Ugrás a tartalomhoz

Matematika példatár 3., MATDeriváltak, differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára. Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban.

Csabina Zoltánné (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

3.2 Differenciálszámítás

3.2 Differenciálszámítás

3.2.1 A differenciálhányados fogalma

Definíció: Legyen x0 az f függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvény differenciálható az x0 pontban, ha a (x) differencia-hányados-függvénynek az x0 pontban létezik véges határértéke. A

számot az f függvény x0 ponthoz tartozó differenciálhányadosának (deriváltjának) nevezzük. Ha a fenti határérték nem létezik, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az x0 pontban nem differenciálható.

Az f függvény x0 helyen vett differenciálhányadosa, az f függvénygörbe A(x0,f(x0)) pontbeli érintőjének az iránytangense.

1. példa: Vizsgáljuk meg, hogy az f(x) = 4x2 függvény differenciálható-e a 2 pontban!

Megoldás:

Először az f(x) függvény 2 pontjához tartozó differenciahányados-függvényét írjuk fel:

     x ⊂ R\{2}

Ennek a függvénynek a 2 pontban vesszük a határértékét:

.

A 2 pontban van véges határérték, tehát az f függvény differenciálható ebben a pontban.

2. példa: Határozzuk meg az f(x) = x2 + 3x függvény differenciálhányadosát x=1 helyen a differenciahányados határértékeként!

Megoldás:

Tehát f ’(1) = 5.

3. példa: Definíció alapján vezessük le az f(x) = x3 függvény derivált függvényét, x ⊂ R!

Megoldás:

Legyen x0 ⊂ R tetszés szerinti. Vizsgáljuk a differenciahányados-függvény határértékét az x0 helyen:

Az x0 pontot tetszőlegesen választottuk, ezért az f függvény bármely x ⊂ R pontban differenciálható, és f ’(x) = 3x2.

4. példa: Differenciálható-e az alábbi függvény az x0 = 2 pontban?

Megoldás:

Megvizsgáljuk a függvény jobb és bal oldali differenciálhatóságát az x0 = 2 pontban:

Tehát az f függvény az x0 = 2 pontban nem differenciálható.

1. ábra

A függvénynek az x0 = 2 pontban töréspontja van.

FELADATOK:

1.) Határozzuk meg az f(x) = x2 + x függvény differenciálhányadosát x=2 helyen a differenciahányados határértékeként!

2.) Tekintsük az f(x)= x2 -5 függvény görbéjének az A(3,4) pontját. Mivel egyenlő az A pontban húzott érintő iránytangense?

3.) Közvetlenül a definíció alapján vezessük le az függvény derivált függvényét!

4.) Differenciálható-e az alábbi függvény a [0;5] intervallumon?

5.) Differenciálható-e az alábbi függvény az x= 0 helyen?

6.) Differenciálható-e az alábbi függvény az x= 1 helyen?

7.) Legyen f(x)= . Differenciálható-e az f függvény az x=0 helyen?

8.) Számítsuk ki az függvény differenciálhányadosának értékét az helyen (ha létezik).

9.) Az függvény differenciálható-e az x=-3 az x=0 és az x=1 helyen?

3.2.2 Differenciálási szabályok

1. ,

  1. 3.

4.

5.

Az összetett függvény deriválási szabályát szokás lánc-szabálynak is nevezni.

Elemi függvények deriváltjai:

 

 

Logaritmikus deriválás:

, ez egy olyan függvény, amelynek az alapja és a kitevője is függvény. Vegyük mindkét oldal logaritmusát, majd deriváljuk mindkét oldalt.

5. példa: Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltjait! A függvények értelmezési tartományának és deriváltjaik értelmezési tartományának vizsgálatát

önállóan végezze el!

.

  1. f(x) = (lnx2) tg x

.

A fenti hozzárendelési törvénnyel adott függvény háromszorosan összetett,

h(x) = 2x

g(h(x)) = sin(h(x))= sin2x

f (g(h(x))) =

Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva:

z(x) = (esin2x)= esin2x (cos2x) 2

Ez a részletezés a feladatok során általában nem szükséges, hiszen a konkrét függvény alapján látható a függvény összetétele, s így a szabály közvetlenül alkalmazható.

