Ugrás a tartalomhoz

Matematika példatár 1., Halmazelmélet, sorozatok

Csabina Zoltánné (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

1.3 Halmazelmélet

1.3 Halmazelmélet

A halmaz alapfogalom, nem definiáljuk.

Jelölések: a ⊂ A (a eleme az A halmaznak), a ⊆ A (a nem eleme az A-nak).

A halmaz megadása:

1./ Az őt alkotó elemeket felsoroljuk (ez csak véges sok elem esetén lehetséges).

2./Megadjuk azokat a tulajdonságokat, amelyek alapján adott elemről eldönthetjük, hogy az a vizsgált halmazba tartozik-e vagy sem. Ez történhet matematikai formulával (képlet) is. Pl.: A = .

Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, üres halmaznak nevezzük és ∅-val jelöljük.

Definíció: Ha egy A halmaz minden eleme B halmaznak is eleme, akkor az A halmazt a B halmaz részhalmazának nevezzük. Jelölése: A ⊂ B.

Ha A ⊂ B és B-nek van olyan eleme, amely nincs A-ban, akkor valódi részhalmazról beszélünk, és a   A  B-vel jelöljük.

Definíció: Az A és B halmazokat akkor mondjuk egyenlőnek, ha A ⊂ B és B ⊂ A egyidejűleg fennáll.

Halmaz műveletek:

Definíció: Az A és B halmazok egyesítésén vagy unióján mindazon elemek halmazát értjük, amelyek vagy A-nak, vagy B-nek (vagy mindkettőnek) elemei.

Jelölése: A ∪ B = {x | x ⊂ A vagy x ⊂ B}.

Definíció: Az A és B halmazok közös részén vagy metszetén azon elemek halmazát értjük, amelyek A-nak és B-nek is elemei. Jelölése: A ∩ B = { x | x ⊂ A és x ⊂ B}

Definíció: Az A és B halmazok különbségén azon elemek halmazát értjük, amelyek A-nak elemei, de B-nek nem. Jelölése: A − B = {x | x ⊂ A és x ⊆ B}, vagy A \ B.

Definíció: Az A és B halmazok szorzatának (Descartes-szorzatának) nevezzük azt a C halmazt, amelynek elemei az A és B halmaz elemeiből az összes lehetséges módon képzett rendezett elempárokból áll. Jelölése: C = A x B = {(a,b) | a ⊂ A és b ⊂ B}.

Definíció: Ha az A halmaz a H alaphalmaz részhalmaza, akkor a H−A halmazt az A halmaz (H-ra vonatkozó) komplementer halmazának vagy kiegészítő halmazának nevezzük. Jelölése: ha A ⊂ H , A = H − A = {x | x ⊂ H és x ⊆ A}

Halmazműveletek tulajdonságai:

Tétel: Tetszőleges A, B és C halmazokra érvényesek a következő összefüggések:

  1. idempotencia: A ∪ A = A és A ∩ A = A

  2. kommutativitás: A ∪ B = B ∪ A és A ∩ B = B ∩ A

  3. asszociativitás: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C és A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

  4. disztributivitás: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Tétel: Legyen A és B ugyanazon H alaphalmaz két tetszőleges részhalmaza. Érvényesek a következő egyenlőségek.

  1. A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅

  2. A ∪ H = H A ∩ H = A ha A ⊂ H

  3. A ∪A = H A ∩A = ∅ ha A ⊂ H.

  4. de Morgan-képletek: , .

1.3.1 Mintapéldák

6. példa: Legyen H azoknak a pozitív egész számoknak a halmaza, melyeknek 5-re vonatkozó maradéka 2. Adjuk meg a halmazt matematikai formulával (képlettel).

Megoldás: A halmaz végtelen sok elemet tartalmaz, amely elemek közt sorrendet nem értelmezünk.

H={x x = 5n+2, n⊂N}.

7. példa: Legyenek adottak a következő halmazok:

A= ,

B= (pozitív valós számok),

C=

D = Z,

E = .

Vannak-e köztük egyenlők, melyik melyiknek részhalmaza, illetve valódi részhalmaza?

Megoldás:

A= C= E= ∅,

Mivel A-nak és C-nek az elemei ugyanazok, A=C. Könnyen belátható, hogy A D-nek, C D-nek, E A és E C, valamint E D, E B-nek. Ezek a részhalmazok valódi részhalmazok is, mert pl. D-nek van olyan eleme (-2), amely nem eleme A-nak.

Teljesül az A C és C A is, de az itt megjelölt részhalmazok nem valódi részhalmazok.

8. példa: Legyen adott egy H = {–1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} alaphalmaz, továbbá az A = {1; 2; 3; 5; 7; 9} és B = {3; 4; 5; 6; 8} halmazok. A halmaz elemeinek a felsorolásával adjuk meg a következőket:

C1 = A ∪ B C2 = A ∩ B

C3 = A-B C4 = B ∪ H

C5 = A ∩B C6 =

C7 = B-A

Megoldás:

C1 = {1; 2; 3; 4, 5; 6; 7; 8; 9} C2 = {3; 5}

C3 = {1; 2; 7; 9} C4 = H

C5 = {1; 2; 7; 9} C6 ={-1; 0; 1; 2; 4; 6; 7; 8; 9; 10}

C7 ={4; 6; 8}

9. példa: Készítsük el a C = (A – B) ∪ (B – A) halmaz Venn-diagramját!

