Ugrás a tartalomhoz

Matematika példatár 3., MATDeriváltak, differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára. Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban.

Csabina Zoltánné (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

3.3 Megoldások

3.3 Megoldások

1.

Tehát f ’(2) = 5.

2.

3.

Tehát x≠3.

4. Az x0 = 4 pontban kell vizsgálni a differenciálhatóságot.

, tehát az f függvény az x0 = 4 pontban nem differenciálható, és így a [0;5] intervallumon sem. Ugyanis egy f függvény akkor differenciálható egy [a; b] zárt intervallumon, ha minden belső pontban, továbbá a-ban jobbról és b-ben balról differenciálható.

5.

.

A 0 helyen nem differenciálható, mivel a különbségi hányados-függvény féloldali határértékei közül csak az egyik véges.

6.

A függvény differenciálható az x=1 helyen.

12. ábra

7.

Mivel ezért differenciálható az x=0 helyen, és .

8.9. Az f függvény így is megadható:

13. ábra

Mivel és , ezért x=-3, x=1 helyeken nem differenciálható a függvény. Míg x=0 helyen , ezért itt differenciálható.

10. , .

11. . .

12. . .

13. . 14. .

15. .

16. .

17. .

18.

19. .

20. . 21. .

22. .

23. .

24. . 25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. . .

31. . .

32. .

  1. .

34. .

35. .

36. .

37. .

38. az érintő egyenlete: y = (x – 4,5) + 3 = x + 1,5

A normális egyenlete: y = –3(x – 4,5) + 3 = –3x + 16.5

14. ábra

39. A metszéspontok : , , .

Az érintők egyenlete: -re illeszkedő →y=-x+3; -re illeszkedő →y=x-4.

40. ,

41. Metszéspontok: A(4,0),B(0,2). , tehát párhuzamos.

42.Origón áthaladó érintő: .

43. Érintési pont: E(3,8), érintő egyenlete: y=4x-4.

44. .

45. Az origóban m=1, a P(2,1)-ben pedig m=0.

46. ,

vagy, ha és .

47. x 3 és x 3 –nál a függvény differenciálható. x=3, akkor differenciálható, ha az y=ax+b egyenes az függvénynek az x=3 ponthoz húzott érintője.

, tehát E(3,9) illeszkedik az egyenesre. b=-9. Az érintő egyenlete: y=6x-9.

48. Metszéspont: . , , A képlet nem használható, .

15. ábra

49. .

50. a=e, y=lnx.

51. , , , E(2,1).

.

16. ábra

52. e f E(9,-24), d=2.

17. ábra

53. f ’(x) = 12x2 – 4x + 5     f ”(x) = 24x – 4     f ”’(x) = 24     f (4) = 0

és innen adódik, hogy f (n)(x) = 0 ha n ≥ 4.

54.

f ’(x) = 2x ln2, f ”(x) = 2x ln2 2, ...f (15) (x)= 2x ln152,    x ⊂ R.

Az n-edik deriváltra vonatkozó képlet is könnyen megadható: f (n) (x) = 2lnn2.

55. a.),

b.) ,

c.) ,

d.) , .

56.

57.Meg kell határoznunk az f függvény -hez tartozó Taylor-polinomját.

58. .

59. .

60. a.) b.) c.) .

61.

Eszerint n≥1 esetén ,

A MacLaurin-sor pedig: .

62. Az ln(1+x) függvény Taylor sorát használjuk fel. ln1,5 = ln(1+0,5)

Tehát x=0.5 értéket helyettesítünk az alábbi MacLaurin-polinomba.

vagyis

.

63.

18. ábra

C(-2,3), , .

64. , simulókör: .

65. , , .

66. a.), , , .

b.)

, .

67. ,

C(-7,8), , simulókör: .

  1. . 69. .

70. .

II.Megoldás:

71. .

72. .

73. .

74. . 75. .

76. .

77. .

78. alakkal állunk szemben. Algebrai átalakítással alakra hozhatjuk, és alkalmazhatjuk a szabályt:

.

79. .

(Vegyük észre: nem használtuk a L’Hospital szabályt!)

80. .

81. , ezért legyen

82. a.) ,

19. ábra

b.)

, ,

, a szélsőérték max.

83., , , ha

20. ábra

,

A keresett érintő egyenlete : .

84.a.) ,

21. ábra

, , az érintő egyenlete: .

b.) , , ,

22. ábra

.

Az érintő egyenlete: .

85.a.) , ,

23. ábra

, . Az inflexiós érintő egyenlete: .

b.)

,

24. ábra

. , az inflexiós érintő egyenlete: .

c.) ,

, , ha , vagyis , mivel .