.

.

7.

Logaritmikus deriválás:

.

8.)

Logaritmikus deriválás:

.

9.)

Implicit függvény deriválása:

.

10.)

Implicit függvény deriválása:

.

Feladatok:

Deriváljuk a következő függvényeket! Néhány példában gondolja meg, mely

valós x-re értelmezhetők illetve differenciálhatók a függvények!

  1. 11.)

  2. 13.)

  3. 15.)

  4. 17.)

  5. 19.)

  6. 21.)

  7. 23.)

  8. 25.)

  9. 27.)

  10. 29.)

  11. 31.)

  12. 33.)

  13. 35.)

  14. 37.)

3.2.3 A differenciálhányados geometriai alkalmazása, érintőszámítás, szögfeladat, normális

Az érintő egyenlete:

A P0 (x0; f(x0)) ponton átmenő m meredekségű (iránytangensű) egyenes egyenlete:

y= m(x – x0) + f(x0),     

a P0-ban az f függvényhez húzott érintő egyenlete:

m = tgα = f ’(x0)

y=  f ’(x0)(x – x0) + f(x0).

A görbe normálisa merőleges az érintési pontban az érintőre.

A normális egyenlete:

y= (x – x0) + f(x0), m = tg =  .

Az f ’(x0) ≠ 0, mert különben a képlet nem alkalmazható.

2. ábra

Definíció: A P pontban két egymást metsző síkgörbe hajlásszöge a két görbéhez a metszéspontban húzott érintők által bezárt derékszögnél nem nagyobb szög.

3. ábra

  , 0  ω ≤

ha f ’(x0)g’(x0) ≠ –1. Abban az esetben, ha f ’(x0)g’(x0) = –1, akkor ω =  .

6.példa: Határozzuk meg az f(x) = ex + 2 függvény görbéjének érintőjét és normálisát az x0 = 0 abszcisszájú pontjában.

Megoldás:

Az érintési pont: E (0;3). A derivált függvény: , amiből az érintő iránytangense: f ’(x0) = e0 = 1. A normális iránytangense:     = –1

Az érintő egyenlete:    y = 1(x – 0) + 3     vagyis     y = x + 3

A normális egyenlete:   y = –1(x – 0) + 3     vagyis     y = –x + 3

4. ábra

7.példa: Határozzuk meg az xy = 1 és az y = x2 görbék hajlásszögét.

Megoldás:

Először meg kell adnunk a két síkgörbe metszéspontját.

A metszéspont M(1;1)

5. ábra

   és   g(x) = x2, deriváltjaik:    és   g’(x) = 2x

f ’(x0) = f ’(1) = –1   és   g’(x0) = g’(1) = 2

  , ebből α = 71°34’.

8.példa: Határozzuk meg grafikusan az és y = ln x + 1 görbék metszéspontját, majd számítsuk ki, hány fokos szögben metszik egymást.

Megoldás:

A két síkgörbe metszéspontja: M(1;1)

6. ábra

   és    , f ’(x0) = f ’(1) = –1     és     g’(x0) = g’(1) = 1

Ekkor f ’(x0)g’(x0) = –1·1 = –1, tehát ω = 90°.

Feladatok:

38.)Keressük meg az függvény görbéjének érintőjét és normálisát az

x0 = 4,5 helyen.

39.)Írjuk fel az parabola érintőjének az egyenletét az x tengellyel való metszéspontjaiban.

40.)A egyenlettel adott függvény görbéjének milyen abszcisszájú pontjában van 45°-os irányszögű érintője?

41.)Mutassuk meg, hogy az függvény görbéjének a koordinátatengelyekkel alkotott metszéspontjaiba húzott érintői párhuzamosak egymással.

42.)Adott az x⊂R függvény. Milyen abszcisszájú pontban kell meghúzni azt az érintőt, amelyik áthalad az origón?