Megoldás:

A megoldást az alábbi ábrák szemléltetik. Az a ábra külön bemutatja az A - B halmazt, majd ezt felhasználva a b ábrán tekinthetjük meg a C eredményhalmazt.

1. ábra

10. példa: Igazoljuk a disztributív tulajdonságot:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Megoldás:

Az A ∪ (B ∩ C) halmaz azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek vagy az A-ban vagy egyidejűleg B-ben és C-ben vannak. Az A ∪ B illetve A ∪ C halmazok tartalmazzák A minden elemét, így ezek közös részét az A elemei, továbbá B és C közös részének elemei alkotják. Így látható, hogy A ∪ ( B ∩ C) és (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) halmazok elemei azonosak, tehát egyenlők.

2. ábra

11. példa:Állapítsuk meg, hogy A és B diszjunkt halmazok-e?

a./ A={1; 2; 3; 5; 10; 100} B={ 0; 2; 4; 6; 11; 101}

b./ B=

c./ A={a  az a lehet logaritmus alap} B= .

Megoldás:

a./ Nem, mert a 2 közös elem. A ∩ B={2}.

b./ B={0; -1}. Igen, mert A ∩ B = ∅, 0⊆A és -1⊆A.

c./ Igen, mert B={-1; 0; 1}, A={a ≠ 1 és a0}, ezért A ∩ B = ∅.

12. példa: Bizonyítsuk be, hogy A és B uniója előállítható két diszjunkt halmaz uniójaként a következő módon: (A ∪ B) = A ∪ (B \ (A ∩ B).

Megoldás:

B\(A∩B)= mivel , ezért A ∪ (B \ (A ∩ B)= , mivel .

Bizonyítjuk, hogy A és (B \ (A ∩ B) diszjunkt:

A ∩ [B \ (A ∩ B)] =

Ami a diszjunktság feltétele.

13. példa: Legyen A={1; 2}, B={1; 2, 3}. Írjuk fel az (A×B)∩(B×A) halmaz elemeit.

Megoldás:

(A×B)={(1;1),(1;2),(1;3),(2;1),(2,2),(2,3)}

(B×A)={(1;1),(1;2),(2;1),(2;2),(3;1),(3;2)}

(A×B)∩(B×A)={(1;1),(1;2),((2;1),(2;2)}.

14. példa: Egy 65 fős évfolyamban a tanulók kétféle rajzoló softwert tanulnak. ITR-t 41-en, AutoCad-et 35-en. Hányan tanulják mindkét rajzoló programot, ha mindenki tanulja legalább az egyiket?

Megoldás:

A∪B= A +B-A∩B

65 = 41+35-A ∩ B= 76-A∩B

A ∩ B= 76-65 = 11

Tehát 11-en tanulják mindkettőt.

15. példa: Egy felmérés során 100 embert megkérdeztek, hogy milyen forrásból szerzik a híreket. A következő eredmény született: tévéből 65, rádióból 38, újságból 39, tévéből és rádióból 20, tévéből és újságból 20, rádióból és újságból 9, tévéből, rádióból és újságból 6. Hányan nem szerzik a híreket a felsoroltak közül egyik forrásból sem? Hányan vannak, akik csupán egy forrásból szerzik a híreket a három közül?

Megoldás:

A - tévéből, B - rádióból, C – újságból.

A∪ B∪ C = A+B+C-A∩ B-B∩ C-A∩ C+A∩ B∩ C

A∩ B∩ C = 65+38+39-20-20-9+6 = 99

Tehát 1 személy nem a felsoroltak közül szerzi a híreket.

A+B+C-2A∩ B-2B∩ C-2A∩ C+3A∩ B∩ C=

= 65+38+39-40-40-18+18 = 62

Tehát 62-en vannak, akik egy forrásból szerzik a híreket.

3. ábra

1.3.2 Feladatok

11. Adjuk meg a H halmazt valamennyi elemével, ha H elemei:

a./ az év hónapjai,

b./ 3 x 11 egyenlőtlenséget kielégítő egészszámok,

c./ ,

d./ egyenlet megoldásai.

12. Mik az elemei az alábbi halmazoknak:

A= , B= ,

C= , D= .

13. Döntsük el, hogy az alábbi felsorolt halmazok közül vannak-e egyenlők?

A={a 6 prímosztói}, B={A 0-nál kisebb pozitív számok},

C= {x⊂N  2 x ≤ 5}, D={a 18 prímosztói},

E={negatív négyzetszámok}, F={z⊂N  -3≤ z -1},

G={-2;-3}, H={3; 4; 5}.