25. ábra

,. Az inflexiós érintő egyenlete: .

d.)

Az hely környezetében az előjelet vált, tehát itt a függvénynek inflexiós pontja van. (Lásd az előző feladatot)

Az inflexiós érintő egyenlet : .

86.a.) Szélsőérték: , ,

, tehát van szélsőérték, és ez helyi maximum.

Inflexiós pont: , nincs ilyen valós szám, a függvénynek nincs inflexiós pontja.

b.)

26. ábra

27. ábra

Inflexiós pontok:

Figyeljük meg a táblázatokon a függvény páratlan tulajdonságát!

87.

28. ábra

88.a.) Df : R \{–1;1}, Zérushelye:      ha     x = 0.

A függvény páratlan, mert ∀x⊂R

Határértékei a végtelenben:

és mivel páratlan:

A szakadási helyekhez tartozó jobb és baloldali határértékek:

x = –1

az y tengellyel párhuzamos aszimptota

x = 1

az y tengellyel párhuzamos aszimptota

Ferde (ált. helyzetű) aszimptota egyenlete: y = ax + b

tehát az egyenlet: y = x

A függvény monotonitási szakaszai, szélsőértékei:

f ’(x) = 0,   

(x2 – 1)2 = 1 + x2

x4 – 2x2 + 1 = 1 + x2

x2(x2 – 3) = 0 → . ;      ;     f(0) = 0

29. ábra

30. ábra

A függvény konvex, illetve konkáv szakaszai, inflexiós pont.

, itt a függvénynek maximuma van,

, a függvénynek minimuma van.

31. ábra

. Az inflexiós pontban az érintő az x tengellyel párhuzamos. A görbe

vázlata:

32. ábra

A függvény értékkészlete: R.

b.) R \{7}, zérushely:x=0, pólushely: x=7.

, .

Szélsőérték:

, ha x=-7.

33. ábra

, ha x=-14.

f(x) konvex ⇔ ⇔ x-14, x≠-7

f(x) konkáv ⇔ ⇔ x-14. Inflexiós pont:x=-14-nél.

A függvény értékkészlete: .

34. ábra

89. T(a,b)=a·b milyen a,b-re maximális. k=20=2a+b ⇒ b=20-2a, , ha 0 a 10.

, tehát az a=5 lok. maximum, b=10.

90. maximumát keressük a feltétel mellett. K=60=12a+4b ⇒

, értelmezési tartománya 0 a 5.

.

, lok. maximum, b=5.

91.

35. ábra

T(x,y)=x·y maximumát keressük, ha , A feltételből y=6-0,6x, , 0 x 10.

, tehát maximuma van, y=3. A(5;3), B(0;3), C(0;0), D(5;0).

92. minimumát keressük, ha térfogata

, A feltételt kihasználva: , , 0R,

tehát minimuma van, .

93. maximumát keressük, ha 0 x 22.

,

,

, .

94.

36. ábra

,

0 x R, (R0 adott)

Az értelmezési tartományon az első derivált csak akkor nulla, ha

R – 3x = 0,   azaz   x = .

A térfogat az helyen maximális. A sugár: .

A kúp magassága:

A maximális térfogat: .

Tehát a kúp maximális térfogata a gömb térfogatának -ede.

95. Jelöljük a levágott négyzet oldalát x-szel. Ekkor a keletkezett doboz térfogata: . Nyilván .

csak x=2 eleme az értelmezési tartománynak.

, ezért az x=2 helyen a térfogatfüggvénynek maximuma van.

A doboz oldalai 8,8 és 2 cm hosszúak, a térfogata pedig 128 .

96. Legyen m a henger magassága, r pedig a sugara. Ezen két test együttes térfogata:

→ minimális legyen.

, tehát a függvénynek minimuma van az r=3-ban, m=3.

97. és vagyis

, ha , vagyis

37. ábra

a maximális árbevétel.

98. 1.) , .

2.) , .

3.) , .

4.) , .

5.) , ,

.

6.) , .

7.) , .

8.) , .

9.) ,

.

10.) , .

11.) , .

12.) , .

13.) , .

14.) , .

15.) , .

16.) , .

17.) , .

18.) , .

19.) ,

.

20.) ,

.

99. .

100. .

102. , ,

.

103. .

104. .

,

.

105. , , .

Tehát a=35,1m ± 0,213m.

106. , , .

107. , , .

108. ,

.

.

109.c=264,575m, , .

110. .

A határ, ami között ingadozik: [195,45cm ; 224,55cm].

111. , , .

112. , ‰, .

113. ,

,

. Azaz a g relatív hibája 16,25%.