43.)Adjuk meg az egyenlettel adott görbe azon érintőjének egyenletét, amely merőleges az x+4y=3 egyenesre.

44.) Határozzuk meg a függvény azon pontjait, amelyekhez húzott érintő

párhuzamos az y=x+4 egyenessel.

45.) Mekkora az görbe érintőjének meredeksége az origóban és a P(2,1) pontban?

46.)Keressük meg az függvénnyel megadott görbének azon pontjait, amelyhez húzott érintő párhuzamos az x tengellyel.

47.) Határozzuk meg a és b paraméterek értékét úgy, hogy az f függvény minden valós x-re differenciálható legyen.

48.) Hány fokos szögben metszi az y=x+6 egyenes az parabola felső ágát?

49.) Mekkora szög alatt metszi az y=-2x+5 egyenes az -et.

50.) Az a milyen értékénél metszi 45°-ban az x tengelyt?

51.)Milyen messze van az x=(2ln2)y-4ln2 egyenes az görbétől?

52.) Az egyenes milyen messze van az től.

3.2.4 Magasabbrendű deriváltak Taylor-polinom, Taylor sor, simulókör

Definíció: Ha f differenciálható a H1 halmazon (H1 = Df ’) és ennek f ’ deriváltfüggvénye differenciálható a H H1 halmazon, akkor az f ’ deriváltfüggvényét – amelyet f ”-vel jelölünk – nevezzük az f függvény második deriváltjának (H2 = Df ”). Hasonló módon jutunk el az f függvény n-edik deriváltjának fogalmához, amit az f függvény n-edrendű deriváltjának is nevezzük.

Definíció: Ha az f függvény az x0 pontban n-szer differenciálható, akkor képezhetjük a

polinomot, amelyet az f függvény x0-hoz tartozó n-edrendű Taylor polinomjának nevezünk. Ha x0 = 0, akkor a Tn(x) függvényt az f n-edrendű Maclaurin-polinomjának nevezzük.

Definíció: Legyen az f függvény az értelmezési tartománya valamely x0 pontjában akárhányszor differenciálható. Ekkor az

hatványsort az f függvény x0-hoz tartozó Taylor-sorának nevezzük.

Definíció: Az y = f(x) függvény görbéjének simulóköre az x0 pontban az a kör, amellyel a görbe legalább másodrendben érintkezik.

Ha az f(x) és g(x) függvények, valamint differenciálhányadosaik értéke az n-edikig bezárólag az x0 helyen rendre megegyeznek, azaz

f(x0) = g(x0),   f ’(x0) = g’(x0),...   f (n)(x0) = g(n)(x0),   f (n+1)(x0) ≠ g (n+1)(x0),

akkor azt mondjuk, hogy az f(x) és a g(x) görbék az x0 helyen n-edrendben érintkeznek.

Definíció: Egy görbe görbülete az x0 pontban az x0 pontbeli simulókör sugarának a reciproka:   .

A simulókör sugarát a következő képlettel is kiszámíthatjuk: .

9.példa: Határozzuk meg az f(x) = ln x (x ⊂ R+) függvény harmadik deriváltjának az x0 = 1 helyen vett helyettesítési értékét.

Megoldás:

A deriváltak:

            ,     f ”’(1) = 2

10.példa: Határozzuk meg az f(x) = sin x függvény 28-adik deriváltját.

Megoldás:

f ’(x) = cos x, f ”(x) = –sin x,  f ”’(x) = –cos x,  f (4) (x)= sin x,  f (5) (x)= cos x  ...

Látható, hogy a deriváltak n = 4-es periódussal ismétlődnek:

Ezért f (28) (x) = sin x,     x ⊂ R.

11. példa: Írjuk fel az f(x) = ln x függvény x0 = 1 ponthoz tartozó n-endrendű Taylor-polinomját, ahol 0  x 2.

f(x) = ln x f(1) = ln 1 = 0

f ’(1) = 1

f ”(1) = –1

f ”’(1) = 2 = 2!

f 4(1) = –6 = –3!

f 5 = 24 = 4!

Μ Μ

f(n)(1) = (–1)n+1 (n – 1)!