14. Állapítsuk meg, hogy az A és B halmaz közül egyik a másiknak részhalmaza-e s ha igen valódi részhalmaza-e?

a./ A={négyszögek}, B={háromszögek},

b./ A={paralelogrammák} B={négyzetek},

c./ A={algebrai egyenletek} B={polinomok},

d./ A={rombuszok} B={tengelyszimmetrikus paralelogrammák}.

15. Adott három halmaz. Az ábrán színezd ki a művelet eredményét!

4. ábra

a./ A-(B∪C), b./ B-C,

c./ B∪(A∩C), d./ (A∩B)-C.

16. Bizonyítsuk be a de Morgan képleteket.

17. Legyen az alaphalmaz H={x⊂N x≤10}

A={x⊂H  x páratlan}, B={x⊂H  x 4 }, C={x⊂H  x 8 }.

Határozza meg a halmaz elemeit!

18. Legyen az alaphalmaz H={x⊂N  3 ≤ x ≤ 12}

A={x⊂H  x osztható hárommal}

B={x⊂H  x osztható 2-vel},

C={x⊂H  x 5}.

Határozza meg a halmaz elemeit!

19. Legyen az alaphalmaz H={x⊂N  -6 ≤ x ≤ 10}

A={ x⊂H  x páros}, B={ x⊂H  x prímszám}, C={ x⊂H  x  5 }.

Határozza meg a következő halmazok elemeit:

.

20. Legyen A=(-2,5], B=[-7,1] és C=(0,2).

Szemléltessük ezeket a halmazokat számegyenesen, majd határozzuk meg a következő halmazokat.

A-B, A-C, , A-(B∪C).

21. Az elsőéves hallgatók közül jelöljük G-vel a gimnáziumból jötteket, F-fel a fiúkat, A-val az angolul, N-nel a németül tudó (nyelvvizsgával rendelkező) hallgatókat. Az előbbi halmazok segítségével fejezze ki a következő halmazokat:

a./ A gimnáziumból jött fiuk.

b./ Az angolul és németül tudók.

c./ Angolul vagy németül tudó fiuk.

d./ Gimnáziumból jött lányok.

e./ A németül nem tudó gimnáziumból jött lányok

22. Legyen a H alaphalmaz a NyME hallgatóinak összessége. Jelölje A az erdészhallgatók, B a lányhallgatók és C az elsőéves hallgatók halmazát. Mely hallgatók tartoznak az alábbi halmazokba?

a./ A∪(B∩C), b./ ,

c./ A ∩ (B-C)=

23. Döntsük el, hogy az alábbi állítás igaz vagy hamis minden A, B, C halmazra:

a./ A-B=(A∪B)-B=A-(A∩B)

b./ A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C).

24. Legyen A={(x,y)⊂R×R y = ax + b} és B={(x,y)⊂R×R y = cx + d}. Mit mondhatunk a, b, c, és d paraméterekről, ha tudjuk, hogy

a./ A-B=A b./ A∩B={0,0} c./ A-B=∅.

25. Az (x,y) számpárokat az xy koordináta sík pontjainak tekintve, milyen geometriai alakzatokat alkotnak az alábbi halmazok?

a./

b./

c./ C={(x,y)⊂R×R 0≤y≤4, 0≤x≤6 és 3y+2x=18}.

26. Legyen A={x⊂R 1 ≤ x ≤ 6} és B={ y⊂R 2 ≤ y ≤ 4}. Az (x,y) számpárokat a sík pontjainak tekintve ábrázoljuk az A×B halmazt.

27. Készítsük el az alábbi halmazokból a kijelölt Descartes-féle szorzatot.

A={x x⊂Z, -1 ≤x 2 }, B={ }, C={3,0}.

=A×B×C, = C×B×C.

28. Egy fordítóirodában 52 fordító dolgozik. Közülük 20-an beszélik az orosznyelvet, 19-en a franciát és 35-en az angol nyelvet. Az orosz és az angol nyelvet is 11, a franciát és az oroszt 7, a franciát és az angolt pedig 9 fordító beszéli.

a./ Hány fordító beszéli mindhárom nyelvet?

b./ Hányan beszélik közülük csak az orosz nyelvet?

29. A második évfolyam matematika zárthelyi dolgozatában két feladatot tűztek ki. Az első feladatot a hallgatók 70%-a, a másodikat pedig a hallgatók 60%-a oldotta meg helyesen. Minden hallgató legalább egy feladatot, és kilencen mindkét feladatot helyesen oldották meg. Hányan vettek részt a második évfolyamról a zárthelyi írásán matematikából?

30. Egy kisvárosban 2000 ház van. Ezek közül 500-ban van autó, 1800-ban hűtőszekrény, 1900-ban televízió és 1980-ban rádió. Legalább hány házban van mind a négy eszköz?

31. Egy osztály létszáma 30. Az osztályban három sportot űznek a tanulók, kosárlabda, kézilabda és atlétika, és minden diák legalább egy sportot űz. 14-en kosárlabdáznak, 15-en kézilabdáznak és 5-en pedig atletizálnak. Pontosan két sportot összesen hat tanuló űz. Hányan sportolják mindhárom sportot?