Ugrás a tartalomhoz

Matematika III. 8., A szórás és a szóródás egyéb mérőszámai

Prof. Dr. Závoti József (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

8.5 Momentumok, ferdeség és csúcsosság

8.5 Momentumok, ferdeség és csúcsosság

8.5.1 Quartiltávolság (QT)

Definíció:

Az adatok középső 50%-át tartalmazó intervallum hossza a kvartiltávolság (interkvartilis terjedelem).

Tétel:

Box-Whisker ábra:

Ábrázoljuk a medián, a kvartilisek, a legkisebb és legnagyobb értékek, a terjedelem és a kvartiltávolság egymáshoz viszonyított helyzetét:

Nem szimmetrikus, balra ferde!

8.5.2 Momentumok

A különböző átlagok és a szórás általánosításának tekinthetők, mert itt az xi ismérvértékek, illetve a eltérések helyett eltérések hatványait kell átlagolnunk. Ebben az esetben „a” tetszőleges állandó.

Definíció:

Adott adatrendszer esetén az r. momentum:

Megjegyzés: r=1 számtani közép

Az „a” értékre vonatkozó momentum:

Ha r=2 és akkor

8.5.3 Ferdeség és csúcsosság

Eloszlástípusok: két nagy csoport különböztethető meg a gyakorisági görbék alakja szerint:

  1. Egymóduszú gyakorisági sorok:

    • szimmetrikus: azok a gyakorisági sorok, amelyeknek a grafikus képe a módusznak megfelelő tengely körül szimmetrikus. Ez a normális eloszlást követi.

    • aszimmetrikus vagy ferde: móduszuk valamelyik szélső értékhez közelebb esik. Ha a legalacsonyabb értékhez esik közelebb, akkor baloldali aszimmetriáról, ellenkező esetben jobboldali aszimmetriáról beszélünk.

  2. Többmóduszú gyakorisági sorok: a gyakorisági görbének két vagy több helyi maximuma van.

A gyakorisági görbe alakja egy tömör számmal jellemezhető:

Ferdeség (aszimmetria): a szimmetriától való eltérést mutatja

Ha a gyakorisági eloszlás grafikus ábrája valamelyik irányba hosszabban elnyúlik, mint a normális eloszlás grafikus görbéje, akkor bal- illetve jobboldali aszimmetriáról beszélünk.

Szimmetrikus eloszlás esetén F=0

Jobboldali aszimmetria esetén F<0

Baloldali aszimmetria esetén F>0

Pearson-féle mutató:

Momentumokkal:

Kvartilis – Percentilis ferdeség:

Csúcsosság: a normális eloszláshoz viszonyítva.

Ha az eloszlás grafikus ábrájának csúcsa magasabban illetve alacsonyabban van, mint a normális eloszlás görbéjének csúcsa, akkor csúcsosságról, illetve lapultságról beszélünk.

Momentumokkal:

Percentilis csúcsossági mutató:

Példa:

Adott =3.33, =3.85, =5.05, D1=2.69, D9=6.17, =4.2 és S=1.3.

Számoljuk ki a Pearson-féle ferdeséget, a kvartilis és percentilis ferdeséget és a percentilis csúcsossági mutatót!