12. példa: Határozzuk meg parabola x0 = 2 helyhez tartozó simulókörének egyenletét (g(x)), és e helyen a parabola görbületét!

Megoldás:

7. ábra

 = f(x)     f(2) = –1 = g(2)

 = f ’(x)     f ’(2) = –1 = g’(2)

 = f ’’(x)     f ’’(2) =  = g’’(2)

Felírjuk a keresett simulókör egyenletét implicit alakban, kétszer deriváljuk, majd behelyettesítjük a konkrét értékeket. Az u, v és r-re így kapott egyenletrendszert megoldjuk:

(2 + 2)+ (–1 + 5)= r2 , ahonnan r  = 4 .

Ez azt jelenti, hogy a vizsgált egyenletű parabola a P(2;-1) pontjában olyan mértékben görbült, mint egy 4  ≈ 5,6 egység sugarú kör vonala. (A kör görbültsége minden pontjában azonos, a parabola görbültsége pontonként változik.) A simulókör egyenlete: (x + 2)2 + (y + 5)2 = 32

A parabola görbülete az x0 = 2 helyen: .

FELADATOK:

53.) Határozzuk meg az f(x) = 4x3 – 2x2 + 5x + 6 függvény összes f (n)(x)  deriváltját!

54.) Határozzuk meg az függvény deriváltját, majd az függvény 15-dik deriváltját!

55.)Képezzük a megadott függvények második és harmadik derivált függvényét:

a.)f(x)= xarctg(x) b.)

  1. d.)f(x)=tgx

56.) Az függvény minden pozitív egész n értékre adjuk meg az

f (n)(x) függvényt.

57.) Írjuk fel a polinomot (x+1) hatványai szerint!

58.) Írjuk fel az f(x)=cosx, függvény pontjához tartozó negyedfokú Taylor- polinomját!

59.) Írjuk fel az függvény pontjához tartozó harmadfokú Taylor- polinomját!

60.) Írjuk fel az alábbi függvények harmadfokú MacLaurin- polinomját!

a.) b.) c.) f(x)=tgx

61.) Határozzuk meg az f(x)=ln(1-x) MacLaurin-sorát!

62.) Negyedrendű Taylor polinom felhasználásával adjuk meg ln1,5 közelítő értékét.

63.) Az függvénynek az y tengellyel való metszéspontjában írjuk fel a simulókörének egyenletét és görbületét.

64.) Mekkora az y=sinx görbülete az pontban? Adjuk meg a görbe E pontjához tartozó simulókörének egyenletét!

65.) Mekkora az görbülete az pontban? Adjuk meg a görbe E pontjához tartozó simulókörének egyenletét!

66.) Adjuk meg a következő függvények görbületét az pontban!

  1. b.)

    67.)Írjuk fel az függvény E(3,3) pontjában simulókörének egyenletét és görbületét!

3.2.5 L’Hospital-szabály

Vannak olyan határértékszámítási problémák, amelyek megoldása az eddig ismert módszerekkel nem lehetséges, vagy ha igen, akkor csak nagyon körülményesen. Ilyenek például a és a típusú határértékek, valamint az ezekre visszavezethetők. Az ilyen jellegű határértékek meghatározására való határértékszámítási szabályokat L’Hospital-szabályoknak szokás nevezni.

A véges helyen vett és típusú.

Tétel: Ha f és g rendelkezik a következő tulajdonságokkal:

1.) , vagy

2.) f és g x0 környezetében differenciálható (esetleg féloldali)

3.) x0 környezetében

és 4.) létezik a

akkor a határérték is létezik, és .

13. példa: Számítsuk ki a következő határértékeket!

A tétel feltételeinek vizsgálatát az olvasóra bízzuk.

1. .

2. .

3. .

Tétel: Ha f és g rendelkezik a következő tulajdonságokkal:

1.) vagy

2.) f és g függvény az (a;∞) intervallumon differenciálható

3.) g’(x) ≠0 ezen az intervallumon

és 4.) létezik a

akkor a határérték is létezik, és .

