Ugrás a tartalomhoz

Matematika példatár 1., Halmazelmélet, sorozatok

Csabina Zoltánné (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

1.4 Sorozatok

1.4 Sorozatok

Definíció: Valós számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, vagy a természetes számok halmaza, értékkészletét pedig a valós számok alkotják.

Definíció: Az an számsorozatot monoton növekedőnek nevezzük, ha bármelyik tagja nem kisebb az előzőnél: bármely n-re an+1 ≥ an.

A számsorozatot szigorúan monoton növekedőnek nevezzük, ha minden eleme nagyobb az előzőnél: bármely n-re an+1  an.

A számsorozat monoton csökkenőnek mondjuk, ha bármelyik eleme nem nagyobb az előzőnél: bármely n-re an+1 ≤ an.

A számsorozat szigorúan monoton csökkenőnek mondjuk, ha minden eleme kisebb az előzőnél: bármely n-re an+1  an.

Azokat az (an) sorozatokat, amelyek n minden értékére monoton nőnek vagy monoton csökkennek, röviden monoton sorozatoknak nevezzük.

Annak eldöntése, hogy egy (an) sorozat monoton-e vagy sem, gyakran az an+1 – an különbség, illetve az hányados vizsgálatával történik. Nyilvánvaló, hogy ha minden n-re

an+1 – an

továbbá, ha 0 minden n-re

Definíció: Egy számsorozat alulról korlátos, ha van olyan k szám, amelynél a számsorozat minden eleme nagyobb vagy egyenlő, azaz minden n-re:

k ≤ an.

Egy számsorozat felülről korlátos, ha van olyan K szám, amelynél a számsorozat minden tagja kisebb vagy egyenlő, azaz minden n-re:

an ≤ K.

Az olyan számsorozat, amely alulról és felülről is korlátos, korlátos számsorozat.

Definíció: Az (an) sorozat határértéke A valós szám, ha bármely kicsiny ε  0 számhoz létezik olyan n0 küszöbindex (n0 természetesen függ ε-tól), hogy ha n  n0, akkor an-nek A-tól való eltérése kisebb, mint ε, azaz: |a– A|  ε.

Ha egy sorozatnak van határértéke, akkor konvergensnek mondjuk, ha nincs, akkor divergensnek.

Azt, hogy az A szám az {an} sorozat határértéke, vagy limesze, a következőképpen jelöljük:

Tétel: Konvergens sorozatnak csak egy határértéke van.

Tétel: Minden konvergens sorozat korlátos.

Tétel: Monoton korlátos sorozat konvergens

Tétel: Cauchy-féle kritérium

Ahhoz, hogy egy (an) sorozat konvergens legyen, szükséges és elegendő, hogy bármely ε  0-hoz megadható legyen olyan (ε-től függő) N küszöbszám, hogy ha n, m  N, akkor |an – am| ε.

Néhány nevezetes sorozat határértéke:

Tétel: Legyen k és m pozitív egész szám, b0, b1, b2, ....bk, c0, c1, c2, ......cm valós szám, bk ≠ 0, cm ≠ 0. Ekkor

Tétel: Legyen q tetszőleges valós szám

Tétel: Ha c 0, akkor, az a sorozat konvergens és

Tétel: Az an= sorozat határértéke .

Tétel: Legyen c tetszőleges valós szám. Ekkor az sorozat konvergens és

.

Tétel: a) Az sorozat konvergens és határértéke .

b) (k ⊂ R).

Tétel: Ha an nullához konvergáló, a bn korlátos sorozat, akkor az anbn sorozat is 0-hoz konvergál.

Tétel: Ha az (an) és (bn) sorozatok konvergensek, és an=A,  bn=B, akkor az (an + bn), az (a– bn), az (anbn), az , ahol bn≠0, B≠0, és a (can) sorozatok is konvergensek. Ezek határértéke:

Tétel: Legyen (an), (bn) és (cn) olyan számsorozat, amelyre a≤ cn ≤ bn ∀ n-re, továbbá tegyük fel, hogy az (an) és bn) sorozat konvergens és ugyanaz a határértékük: . Ekkor cn sorozat is konvergens és

.

1.4.1 Mintapéldák

15. példa: Az alábbi függvények értelmezési tartományának N-re való leszűkítésével kapunk-e sorozatokat? Ha igen, adja meg a sorozat képletét, szemléltesse grafikonnal ill. számegyenesen.

a.) b.) c.)

Megoldás:

a.) b.) nem, mivel -3 ≤ x ≤ 3.

c.) nem, mivel a függvény csak a sinx 0 egyenlőtlenségnek megfelelő x értékre van értelmezve, értelmezési tartománya tehát .

16. példa: Írjuk fel a sorozat első hat tagját!

Megoldás:

ha n páratlan, akkor:

Ha n páros, akkor:

17. példa: Írjuk fel az (n≥3) rekurzióval adott sorozat első négy tagját, ha és .

Megoldás:

18. példa: Vizsgáljuk meg az sorozat monotonitását.

Megoldás: A különbség kritériumot alkalmazzuk, akkor

minden -re, tehát a sorozat szigorúan monoton csökkenő.

19. példa: Vizsgáljuk meg az sorozat monotonitását.

Megoldás: A különbség kritériumot alkalmazzuk, akkor

minden -re, tehát a sorozat szigorúan monoton növekvő.

