az -k egymás közötti arányait szemléltetik.

Példa:

Egy vizsgán az írásbelin szerzett pontszámokat háromszoros, míg a szóbelin és a teszten elért pontokat egyszeres súlyozással veszik figyelembe. Az egyik tanuló írásbelin 85, szóbelin 70, míg a teszten 90 pontot szerzett. A végső jegynél az

pontszámot veszik figyelembe.

Tétel:

A számtani átlag tulajdonságai:

  1. Adott adatok esetén a előjeles hibák összességében kiegyenlítik egymást:

  1. eltérésnégyzet-összeg akkor minimális, ha . Azaz fennáll az

egyenlőtlenség, minden olyan esetben, amikor .

Bizonyítás:

Vegyük függvényt! Ennek ’a’ szerinti első deriváltját nullával egyenlővé téve szélsőérték-helyet kapunk, ami pont :

A második derivált: , tehát a függvény az pontban veszi fel minimum-értékét.

  1. Adottak ismérvértékek számtani átlaggal. Ekkor , lineárisan transzformált ismérvértékek számtani átlaga és az eredeti átlag között igazolható a következő összefüggés:

  1. Ismerjük két részsokaság adatait:

, átlaga

, átlaga

Ekkor és elemekből álló egyesített sokaság átlaga:

Példa 1:

Átlag 250 km-t megyünk bérelt kocsinkkal naponta. Mennyibe kerül átlagosan az autókölcsönzés, ha az autókölcsönző naponta 4400 Ft fix díjat, valamint megtett km-enként 40 Ft-ot számol fel?

Az alapsokaság ekkor : az egyes napokon megtett út.

=4400 Ft (fix díj)

=40 Ft/km (benzinpénz)

(átlag 250 km-t megyünk naponta)

A 3. tulajdonság alapján:

. Ennyit fizetünk a kölcsönzőnek átlagosan naponta.

Példa 2:

Egy négyszáz fős üzemben az átlagkereset 29200 Ft. Egy másik üzemben 300 fő dolgozik, az ő átlagkeresetük 40100Ft.

A 4. tulajdonság alapján együttesen a két üzemben dolgozók átlagosan

=33880 Ft-ot keresnek.

Megjegyzés:

A számtani közép nem mindig jó jellemzője egy sokaságnak, mivel nagyon érzékeny a kiugró értékekre. Például, ha egy 10 fős csoport 9 tagja 40000 Ft-ot keres,1 pedig 400000 Ft-ot, a csoport átlagkeresete 76000 Ft:

Ennek kiküszöbölésére alkalmazzák a robusztus becslést (trimmed mean), amikor a legkisebb és legnagyobb számot elhagyják az átlagolásnál.