14. példa: Számítsuk ki a következő határértékeket:

  1. .

  2. .

3.

Megemlítjük még a  ∞ –∞ , ∞ ·0, ∞0, 1, 00 típusú határértékeket. E határértékek kiszámítását a vagy a alakra vezetjük vissza, és ezekre alkalmazzuk a L’Hospital szabályt.

15. példa: (∞ – ∞) típus

.

Megoldás:

Közös nevezőre hozva a helyettesítési érték lesz, alkalmazható a L’Hospital szabály:

mivel ez újból alakú, újra alkalmazzuk a L’Hospital-szabályt:

,

tehát .

16. példa: (∞ ·0) típus

.

Megoldás: A kifejezést törtté alakítjuk

, így alkalmazható a L’Hospital szabály:

.

FELADATOK:

A következő határértékek kiszámításához használjuk a L’Hospital-szabályt.

  1. 69.)

  2. 71.)

  3. 73.)

  4. 75.)

  5. 77.)

  6. 79.)

  7. 81.).

3.2.6 Függvényvizsgálat, szélsőérték-számítás

Tétel: Legyen az f függvény az [a;b] intervallumon folytonos és az (a;b) nyílt intervallumon differenciálható. Az f függvény ezen az intervallumon akkor és csak akkor monoton növekedő ill. fogyó, ha f ’(x) ≥ 0, illetve f ’(x) ≤ 0 teljesül minden x ⊂ (a;b)-re.

Tétel: Ha az f függvény az x0 hely valamely környezetében differenciálható, f ’(x0) = 0, és az f ’ deriváltfüggvény az x0 pontban előjelet vált, akkor f-nek az x0 pontban van lokális szélsőértéke.

  1. Ha f ’ az x0 pontban negatív értékből pozitív értékbe megy át, akkor f-nek az x0 pontban lokális minimuma van.

  2. Ha f ’ az x0 pontban pozitív értékből negatív értékbe megy át, akkor f-nek az x0 pontban lokális maximuma van.

Annak megállapítására, hogy egy függvénynek létezik-e szélsőértéke, és ha létezik milyen, néha célszerű magasabbrendű deriváltakat is felhasználni. Tétel: Ha az f függvény az x0 pontban kétszer differenciálható, továbbá

f ’(x0) = 0 és f ”(x0)  0,

akkor a függvénynek az x0 helyen lokális maximuma van. Ha pedig

f ’(x0) = 0 és f ”(x0)  0,

akkor a függvénynek az x0 pontban lokális minimuma van.

17. példa: Határozzuk meg az f(x) = x4 – 2x2 + 2 függvény monotonitási szakaszait és lokális szélsőértékeit.

Megoldás:

f ’(x) = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1)

f ’(x) = 0,     ha     4x3 – 4x = 0, 4x(x2 – 1) = 0,     ha     x = –1; 0; 1.

Az f ’ zérushelyei négy részintervallumra bontják az f értelmezési tartományát.

8. ábra

Táblázatunk már tartalmazza az f függvényre vonatkozó következtetéseinket is. Ahol az első derivált pozitív (–1  x  0 és x  1) ott a függvény szigorúan monoton növekedő, ahol a derivált negatív (x  –1 és 0  x  1), ott a függvény szigorúan monoton csökkenő.

9. ábra

18. példa: Határozzuk meg az   függvény lokális szélsőértékeit!

Megoldás:

Mivel a függvény minden x⊂R differenciálható, ezért lokális szélsőértéke ott lehet, ahol az első derivált zérus:

, f ’(x) = 0     ha     x = –1, 1

A szélsőérték létezéséhez elengedő, ha az első derivált zérushelyein az f ” függvény értéke nem nulla. Ez esetben:

f ”(–1) = 3  0

f ”(1) = –3  0

Ez azt jelenti, hogy a függvénynek az x = –1 helyen lokális minimuma van, amelynek értéke f(–1) = –3, és az x = 1 helyen lokális maximuma van, amelynek értéke f(1) = 3.