20. példa: Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok korlátosságát!

a) a= 3sin ,

b) b= n– 6n + 8

Megoldás:

a) Az an sorozat nem monoton, mert például , (visszafordul) de korlátos. Könnyű megadni korlátokat, mivel tudjuk, hogy a sinus függvény korlátos (értékkészlete a [–1;1] intervallum), így a sorozat alsó határa –3, felső határa pedig 3 lesz:

–3 ≤ an ≤ 3, ∀ n-re.

b.) A másodfokú függvényen értelmezett sorozat (n – 3)2 –1 átalakításából látható, hogy a helyi minimummal rendelkező másodfokú függvénynek nincs felső korlátja, csak alsó korlátja, aminek –1 az értéke. Tehát ez a sorozat nem korlátos, és nem is monoton. ( ...)

21. példa: Igazoljuk a határérték definíciója alapján, hogy az sorozat konvergens és határértéke A=6.

Megoldás: A definíciót felhasználva: Legyen ε  0 tetszőleges! Vizsgáljuk a következő egyenlőtlenséget! Oldjuk meg n-re!

,

tehát bármely ε  0-hoz találtunk küszöbindexet, amely után következő összes tag a 6 határérték környezetébe esik. Mivel a lépések ekvivalensek, így megfordíthatók. Ez viszont azt jelenti, hogy a 6 határértéke a sorozatnak.

22. példa: Vizsgáljuk meg az

sorozat konvergenciáját!

Megoldás: Külön vizsgáljuk a páratlan és a páros indexű tagokat.

a.) n=2k-1

tehát a páratlan indexű tagok a 0 körül torlódnak.

b.) n=2k

a páros indexű tagok az 1 körül torlódnak.

A sorozatnak két torlódási pontja van, a 0 és az 1. Mindkét torlódási pont tetszőlegesen kicsiny környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja van, de mindkét környezeten kívül is számtalan sok tagja marad a sorozatnak. Ebben az esetben a sorozatnak nem létezik határértéke, ami azt jelenti, hogy a sorozat divergens.

23. példa: Állapítsuk meg a következő sorozatok határértékét!

a.)

Megoldás:

. A sorozat konvergens.

b.)

Megoldás:

. A sorozat divergens.

c.)

Megoldás:

. A sorozat konvergens.

d.)

Megoldás:

. A sorozat konvergens.

e.)

Megoldás:

A határértékét úgy határozzuk meg, hogy an-et megszorozzuk és el is osztjuk, azaz bővítjük -mal.

.

A sorozat konvergens.

f.) és

Megoldás:

. A sorozat konvergens.

g.)

Megoldás:

6n ≤ 6n+5 ≤ 6n+n = 7n, ha n ≥ 5

Az előző feladat alapján (a rendőrelv miatt)

1 ≤ ≤ 1

amiből következik, hogy

= 1. Tehát konvergens.

h.)

Megoldás:

Az első tag q 1 miatt végtelenbe a második |q| 1 miatt 0-hoz tart, így a határérték:

A sorozat divergens.

i.)

Megoldás:

, konvergens.

j.)

Megoldás:

. Konvergens.

k.)

Megoldás:

. Konvergens.

l.)

Megoldás:

. Konvergens.

m.)

Megoldás:

24. példa: Számítsuk ki a n[ln(n+1)-lnn] határértéket!

Megoldás: A logaritmus szabályait alkalmazva juthatunk eredményhez.

A logaritmus és a határérték művelete felcserélhető.

Konvergens.

1.4.2 Feladatok:

32. Határozzuk meg a sorozat általános tagját.

33. A következő sorozatokban írjuk fel az első öt tagot!

a./ b./

c./ d./

e./ , , n=3,4,5,.....

f./ , , n=3,4,5,.....

34. Határozzuk meg az alábbi sorozatok általános tagját!

a./ b./

c./ d./ .

35. Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatokat monotonitás szempontjából!()

a./ b./

c./ d./

e./ f./

g./ h./

36. Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok korlátosságát!()

a./ b./

37. A határérték definíciója alapján igazolja a következő állításokat, és adott ε esetén adjuk meg a küszöbszámot. ( )

a./ ε=0,01 b./ ε=0,01

c./ ε=0,01 d./ ε=0,01

e./ ε=0,01 f./ ε=0,001

38. Konvergens-e az alábbi sorozat?

39. Konvergensek-e az alábbi sorozatok?

1./ 2./

3./ 4./

5./ 6./

7./ 8./

9./

10./ 11./

12./ 13./

14./ 15/

16./

17./

18./ 19./

20./ 21./

22./ 23./

24./ 25./

26./ 27./

28./ 29./

30./ 31./

32./

40. Számítsuk ki az alábbi határértékeket!

a.) b.)

c.) d.)

e.) f.)

g./ h./

i./ j./

41. Számítsuk ki az alábbi határértékeket!

a.) b.)

c.) d.)

e.) f.)

g.) h.)

i.) j.)

k.) l.)

m.) n.)

o.) p.)

r.) s.)

t.) u.)

v./ z./

42. Számítsuk ki az alábbi határértékeket!

a./ b./

43. Adja meg az sorozat legnagyobb alsó korlátjának és határértékének szorzatát!

44. Adja meg az sorozat legnagyobb alsó és legkisebb felső korlátjának összegét!

45. Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatokat monotonitás, korlátosság, konvergencia szempontjából. Konvergencia esetén adjuk meg az adott ε-hoz tartozó küszöbszámot! ( )

a./ ε=0,01 b./ ε=0,01

c./ ε=0,1 d./ ε=0,001

46. A rendőrelv alkalmazásával határozza meg a következő sorozatok határértékét!

a./ b./

c./ d./

47. Adottak az és a sorozatok. Számítsuk ki a , a és a határértékeket!

48. Határozza meg az sorozat határértékét és azt az első elemet, amelynek a határértéktől való eltérése kisebb -nél!

49. Határozza meg a k paraméter értékét úgy, hogy sorozatban

a./ legyen

b./ a sorozat konvergens legyen, de .

50. Legyenek . Fejezze ki az -t az n függvényében.