Tétel: Ha az f függvény az [a;b] intervallumon kétszer differenciálható, akkor ahhoz, hogy itt konvex (illetve konkáv) legyen, szükséges és elégséges, hogy f ”(x) ≥ 0 (illetve f ”(x) ≤ 0) legyen az egész [a;b] intervallumon.

Tétel: Ha f függvény az x0 hely valamely környezetében kétszer differenciálható és f ”(x0) = 0, valamint az f ” függvény az x0 helyen előjelet vált, akkor f-nek az x0 helyen inflexiós pontja van.

Tétel: Ha f az x0 helyen háromszor differenciálható, valamint f ”(x0) = 0 és f ’”(x0) ≠ 0, akkor f-nek az x0-ban inflexiós pontja van.

19. példa: Határozzuk meg az függvény inflexiós pontjait!

Megkeressük a második derivált zérushelyeit és megvizsgáljuk az f ” függvény előjelét: f ’(x) = x2 – 2x – 3   és   f ”(x) = 2x – 2. Az f ”(x) = 0 egyenlet megoldása: x = 1. A második derivált előjelváltásait foglaljuk táblázatba:

10. ábra

Ahol f ” pozitív (x 1), ott konvex, ahol f ” negatív (x 1), ott konkáv az f függvény. Az x = 1 helyen f ” előjelet váltva 0, ezért az inflexiós pont. (f ’’’(x) = 2, így f ’’’(1) = 2 ≠ 0, tehát az x = 1 pontban van inflexiós pont.)

A gyakorlati feladatok egy része az úgynevezett szélsőérték-feladat, amikor is csak a szélsőértékek meghatározása a cél. Az ilyen feladatok kitűzésekor általában nem kapjuk meg a vizsgálandó függvényt, azt a feladatban megfogalmazott feltételek alapján kell előállítani.

20. példa: Adott egy felül nyitott négyzet alapú hasáb, amelynek a térfogata 32 m3. Hogyan kell megválasztani a hasáb adatait, hogy a felszín minimális legyen?

Megoldás:

1. Ha az alapél „a” és a magasság m, akkor a felszín:

A = a2 + 4am.

2. A következő lépésben egyváltozóssá tesszük a felszín függvényét a térfogat segítségével.

V = 32 m3,     V = a2m = 32,     m =,

A = a2 + 4a Df : a  0

  1. A felszínnek ott lehet szélső értéke, ahol A’(a) = 0. Az „a” szerint differenciálva:

,    ha   a = 4

ez pedig azt jelenti, hogy V-nek az a = 4 értékre minimuma van.

  1. A minimális felszínű négyzet alapú hasáb adatai:

a = 4     és     m = . A minimális felszín: Amin = 16 + 4·4·2 = 48 m2.

FELADATOK:

82.) Vizsgáljuk meg a következő függvényeket, szélsőérték szempontjából (helye, nagysága, minősége). Határozza meg azokat az intervallumokat is, amelyeken a függvény monoton!

  1. b.) .

83.) Határozza meg az függvény szélsőértékét! Határozza meg

az pontba húzható érintő egyenletét!

84.) Határozza meg a következő függvények szélsőértékét. Írja fel a függvénygörbékhez az pontban húzható érintők egyenletét!

  1. b.) .

85.) Vizsgáljuk meg a következő függvényeknél, hogy a függvény görbéje mely intervallumban konvex, illetve konkáv. Határozza meg a függvény inflexiós pontját, és írja fel az inflexiós pontbeli érintő egyenletét!

  1. b.)

  1. d.) .

86.) Határozza meg a következő függvények szélsőértékét/szélsőértékeit és inflexiós pontját/pontjait!

  1. b.)

87.) A intervallumon hol konvex, ill. konkáv a következő függvény?

.

88.)Végezzünk teljes függvényvizsgálatot, és ábrázoljuk a függvényt!

  1. b.) .

89.) Húsz méter hosszú drótszövetünk van. Hogyan válasszuk meg a téglalap alakú kert adatait, ha maximális területet akarunk körülhatárolni, és az egyik oldalon már van kerítés?

90.) 60cm-es vashuzalból téglatestet alakítunk ki. Hogyan kell megválasztani az éleit (alapja a, 2a oldalú téglalap), hogy a térfogat maximális legyen?

91.) Az egyenes és a koordináta tengelyek által meghatározott háromszögbe téglalapot írunk úgy, hogy az egyik csúcs az adott egyenesen, 2-2 csúcsa pedig az x ill. y tengelyen van. Hogyan kell megválasztani a csúcsok koordinátáit, ha maximális területű téglalapot szeretnénk?

92.) Egy felül nyitott henger alakú edény térfogata 500 . Hogyan kell megválasztani a henger sugarát és magasságát, hogy a felszín minimális legyen?

93.) Bontsuk fel a 22-t két pozitív részre úgy, hogy az egyik résznek a negyedik hatványa, és a másik rész hetedik hatványának szorzata maximális legyen!

94.) Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írható legnagyobb térfogatú kúp sugarát, magasságát és térfogatát!

95.) Adott egy oldalú négyzet alakú lemez, mely minden sarkából kivágunk egy-egy kis négyzetet, majd a maradék oldalrészeket felhajtva egy dobozt kapunk. Mekkora legyen a levágott kis négyzetek oldala, hogy a doboz térfogata maximális legyen? Mekkorák a maximális térfogatú doboz élei, és mekkora a maximális térfogat?

96.) Egy henger alakú üveg alján olyan félgömböt helyezünk el, amelynek sugara megegyezik a henger sugarával. Az így kapott test térfogata . Mekkora legyen a henger sugara és a magassága, hogy az üveg a legkevesebb felülettel rendelkezzen?

97.) Egy termék árbevételi függvénye , ahol x az előállított termék darabszámát jelöli. Milyen termékszám esetén lesz maximális az árbevétel?

3.2.7 Többváltozós függvények differenciálása, hibaszámítás

Definíció: Legyen z = f(x,y) egy kétváltozós függvény, amely értelmezve van a P0(x0;y0) pont valamely környezetében. A határértéket az f(x,y) függvény x szerinti parciális differenciálhányadosának vagy parciális deriváltjának nevezzük a P0(x0;y0) pontban. Az x szerinti parciális derivált jelölése: .

Az x indexszel azt emeljük ki, hogy a differenciálást az x változó szerint hajtjuk végre, állandó y mellett. Hasonlóan definiálható az f függvény y szerinti parciális deriváltja.

Egy kétváltozós függvény mindkét parciális differenciálhányadosa egyváltozós függvény differenciálhányadosa. Ebből következik, hogy a parciális differenciálhányadosok kiszámítására mindazon differenciálási szabályok alkalmazhatók, amelyeket az egyváltozós függvények differenciálásával kapcsolatban megtanultunk.

A parciális differenciálhányadosok értelmezéséből nyilvánvaló azok geometriai jelentése: a z = f(x,y) felület és az y = y0 sík metszésvonala (x0;y0;f(x0,y0)) pontjához húzott érintőjének az iránytangense az x tengelyre vonatkozóan. Hasonlóan: az a z = f(x, y) felület és az x = x0 sík metszésvonala (x0;y0;f(x0,y0)) pontjához húzott érintőjének az iránytangense az y tengelyre vonatkozóan.

11. ábra

Tegyük fel, hogy a z = f(x, y) függvény

         

parciális differenciálhányadosai léteznek az xy sík bizonyos tartományában. Ezen függvények parciális differenciálhányadosait (amennyiben azok léteznek) az f(x,y) függvény másodrendű parciális differenciálhányadosainak nevezzük:

Az és differenciálhányadosokat vegyes másodrendű differenciálhányadosoknak nevezzük.

Tétel: Ha a z = f(x,y) függvény második vegyes parciális differenciálhányadosai egy (x0,y0) pontban folytonosak, akkor e pontban egyenlők is egymással:

.

Definíció: A z = f(x,y) függvény teljes differenciálja a P0(x0;y0) pontban:

.

A teljes differenciált a hibaszámításban használják.

Abszolút hiba:

Relatív hiba: , vagy .

34. példa: Határozzuk meg a következő függvények parciális deriváltjait!

a.) f(x,y)=  3x2y + xy2

b.)

c.) .

Megoldás:

a.) (y-t konstansnak vesszük),

  (x-et konstansnak vesszük)

b.)

.

c.)

.

35.feladat: Számítsuk ki a következő függvények másodrendű parciális deriváltjait:

a.)

b.)

Megoldás:

a.)

b.) ,

,

.

36. feladat: Egy derékszögű háromszög befogóit , -nek mértük. A fenti adatokat használva mekkora abszolút hibával számítható a háromszög átfogója?

Megoldás:

a0=5, b0=12,

.

37. feladat: Egy háromszög alakú telek két oldala a mérési hibával és , a köztük lévő szög .Számítsuk ki a háromszög területét és állapítsuk meg a hibakorlátokat!

Megoldás:

a0=83,56, b0=52,25, ,

,

relatív hiba: ,

.

abszolút hiba: .

Tehát a terület:

FELADATOK:

98.) Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények elsőrendű parciális deriváltjait!

  1. 2.)

3./ 4./

  1. 6.)

  2. 8.)

  3. 10.)

  4. 12.)

  5. 14.)

  6. 16.)

  7. 18.)

  8. 20.) .

  9. 22.) .

99.) Tekintse az kétváltozós függvényt. Határozza meg az összeget a legegyszerűbb alakban!

100.)Adott az kétváltozós függvény, ahol állandók. Határozza meg a hányadost a legegyszerűbb alakban!

101.) Bizonyítsuk be, hogy , ha .

102.) Igazoljuk, hogy a függvény eleget tesz az differenciálegyenletnek.

103.) Mekkora „ a ” értéke, ha az függvény megoldása a differenciálegyenletnek?

104.) Megmérve egy henger m magasságát, és alapkörének r sugarát, a következő eredmények adódnak: r=2,5m ± 0,01m; m=4,0m ± 0,2m. Becsüljük meg a henger térfogatának kiszámításakor fellépő abszolút és relatív hibát!

105.) Egy négyzet oldalának hosszát megmértük és területét abból számítottuk. A számított terület : , a=35,1m. Milyen pontossággal mértük meg a négyzet oldalát?

106.) Megmérve egy egyenes körkúp m magasságát, és alapkörének r sugarát, a következő eredmények adódnak: r=10,0cm ± 0,1cm; m=20cm ± 0,05cm. Becsüljük meg az egyenes körkúp térfogatának kiszámításakor fellépő abszolút és relatív hibát!

107.) Egy négyzet alapú egyenes hasáb magasságát méternek, alapélét méternek mérték. Becsülje meg, hogy mekkora abszolút és relatív hibával számolható a térfogat!

108.) Egy háromszög két szöge és , az egyik oldala pedig b=41,32m ± 0,01m. Mekkora a háromszög a oldala? Határozzuk meg az a oldal abszolút és relatív hibáját!

109.) Egy háromszög két oldala a=200m ± 2m és b=300m ± 5m, a köztük levő szög pedig . Mekkora a háromszög harmadik, c oldala, és mekkora abszolút és relatív hibával számítható ki a háromszög ezen oldala?

110.)Egy optikai lencse fókusztávolsága f=30cm ± 0,15cm, tárgytávolsága t=35cm ± 0,2cm. Milyen határok között ingadozik a képlettel számított k értéke?

111.) Egy golyó sugara r=2cm ± 0,001cm, tömege m=14g ± 0,02g. Mekkora a sűrűség, és annak abszolút és relatív hibája?

112.) Adott egy P pont polárkoordinátáival, P(t,α): t=215,64m ± 0,06m és . Számítsuk ki a P pont Descartes-féle koordinátáit (P(x,y)), és ezek abszolút és relatív hibáit!

113.) Milyen pontossággal számítjuk ki a gravitációs gyorsulás értékét, ha méréskor az időt 8% relatív hibával mértük, és s=2m-t Δs=0,5cm abszolút

hibával tudtuk mérni.